信息技術(shù)與數(shù)學(xué)融合教學(xué)：以數(shù)列為例的實(shí)證研究

摘要：本研究旨在探索信息技術(shù)與數(shù)學(xué)融合教學(xué)在高中教育中的應(yīng)用，并以數(shù)列教學(xué)為例設(shè)計(jì)實(shí)施了一個(gè)單元的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)內(nèi)容。實(shí)踐結(jié)果表明，跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)模式能夠有效促進(jìn)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；信息技術(shù)；課程融合

中圖分類號(hào)：G434" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 論文編號(hào)：1674-2117（2025）06-0086-05

引言

《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出學(xué)科實(shí)踐和跨學(xué)科實(shí)踐的重要性，鼓勵(lì)學(xué)生通過實(shí)踐活動(dòng)來深化對(duì)知識(shí)的理解。在數(shù)字化時(shí)代，信息技術(shù)是解決各種問題的工具，而在運(yùn)用信息技術(shù)解決問題的過程中包含了諸多數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)為解決問題提供了基礎(chǔ)邏輯，而信息技術(shù)提供了解決問題的具體思路與方法。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)兩門學(xué)科不僅在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理和建模能力方面具有共同的要求，在知識(shí)領(lǐng)域如在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、函數(shù)等知識(shí)領(lǐng)域也具有諸多共同點(diǎn)[1]，同時(shí)，信息技術(shù)還具有數(shù)據(jù)處理和分析方面的優(yōu)勢(shì)。因此，兩者融合不僅能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，還能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)解決問題的能力，從而更好地適應(yīng)未來社會(huì)的需求。由此看來，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的深度融合是培養(yǎng)新時(shí)代拔尖創(chuàng)新人才的重要途徑。

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的融合可以從多個(gè)維度展開，如計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)、動(dòng)態(tài)幾何軟件、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)、信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合等[2]，本研究從信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合角度，梳理了三個(gè)整合方向。首先，信息技術(shù)在生成大規(guī)模隨機(jī)數(shù)方面的優(yōu)勢(shì)，可以為學(xué)習(xí)概率提供有力的支持，融合形成《數(shù)據(jù)與概率》課程。通過模擬各種概率問題和情境，學(xué)生可以直觀地理解和探究概率模型。其次，信息技術(shù)提供了豐富的繪圖工具，如turtle庫(kù)，結(jié)合數(shù)學(xué)中的幾何問題，能夠設(shè)計(jì)出《編程與幾何》課程。從簡(jiǎn)單圖形繪制到復(fù)雜圖形的設(shè)計(jì)、計(jì)算、實(shí)現(xiàn)，學(xué)生綜合應(yīng)用編程和幾何知識(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)創(chuàng)意圖形繪制。最后，信息技術(shù)為計(jì)算和處理序列類型數(shù)據(jù)提供了豐富的操作，可以與數(shù)列問題的求解相結(jié)合，融合成為《編程與數(shù)列》課程。通過對(duì)序列類型數(shù)據(jù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算，學(xué)生探索數(shù)列的性質(zhì)，理解數(shù)列的規(guī)律，從而深化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用，解決與數(shù)列相關(guān)的問題。下面，筆者聚焦《編程與數(shù)列》課程，介紹其單元設(shè)計(jì)、實(shí)施和評(píng)價(jià)的過程。

單元設(shè)計(jì)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)列部分的內(nèi)容很抽象，對(duì)學(xué)生來說理解起來比較困難，數(shù)據(jù)中存在的規(guī)律也較難找到。高中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)數(shù)列教學(xué)思想較為直接，大多通過案例講解以及海量的練習(xí)訓(xùn)練完成，學(xué)習(xí)過程枯燥，不夠?qū)嵱?，難以引起學(xué)生的興趣。這樣的學(xué)習(xí)方法不僅不利于學(xué)生掌握數(shù)列思想，還讓學(xué)生難以將數(shù)列思想應(yīng)用到生活實(shí)踐中。[3]

