基于NIG模型和VG模型下的可轉(zhuǎn)換債券定價

摘要：近期，中國股市面臨較大波動， 很多股票價格持續(xù)性下跌，與之相關的可轉(zhuǎn)債價格也是屢創(chuàng)新低，對可轉(zhuǎn)債的定價問題面臨一定的挑戰(zhàn). 本文首先嘗試構(gòu)造具有NIG過程、VG過程的股票價格過程， 接著刻畫出可轉(zhuǎn)債所對應的正股標的資產(chǎn)對數(shù)價格變化情況， 然后通過尋找風險中性測度， 結(jié)合這兩個過程的特征函數(shù)推導出可轉(zhuǎn)債的定價公式. 在實證部分中， 根據(jù)股票真實數(shù)據(jù)， 利用極大似然法估計出模型的參數(shù)， 討論了所研究可轉(zhuǎn)債的定價問題.

關鍵詞：可轉(zhuǎn)換債券；NIG過程；VG過程；實證分析

中圖分類號：O211.6"" 文獻標志碼：A

Convertible Bond Pricing Based on NIG and VG Models

HU Chao-lei1， LIU Ying2， LI Wen-han^1*

（1. School of Mathematics and Physics， Hebei GEO University， Shijiazhuang 050031， China；

2. College of Intelligence and Information Engineering， Tangshan University， Tangshan 063000， Hebei， China）

Abstract：In recent months， Chinese stock market has faced significant fluctuations with many stock prices declining. The prices of convertible bonds have also repeatedly hit new lows， posing certain challenges to the pricing of convertible bonds. In this paper， we start with building stock price processes with NIG process and VG process. At the same time， we characterize the logarithmic price changes of the underlying assets of the stocks corresponding to the convertible bonds. And then， we obtain the analytical pricing formulas for convertible bonds by combining the characteristic functions of these two processes respectively. In the empirical section， we use the maximum likelihood method to estimate the model parameters based on real stock data and discuss the pricing problem of the convertible bonds.

Key words：convertible bond; NIG process; VG process; empirical analysis

0 引言

可轉(zhuǎn)換債券（Convertible Bond）， 簡稱可轉(zhuǎn)債， 是一種介于股票和債券之間的混合金融產(chǎn)品， 它賦予債券持有人在規(guī)定的期限內(nèi)依照約定的價格將其轉(zhuǎn)換為發(fā)行公司的股票或者持有到期的權利. 由于可轉(zhuǎn)債具有債券和股票的雙重特性， 因此，其定價過程具有一定的難度.

很多學者對可轉(zhuǎn)債的定價問題進行了深入研究， 拓展了可轉(zhuǎn)債的研究范圍. 其中， 最早對可轉(zhuǎn)債定價問題進行研究的學者是INGERSOLL J E^[1]， 他采用著名的Black-Scholes（以下簡稱BS）期權定價模型對可轉(zhuǎn)債定價問題進行了研究. BRENNAN M J和SCHWARTZ E S^[2-3]將公司價值作為可轉(zhuǎn)換債券定價的基本變量，考慮了利率固有的不確定性， 進一步研究了BS期權定價模型. 薛紅^[4]利用隨機微分方程和鞅方法討論了隨機利率情形下的多維BS定價模型， 得到隨機利率情形下的歐式期權及交換期權定價公式. LIU J等^[5]利用精算方法討論了歐式期權和可轉(zhuǎn)債的定價問題， 并利用我國股票市場的真實數(shù)據(jù)對BS模型和精算模型進行實證分析.

通過觀察股票市場， 發(fā)現(xiàn)股票價格出現(xiàn)大幅的上下波動， 許多學者研究了帶跳擴散過程的可轉(zhuǎn)債定價問題. MIAO J等 ^[6]給出了含有跳擴散過程的混合分數(shù)布朗運動的可轉(zhuǎn)債定價的數(shù)學模型， 并得到了定價公式. 又因為在真實市場中， 利率期限結(jié)構(gòu)不是平坦的， 波動率也是隨時間變換的，BALLOTTA L等^[7]構(gòu)造了一個包括公司價值指數(shù)跳擴散， 相關的隨機利率變動和有效的數(shù)值定價方案的可轉(zhuǎn)債的綜合定價模型. 江良等^[8]則采用隨機利率模型進行參數(shù)估計， 應用D’Yakonov分裂方法對可轉(zhuǎn)債問題進行數(shù)值計算. 程志富等^[9]考慮了市場中的杠桿交易限制， 利用遠期中性測度原理和超復制方法， 重新構(gòu)建了一個可轉(zhuǎn)債交換期權模型.

許多學者研究發(fā)現(xiàn)用一類具有獨立平穩(wěn)增量并且無限可分的Levy模型來替代B-S模型可以更好地擬合市場數(shù)據(jù)，SCHOUTENS W^[10]采用實用方法描述基于Levy的理論模型， 并列舉了許多如何使用該理論解決金融衍生品相關問題的例子. ALBRECHER H等^[11]假定資產(chǎn)價格過程為指數(shù)Levy型， 對數(shù)收益服從正態(tài)逆高斯（NIG）分布， 比較了NIG平均期權價格與相應的 B-S價格. 郝軍章等^[12]運用NIG-Levy分布替代傳統(tǒng)的正態(tài)分布來描述工業(yè)企業(yè)的收益分布， 實現(xiàn)了對實物期權定價模型的改進. MADAN D B等^[13]提出可以用一種稱為方差伽馬（VG）過程的新型隨機過程作為證券價格不確定性的模型. 姚怡等^[14]在VG模型下， 提出了基于柳樹結(jié)構(gòu)的定價歐式與美式期權的方法.

本文參考以上文獻所給出的價格模型， 選取了常用Levy模型中的正態(tài)逆高斯（NIG）模型和方差伽馬（VG）模型， 利用風險中性定價方法研究可轉(zhuǎn)債定價， 并探討了所研究可轉(zhuǎn)債的定價問題及其性質(zhì).

1 模型假設

1.1 市場假設

在本小節(jié)給出以下市場假設：

（1）市場是完備的， 沒有市場摩擦， 無套利等;

（2）市場上主要有兩種資產(chǎn)： 貨幣賬戶（無風險）和金融資產(chǎn)（有風險）;

（3）無風險利率r為常數(shù);

（4）標的資產(chǎn)（金融資產(chǎn)）的價格過程滿足

St=S0e^Lt，tgt;0，（1）

其中：{L（t）}t≥0是概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的獨立平穩(wěn)增量過程， 且L（0）=0，F(xiàn)t表示由{L（t）}t∈［0，T］產(chǎn)生的自然域流（natural filtration）.

在概率測度P下， 若{L（t）}t≥0是服從參數(shù)為α，β，δ的NIG過程， 即L（t）～NIG（α，β，tδ）， 可得L（t）的特征函數(shù)為

φ1（u）=E［e^iuL（t）］=

exp{tδ［α2－β2－α2－（β+iu）2］}.（2）

若{L（t）}t≥0是服從參數(shù)為σ，υ，θ的VG過程， 即L（t）～VGσt，υt，θt， 則L（t）的特征函數(shù)為

φ2（u）=E［e^iuL（t）］=

1－θυ+12σ2u2υ^－tv.（3）

1.2 均值矯正鞅測度

根據(jù)風險中性定價理論， 為了討論金融衍生品的定價問題， 需要尋找風險中性概率測度 Q， 使得在此概率測度下標的資產(chǎn)滿足鞅的性質(zhì). 事實上， 存在很多不同的風險中性測度， 如Esscher鞅測度、最小熵鞅測度和均值鞅測度等等^[15]. 在本節(jié)中， 主要利用均值矯正鞅測度進行討論.

定義1 如果概率測度Q滿足以下條件： （1） Q與P等價; （2）在Q下， 標的資產(chǎn)的貼現(xiàn)過程{e^-rtS（t）}t≥0是鞅， 則稱Q為風險中性測度.

假設ST是鞅過程， 滿足e^{－r（T－t）}EQ（ST|Ft）=St， 因此有

EQ［e^－rtSt］=S0.（4）

令

St=S0e^{（rt+w1t+L1（t））}，（5）

其中w1是待定的參數(shù)，L1（t）是NIG過程.