而信息技術(shù)學(xué)科具有專門處理序列數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)類型和操作方法，以Python語(yǔ)言為例，list是一種內(nèi)置的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可以存儲(chǔ)有序的元素集合，列表中的元素可以通過索引訪問，list還提供了許多方法來操作列表，包括append（）、extend（）、insert（）、remove（）、pop（）等。而且，數(shù)列問題的解決過程與信息技術(shù)學(xué)科中的迭代和枚舉算法緊密相關(guān)，因此，本研究將數(shù)列與列表、遞推思想、迭代和枚舉算法結(jié)合，通過設(shè)計(jì)深度融合的跨學(xué)科學(xué)習(xí)單元，讓學(xué)生理解數(shù)列與列表兩個(gè)概念，并通過遞推思想理解數(shù)列遞推公式和數(shù)列求和，應(yīng)用枚舉算法求解復(fù)雜數(shù)列問題。

筆者將融合單元的主題定為“用信息技術(shù)演繹數(shù)列”，主要通過編程演繹和求解數(shù)列問題，共包含4節(jié)課。其中的信息技術(shù)知識(shí)對(duì)應(yīng)人教-中圖版教材必修1，涉及列表、遞推、枚舉等知識(shí)；數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)應(yīng)高中數(shù)學(xué)選修2中的數(shù)列模塊。學(xué)習(xí)主體為高一學(xué)生，他們雖沒學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)，但是對(duì)常見函數(shù)已經(jīng)有充分認(rèn)識(shí)，對(duì)函數(shù)性質(zhì)也比較熟悉，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此學(xué)生具備理解數(shù)列概念及其性質(zhì)的知識(shí)基礎(chǔ)。本單元的整體設(shè)計(jì)如圖1所示。

具體而言，第1節(jié)課，首先引入列表這一數(shù)據(jù)類型，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)列和列表在概念上的相似性——數(shù)列是一組按照一定順序排列的數(shù)，而列表是Python中用于存儲(chǔ)一系列有序元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。通過概念對(duì)比，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)概念與編程實(shí)踐聯(lián)系起來，進(jìn)而就可以通過創(chuàng)建列表、列表計(jì)算來模擬數(shù)列。

第2節(jié)課，介紹生活中的等差和等比現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)這兩類特殊數(shù)列。然后，借助matplotlib庫(kù)將等差和等比列表可視化，學(xué)生觀察圖像能夠直觀地理解等差數(shù)列與一元函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠借助圖像求解某個(gè)范圍內(nèi)數(shù)列的最大值/最小值，認(rèn)識(shí)數(shù)列的增減性。

第3節(jié)課，學(xué)習(xí)程序設(shè)計(jì)中的遞推思想和迭代算法，編程解決簡(jiǎn)單數(shù)列問題。遞推本質(zhì)上是描述每一項(xiàng)數(shù)據(jù)與相鄰幾項(xiàng)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，這是數(shù)列中遞推公式的核心，也是程序中遞歸和迭代的基礎(chǔ)。本節(jié)課的編程任務(wù)包含兩部分：第一部分任務(wù)是遞推和迭代的練習(xí)，要求學(xué)生基于遞推公式求解數(shù)列的第n項(xiàng)，如迭代計(jì)算斐波那契數(shù)列的第20項(xiàng)；第二部分任務(wù)是分析求解前n項(xiàng)和的方法并編程實(shí)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一遞推關(guān)系，然后迭代實(shí)現(xiàn)累加求和。

第4節(jié)課，學(xué)習(xí)枚舉算法。枚舉是一種常用算法，也是解決新定義數(shù)列問題的常用方法。新定義數(shù)列是一類特殊的數(shù)列問題，它們往往缺少明確的通項(xiàng)公式和遞推公式，只是定義了比較復(fù)雜的計(jì)算過程，這就增加了通過公式推導(dǎo)來解決問題的難度。然而，枚舉算法是求解這類問題最簡(jiǎn)單和直接的方法，通過枚舉算法能夠?qū)?shù)列進(jìn)行逐項(xiàng)計(jì)算，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列中潛在的規(guī)律，使得問題能夠快速解決。