由于φ1（u）=E［e^iuL（t）］=exp{tδ［α2－β2－α2－（β+iu）2］}， 當u=－i時，

E［e^L1（t）］=

exp{tδ［α2－β2－α2－（β+1）2］}.（6）

將式（5）和式（6）代入式（4）， 可得e^w1t=exp{tδ［α2－（β+1）2－α2－β2］｝， 即

w1=－ln（φ（－i））=

－δ［α2－β2－α2－（β+1）2］.（7）

同理， 令

St=S0e^{（rt+w2t+L2（t））}，（8）

其中：w2是待定的參數(shù)，L2（t）是VG過程. 可得

w2=1υln1－θυ－σ2υ2.（9）

1.3 風險中性測度下標的資產(chǎn)的特征函數(shù)

引理1^[10] 如果股票的收益率服從NIG過程，那么在風險中性測度下的股票價格為

ST=S0e^{（rt+w1t+L1（t））}，（10）

其中，w1=δα2－（β+1）2－α2－β2.

再令HT=lnST， 有l(wèi)nST=lnS0+rt+w1t+L1（t）， 則股票價格取對數(shù)后的特征函數(shù)為

φ^NIGT（u）=expiulnS0+iut（r+w1）－

δt［α2－（β+iu）2－α2－β2］=

expiulnS0+iutr+

δ［α2－（β+1）2－α2－β2］－

expδtα2－（β+iu）2－α2－β2.（11）

引理2^[16] 如果股票的收益率服從VG過程，那么在風險中性測度下的股票價格為

ST=S0e^{（rt+w2t+L2（t））}，（12）

其中，w2=1υln1－θυ－σ2υ2.

再令hT=lnST， 有l(wèi)nST=lnS0+rt+w2t+L2（t）， 則股票價格取對數(shù)后的特征函數(shù)為

φ^VGT（m）=E［e^imhT］=

E［e^{im（lnS0+rt+w2t+L2（t））}］=

expim［lnS0+t（r+w2）］－

tυln1－iθmυ－σ2m2υ2.（13）

2 模型假設可轉(zhuǎn)換債券定價

考慮可轉(zhuǎn)債的價值， 預先設定如下假設：

（1）市場是完備的， 不存在交易費， 稅收和紅利支付.

（2）不存在市場摩擦且無套利機會.

（3）資產(chǎn)交易是連續(xù)的， 可轉(zhuǎn)債只可在到期時進行轉(zhuǎn)換， 即按照轉(zhuǎn)股價格轉(zhuǎn)換成公司股票.

（4）可轉(zhuǎn)債不涉及修正轉(zhuǎn)股價格的相關條款.

現(xiàn)在考慮一種期限為T， 票面價值為F， 票面利率為alt;r，并且不考慮贖回和回售條款的可轉(zhuǎn)換債券. 假設V（T，ST）為到期日T的可轉(zhuǎn)換債券的價值， Pb=Fe^aT為票面利率為 a的債券的價值， Cv表示預先設定好的轉(zhuǎn)股價. 如果按照轉(zhuǎn)股價將債券轉(zhuǎn)換成股票時， 轉(zhuǎn)換成股票的價值FSTCv， 即當前的股票價格與轉(zhuǎn)股數(shù)的乘積. 下面將股價路徑分為三部分：

（1）當股票價格ST小于轉(zhuǎn)換價格Cv， 即轉(zhuǎn)換成股票的價值FSTCv小于票面價值F， 債券持有者不會將債券轉(zhuǎn)換為股票并且獲得包括本金和票息在內(nèi)的付款， 可轉(zhuǎn)債的價值為直接債券價值Pb.

（2）當股票價格ST大于轉(zhuǎn)換價格Cv， 但轉(zhuǎn)換成股票的價值FSTCv小于直接債券價值Pb， 債券持有者不會將債券轉(zhuǎn)換為股票， 可轉(zhuǎn)債的價值為直接債券價值Pb.

（3）當轉(zhuǎn)換成股票的價值FSTCv大于直接債券價值Pb， 債券持有者將債券轉(zhuǎn)換成公司股票， 可轉(zhuǎn)債的價值為轉(zhuǎn)換成股票的價值FSTCv.

該可轉(zhuǎn)債價值組成為

V（T，ST）=Pb，STlt;Cv;

Pb，Cv≤STlt;CvPbF;

FSTCv，STgt;CvPbF，（14）

使得可轉(zhuǎn)債在時刻T的價格V（T，ST）=maxPb，F(xiàn)STCv.

已知 maxPb，F(xiàn)STCv+=Pb，F(xiàn)STCv+.

基于以上假定， 本文討論了可轉(zhuǎn)債定價，其在到期T時刻的價值組成為

V（T，ST）=Pb，F(xiàn)STCv+.（15）

該可轉(zhuǎn)債價值組成還可以寫為

V（T，ST）=Pb+FSTCv－Pb，0+.（16）

因此， 在風險中性測度Q下， 在目前時刻t下， 可轉(zhuǎn)債的價格公式為

V（t，St）=e^{－r（T－t）}E［V（T，ST）|Ft］.（17）

定理1 在風險中性的條件下， 設股票價格ST滿足式（10）， 其取對數(shù)后的特征函數(shù)φ^NIGT（u）已知， 那么可轉(zhuǎn)債的定價公式為

V（t，St）=

e^－rτPb+e^－λkSt2π∫^+SymboleB@－SymboleB@e^－iukF（u）du，（18）

其中，τ=T－t， k=lnPbSt， λ為修正參數(shù)， 并且滿足λgt;0，

F（u）=e^{（iu+λ+1）ln（F/Cv）}φ^NIG［u－i（λ+1）］（iu+λ）（iu+λ+1）.

證明 根據(jù)風險中性定價原理， 可轉(zhuǎn)債在t時刻的價格為

Vt，St=e^－rτEQV（T，ST）|Ft=

e^－rτPb+e^－rτStEQFSTCVSt-PbSt+|Ft.（19）

令x=ln（ST/St）， k=ln（Pb/St）， f（x）是密度函數(shù)， 對式（19）化簡得

V（t，St）=e^－rτPb+

e^－rτSt∫^+SymboleB@k－lnFCvFCvex－ekf（x）dx.（20）

令

g（k）=∫^+SymboleB@k－lnFCvFCvex－ekf（x）dx，（21）

因為limk→－SymboleB@（k）≠0， 所以g（k）的Fourier變換F（u）存在，

F（u）=∫^+SymboleB@－SymboleB@e^iukG（k）dk=

∫^+SymboleB@－SymboleB@e^（iu+λ）k∫^+SymboleB@k－ln（F/Cv）FCvex－ekf（x）dxdk=

∫^+SymboleB@－SymboleB@f（x）∫^{x+ln（F/Cv）}－SymboleB@FCve^{x+（iu+λ）k}－e^{（iu+λ+1）k}dxdk=

∫^+SymboleB@－SymboleB@f（x）e^{（iu+λ+1）（x+lnFCv）}（iu+λ）（iu+λ+1）dx=

e^{（iu+λ+1）ln（F/Cv）}∫^+SymboleB@－SymboleB@f（x）e^{ix（u－i（λ+i））}（iu+λ）（iu+λ+1）dx.（22）

風險中性測度Q下x的特征函數(shù)為

φ（u）=EQ（e^iux）=∫^+SymboleB@－SymboleB@e^iuxf（x）dx.（23）

由式（21）和式（22）可得

F（u）=e^{（iu+λ+1）ln（F/Cv）}φ^NIG（u－i（λ+1））（iu+λ）（iu+λ+1）.（24）

根據(jù)Fourier逆變換， 可得

g（k）=e^－λk2π∫^+SymboleB@－SymboleB@e^－iutF（u）du.（25）

綜上， 由式（19）到式（25）， 定理得證.

同理， 將NIG過程下的特征函數(shù)替換為VG過程下的特征函數(shù)可得如下定理.