單元實(shí)施

1.單元實(shí)施流程

為了保證融合課的實(shí)施效果，信息技術(shù)教師邀請(qǐng)高中數(shù)學(xué)教師共同教研，討論數(shù)列教學(xué)中存在的問題，并研討信息技術(shù)求解數(shù)列問題的優(yōu)勢(shì)，以及如何利用優(yōu)勢(shì)組織教學(xué)。上課階段以信息技術(shù)教師為主，數(shù)學(xué)教師參與作業(yè)評(píng)價(jià)，指出作業(yè)中不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)、不正確的邏輯等。在結(jié)束單元教學(xué)后，信息技術(shù)教師與數(shù)學(xué)教師再次共同研討，就教學(xué)中出現(xiàn)的問題和學(xué)生的反饋展開研討，確定單元內(nèi)容需要修改的方向，為下一輪單元設(shè)計(jì)和實(shí)施奠定基礎(chǔ)。

2.單元實(shí)施策略

在“用信息技術(shù)演繹數(shù)列”單元實(shí)施的過程中，為了提高學(xué)生的接受度和學(xué)習(xí)效率，筆者制訂了以下實(shí)施策略。

（1）結(jié)合生活實(shí)例解釋數(shù)列概念

數(shù)列是一個(gè)陌生的、抽象的概念，在引入這一概念時(shí)，教師應(yīng)將其與學(xué)生的日常經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，以促進(jìn)理解。例如，通過記錄一個(gè)月內(nèi)每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)，可以得到一個(gè)長(zhǎng)度為30的數(shù)列，其中的每個(gè)數(shù)字分別代表特定一天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，且這些數(shù)字的順序是固定的。在講解數(shù)列的遞推公式和迭代求和時(shí)，可以結(jié)合兔子繁殖和捐款箱的例子，使學(xué)生在具體情境中把握遞推公式的功能和迭代求和的實(shí)現(xiàn)過程。

（2）深度融合數(shù)學(xué)和信息技術(shù)學(xué)科知識(shí)

本單元的一個(gè)顯著特點(diǎn)是數(shù)學(xué)與信息技術(shù)在概念和方法上聯(lián)系緊密。教師應(yīng)將這兩個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)進(jìn)行整合，共同講解，以減少學(xué)科間的界限感。例如，在講解遞推公式時(shí)，教師可以先介紹數(shù)列的遞推公式，通過定義讓學(xué)生理解遞推公式描述了數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系，接著提出問題“如何根據(jù)遞推公式求解第100項(xiàng)”，然后引入循環(huán)和迭代的方法，通過編程實(shí)踐來解決這一問題，最后引入前n項(xiàng)和的概念，并引導(dǎo)學(xué)生思考“如何編程求解前n項(xiàng)和”這一問題，通過分析能夠發(fā)現(xiàn)前n項(xiàng)和與前n-1項(xiàng)和之間的關(guān)系，迭代循環(huán)就可以實(shí)現(xiàn)累加求和。

（3）根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力適當(dāng)調(diào)整數(shù)學(xué)題目

在編程求解數(shù)列問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)符號(hào)不熟悉而感到困惑。由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不牢固，對(duì)很多數(shù)學(xué)符號(hào)比較陌生，教師應(yīng)適當(dāng)調(diào)整題目，以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言，降低閱讀難度。此外，教師還可以將題目分解，簡(jiǎn)化題目的復(fù)雜性，引導(dǎo)學(xué)生分步驟解決問題，從而逐步提升他們解決問題的能力。

3.單元評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

在評(píng)價(jià)融合單元的教學(xué)效果時(shí)，評(píng)價(jià)體系的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)緊密圍繞學(xué)科的核心素養(yǎng)和知識(shí)結(jié)構(gòu)。評(píng)價(jià)方案的構(gòu)建必須遵循兩個(gè)基本原則：一是多學(xué)科教師的共同參與；二是指向多學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。在跨學(xué)科教研活動(dòng)中，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教師共同制訂全面的評(píng)價(jià)方案，然而，在具體實(shí)施評(píng)價(jià)的過程中，信息技術(shù)教師將承擔(dān)主導(dǎo)角色，數(shù)學(xué)教師則負(fù)責(zé)對(duì)特定任務(wù)進(jìn)行評(píng)估。每節(jié)課的具體評(píng)價(jià)內(nèi)容如上頁(yè)表所示。