定理2 在風險中性的條件下， 設股票價格ST滿足式（12）， 其取對數(shù)后的特征函數(shù)φ^VGT（u）已知， 那么可轉(zhuǎn)債的定價公式為

V（t，St）=e^－rτPb+e^－λkSt2π∫^+SymboleB@－SymboleB@e^－iukF（u）du，

其中τ=T－t， k=ln（Pb/St）， λ為修正參數(shù)， 并且滿足λgt;0，

F（u）=e^{（iu+λ+1）lnFCv}φ^VG（u－i（λ+1））（iu+λ）（iu+λ+1）.

3 數(shù)值模擬

本文選取一只可轉(zhuǎn)債——景興轉(zhuǎn)債（SZ128130）作為研究對象， 其正股為景興紙業(yè). 該可轉(zhuǎn)債的發(fā)行總額為12.80億元， 發(fā)行面值為100元， 上市日期為2020年9月18日， 初始轉(zhuǎn)股價為3.40， 存續(xù)期限為6年. 票面利率為第一年0.30%、第二年0.50%、第三年1.00%、 第四年1.50%、 第五年1.80%、 第六年2.00%. 這里主要針對NIG模型進行分析， 并與傳統(tǒng)的BS模型^[17]所得理論價格以及實際價格進行比較.

選取從2020年9月18日上市以來到2023年11月20日共767個交易日的景興紙業(yè)股票價格作為樣本， 以2021年1月4日至2022年4月22日之間的315個交易日的可轉(zhuǎn)債的價格作為研究對象， 利用Matlab工具進行編程并重點討論可轉(zhuǎn)債價格變化過程. 實驗數(shù)據(jù)均來自于大智慧365.

3.1 數(shù)據(jù)分析

從2020年9月18日至2023年1月20日景興紙業(yè)股票的收盤價及其日對數(shù)收益率如圖1、圖2所示.

從圖形上來看， 不論是收盤價還是對數(shù)收益率， 變化幅度都是比較大， 波動率明顯.

為了比較NIG模型和BS模型與樣本數(shù)據(jù)的吻合程度，繪制景興紙業(yè)日對數(shù)收益概率密度函數(shù)圖像如圖3所示. 其中，連續(xù)曲線為樣本日對數(shù)收益的實際概率密度函數(shù)圖像，點狀曲線為BS模型下樣本概率密度函數(shù)圖像， 線狀曲線為NIG模型下樣本概率密度函數(shù)圖像. 顯然， 樣本服從指數(shù)NIG分布要比服從對數(shù)正態(tài)分布與實際擬合的更好.

3.2 參數(shù)估計

選取了與景興轉(zhuǎn)債上市日期和存續(xù)的期限都較為相近的“20國債13 ”作為無風險利率. 該國債于2020年10月26日正式進入證券交易市場， 發(fā)行期限為5年， 發(fā)行面值為100元， 發(fā)行上市的票面利率是3.02%. 由公式^[18]，

r=1nln（1+nR），（26）

可得景興轉(zhuǎn)債無風險利率為2.81%.

同時，基于BS模型的標的股票價格模型，根據(jù)景興紙業(yè)的歷史價格可以得到年波動率σ=02752.結(jié)合式（10）和NIG模型， 通過極大似然估計法， 得到NIG模型中參數(shù)的估計值分別為α=43.7993， β=－0.3232， δ=0.0129.

3.3 價格過程

本小節(jié)主要在BS模型和NIG模型下，分別給出了根據(jù)景興紙業(yè)股票價格所得到的可轉(zhuǎn)債理論價格與真實市場價格的價格過程，并進行比較.

利用BS 模型和NIG模型可轉(zhuǎn)債的定價公式（18）獲得的可轉(zhuǎn)債理論價格與真實市場價格比較圖，如圖4所示.

從圖4可以看出BS 模型前半部分可轉(zhuǎn)債價格高于市場價格， 后半部分可轉(zhuǎn)債價格低于市場價格. NIG模型價格大部分情況低于市場價格， 并且NIG模型價格與市場價格的變化趨勢是一致的. 通過計算可知NIG模型得出的可轉(zhuǎn)債價格和市場價格的相關系數(shù)為0.6972 ， 它們之間存在著較高的相關性， 說明NIG模型的理論價值能較為準確地反映市場價格的走向， 對可轉(zhuǎn)債未來的市場價格有著很好的預測作用.