實(shí)施效果

通過融合單元的實(shí)施，學(xué)生能夠有效認(rèn)識(shí)數(shù)列及其與函數(shù)之間的關(guān)系，并且可以編程解決具體的數(shù)列問題。

1.通過可視化等差和等比數(shù)列，認(rèn)識(shí)它們與常見函數(shù)之間的關(guān)系

上頁(yè)圖2呈現(xiàn)了首項(xiàng)為4、公差為5的等差數(shù)列的前10項(xiàng)數(shù)據(jù)，可以看出，所有的點(diǎn)整體呈一條直線，所以等差數(shù)列是一種特殊的一元函數(shù)，其自變量的范圍是由正整數(shù)構(gòu)成的集合。

圖3中的兩幅圖分別呈現(xiàn)了首項(xiàng)為2、公比為1.2和0.9的數(shù)列圖像（僅前35項(xiàng)）?？梢钥闯觯缺葦?shù)列是一種特殊的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)首項(xiàng)大于1，并且公比大于1時(shí)，數(shù)列呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)；當(dāng)首項(xiàng)大于1，并且公比在0與1之間時(shí)，數(shù)列呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)。

2.通過可視化函數(shù)，求解數(shù)列在某個(gè)范圍內(nèi)的最大值

題目：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，它的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)是第幾項(xiàng)？結(jié)論：該數(shù)列前30項(xiàng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖4所示，實(shí)線是數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像。根據(jù)圖像可以明顯看出，在前30項(xiàng)中最大項(xiàng)是第10項(xiàng)。學(xué)生完成的數(shù)學(xué)證明過程如圖5所示。分析：這道題目?jī)H看通項(xiàng)公式很難判斷數(shù)列的最大值是多少，可視化數(shù)列可以大大降低任務(wù)難度，直觀呈現(xiàn)出數(shù)列的最大值。同時(shí)，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)增減性的知識(shí)，可以進(jìn)一步通過公式推導(dǎo)數(shù)列的增減趨勢(shì)，從而找到數(shù)列的最大值，與可視化的結(jié)果相互驗(yàn)證。

3.利用遞推求解前n項(xiàng)和

上頁(yè)圖6為具體的題目，學(xué)生的求解過程如上頁(yè)圖7所示。在這道題目中，數(shù)列的通項(xiàng)公式略復(fù)雜，學(xué)生很難通過公式推導(dǎo)直接解算出結(jié)果。但是應(yīng)用累加求和的方法，能夠輕松地求出前n項(xiàng)和。

4.枚舉算法求解新定義數(shù)列的第1問

圖8為具體的題目，學(xué)生的求解過程如圖9所示。這是某年的高考題目，這道題看似復(fù)雜，但rk的求解過程與枚舉的過程類似，通過雙重for循環(huán)即可實(shí)現(xiàn)求解。在這道題目中，學(xué)生利用隨機(jī)數(shù)生成數(shù)列{an}，{bn}，

并進(jìn)一步求出其前n項(xiàng)和所構(gòu)成的序列，然后枚舉{An}，{Bn}中的每一個(gè)數(shù)，判斷是否符合條件，找到所有rk。

結(jié)語(yǔ)

通過編程求解數(shù)列問題，將數(shù)學(xué)中的數(shù)列與信息技術(shù)中的列表、遞推、枚舉等算法相結(jié)合，不僅為學(xué)生提供了一個(gè)全新的視角來理解和探索數(shù)列，而且通過編程實(shí)踐，有效地促進(jìn)了學(xué)生計(jì)算思維和問題解決能力的提升。這種跨學(xué)科的教學(xué)方法，不僅豐富了教學(xué)內(nèi)容，而且拓寬了學(xué)生的思維邊界，使他們能夠在解決實(shí)際問題時(shí)更加靈活和創(chuàng)新。

參考文獻(xiàn)：

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