4 結(jié)論

在金融市場中， 可轉(zhuǎn)債發(fā)展迅速， 但是由于可轉(zhuǎn)債的多重特性以及附有多種條款， 使得可轉(zhuǎn)債的定價問題難度提升.考慮到標的資產(chǎn)波動的尖峰厚尾性和跳躍性， 本文構(gòu)建了基于正態(tài)逆高斯（NIG）模型和方差伽馬（VG）模型下的可轉(zhuǎn)債定價模型， 并得到了定價公式. 選取了景興轉(zhuǎn)債進行數(shù)值模擬， 主要比較了NIG模型、BS模型的理論價格與真實市場價格， 發(fā)現(xiàn)基于正態(tài)逆高斯過程的NIG模型對景興轉(zhuǎn)債的模擬效果優(yōu)于基于布朗運動的BS模型， 結(jié)果證實了本文模型的合理性.

參考文獻：

[1] INGERSOLL J E.A contingent-claims valuation of convertible securities[J].Financial Economics，1977，4（3）：289-321.

[2] BRENNAN M J，SCHWARTZ E S.Convertible bonds：Valuation and optimal strategies for call and conversion[J].The Journal of Finance，1977，32（5）：1699-1715.

[3] BRENNAN M J，SCHWARTZ E S.Analyzing convertible bonds[J].Financial and Quantitative Analysis ，1980，15（4）：907-929.

[4] 薛紅.隨機利率情形下的多維Black-Scholes模型[J].工程數(shù)學學報，2005（4）：645-652.

[5] LIU J，YAN L Z，MA C Q.Pricing Options and Convertible Bonds Based on an Actuarial Approach[J].Mathematical Problems in Engineering，2013（1）676148.

[6] MIAO J，YANG X.Pricing Model for Convertible Bonds：A Mixed Fractional Brownian Motion with Jumps[J].East Asian Journal on Applied Mathema-tics，2015，5（3）：222-237.

[7] BALLOTTA L，KYRIAKOU I.Convertible bond valuation in a jump diffusion setting with stochastic interest rates[J].Quantitative Finance，2015，15（1）：115-129.

[8] 江良，林鴻熙，林建偉，等.基于隨機利率模型可轉(zhuǎn)換債券定價分析[J].系統(tǒng)工程學報，2019，34（1）：57-68.

[9] 程志富，胡昌生.杠桿交易限制下可轉(zhuǎn)債的交換期權定價模型[J].管理工程學報，2020，34（1）：195-199.

[10] SCHOUTENS W.Levy Processes in Finance：Pricing Financial Derivatives[M].England：John Wiley and Sons，2003.

[11] ALBRECHER H，PREDOTA M.On Asian option pricing for NIG Levy processes[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2004，172（1）：153-168.

[12] 郝軍章，吳優(yōu)，張印鵬.工業(yè)技術創(chuàng)新投資決策研究——基于實物期權方法[J].技術經(jīng)濟與管理研究，2020（7）：27-32.

[13] MADAN D B，CARR P，CHANG E C.The Variance Gamma Process and Option Pricing[J].European Finance Review，1998，2（1）：79-105.

[14] 姚怡，許威.Variance Gamma模型下歐式與美式期權的柳樹法定價[J].同濟大學學報（自然科學版），2020，48（8）：1232-1240.

[15] 姚艾嘉，張艷慧，李明陽，等.基于快速分數(shù)階Fourier變換的期權定價——以上證50ETF期權為例[J].江西師范大學學報（自然科學版），2020，44（6）：614-620.

[16] LI C X，LIU H L，WANG M N，et al.The pricing of compound option under variance gamma process by FFT[J].Communications in Statistics - Theory and Methods，2021，50（24）：6122-6136.

[17] LUO X，ZHANG J L.Pricing Chinese Convertible Bonds with Default Intensity by Monte Carlo Method[J].Discrete Dynamics in Nature and Society，2019（1）：1-8.

[18] 周琳.可轉(zhuǎn)換債券的定價及其影響因素的實證分析[J].同濟大學學報（社會科學版），2003，14（2）：52-56.

［責任編輯：趙慧霞］