路基不均勻沉降下無砟軌道受力變形特性解析解

摘要：基于無拉力Pasternak地基疊合梁理論，提出考慮土體剪切和層間脫空的軌道變形解析法，探討路基不均勻沉降對雙塊式無砟軌道受力變形的影響規(guī)律。引入Heaviside階梯函數(shù)描述軌道與路基的脫空行為，采用有限差分法求解微分控制方程，建立三維梁-體空間有限元模型對比驗(yàn)證分析解析模型的適用性并確定其適用范圍。結(jié)果表明：路基沉降變形較平緩時，解析模型與有限元模型計(jì)算結(jié)果幾乎無差異，隨著路基沉降變形加劇，兩種模型計(jì)算偏差越來越大；在路基沉降波長為20 m的工況下，沉降幅值超過21 mm時，解析模型不再適用；在給定路基沉降幅值為20 mm的條件下，解析模型適用于沉降波長大于19.8 m的路基沉降工況。

關(guān)鍵詞：Pasternak地基；疊合梁；雙塊式無砟軌道；有限差分法；有限元模型

中圖分類號：U213.2 """"文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A """"文章編號：2096-6717（2025）02-0098-09

Analytical solution for deformation behavior of ballastless track under uneven settlement of subgrade

YAN Jianwei^a，b，"ZHU Zhaoming^a，b，"LIU Tianyu^a，b，"TAN Xin^a，b，"CHENG Chao^a，b，HU Yong^b

（a. School of Civil Engineering and Architecture；"b. State Key Laboratory of Rail Transit Infrastructure Performance Testing and Assurance， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， P. R. China）

Abstract： An analytical solution based on non-tension Pasternak foundation composite beam with considering soil shear and interlayer disengaging for the double-block ballastless track， is derived to study the influence of uneven settlement of the subgrade on its deformation. Heaviside step function is introduced to describe the disengaging behavior between the track and the subgrade， and the differential governing equation is solved by finite difference method. A three-dimensional beam-body space FE model is also established to cross-check the applicability of the FEM analytical model and determine its scope of application. The results show that when the settlement deformation of the subgrade is relatively gentle， the calculation results of the analytical model and the FE model are almost indistinguishable， the deviation of the two models is getting larger as settlement of the subgrade exacerbated; For a given subgrade settlement wavelength of 20 m， when the settlement amplitude reaches greater than 21 mm， the analytical model is not applicable; Under the given condition that settlement amplitude of the subgrade is 20 mm， the analytical model is applicable to the subgrade settlement condition with a settlement wavelength greater than 19.8 m.

Keywords： Pasternak foundation；"composite beam；"double-block ballastless track；"finite difference method；"finite element model

近年來，中國高速鐵路發(fā)展迅速，無砟軌道因穩(wěn)定性高、耐久性好及便于維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)逐漸成為高速鐵路所采用的主要結(jié)構(gòu)形式^[1]。路基是無砟軌道的基礎(chǔ)，其穩(wěn)定性對列車運(yùn)行安全至關(guān)重要，工程界對其不均勻沉降引起的軌道變形問題尤為關(guān)注。路基除受自重、填料不均勻的影響外，還受列車荷載、水侵蝕等外界因素的影響，其變形將不斷累積，從而產(chǎn)生不均勻沉降^[2]。當(dāng)路基發(fā)生不均勻沉降時，軌道結(jié)構(gòu)平順性受到影響，甚至出現(xiàn)空吊現(xiàn)象，列車通過軌道不平順區(qū)域，會引起沿軌道縱向不一致的輪軌作用力，影響乘客舒適度，受列車荷載反復(fù)作用，會造成軌道與路基之間的脫空區(qū)域周期性的“拍打”現(xiàn)象^[3]。路基不均勻沉降導(dǎo)致的軌道不平順以及軌道與路基之間形成局部脫空的剛度不平順使輪軌力加劇，嚴(yán)重時會增大列車脫軌系數(shù)，最終影響列車運(yùn)營安全^[4]。因此，筆者對路基不均勻沉降下無砟軌道受力和變形特性開展研究。

在理論研究方面，采用有限元模擬方法對高速鐵路路基不均勻沉降進(jìn)行研究，取得了豐碩的成果。文獻(xiàn)[5-6]通過三維非線性有限元模型模擬不同路基沉降條件下無砟軌道結(jié)構(gòu)的變形和附加應(yīng)力。文獻(xiàn)[7-8]建立軌道-路基沉降三維有限元模型，對無砟軌道在路基沉降作用下的損傷行為進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[9-10]建立車軌耦合動力學(xué)模型，分析了路基沉降和行車速度對無砟軌道動力特性以及車輛響應(yīng)的影響。在解析求解方面，對于高速鐵路路基不均勻沉降，通常采用彈性地基疊合梁、梁-板等模型。郭宇等^[11]分別建立了雙塊式無砟軌道路基不均勻沉降下Winkler彈性地基疊合梁解析模型和考慮局部脫空的有限元模型，對比分析了兩種模型的適用范圍。彈性地基梁理論基于梁與地基不發(fā)生脫離，計(jì)算簡單，但需要注意的是，此時地基只受壓、不受拉，與實(shí)際情況不完全符合。文獻(xiàn)[12-13]分別采用三角級數(shù)法和伽遼金法求解了無拉力Winkler彈性地基梁與地基的脫離問題，文獻(xiàn)[14]基于無拉力Winkler地基疊合梁理論，分析了不同路基沉降形式對縱連板式和單元板式無砟軌道軌面變形的影響。雖然這些方法考慮了梁與地基的脫離問題，但Winkler彈性地基模型不能捕捉變形的連續(xù)性。

有限元等數(shù)值模擬技術(shù)的發(fā)展快速地推進(jìn)了路基不均勻沉降下軌道的變形研究，相關(guān)的數(shù)據(jù)研究驅(qū)動形成的規(guī)律性認(rèn)識極大地促進(jìn)了高速鐵路的發(fā)展進(jìn)程。筆者結(jié)合土質(zhì)路基上雙塊式無砟軌道的結(jié)構(gòu)特性，建立無拉力Pasternak地基疊合梁解析模型，通過引入Heaviside階梯函數(shù)，提出考慮土體剪切和層間脫空的軌道變形求解方法，避免Winkler地基模型不能考慮土體連續(xù)性的缺陷，同時考慮彈性地基梁與土體脫離的問題。建立三維梁-體空間有限元模型進(jìn)行對比驗(yàn)證分析解析模型的適用性并確定其適用范圍。解析模型理論與有限元模擬技術(shù)相輔相成，分析路基不均勻沉降下波長和幅值耦合作用時上部軌面的變形規(guī)律。

1 Pasternak彈性地基疊合梁模型

路基上雙塊式無砟軌道系統(tǒng)主要包括鋼軌、扣件系統(tǒng)、軌枕、道床板及支承層等^[15]，其橫斷面幾何尺寸如圖1所示。

相對于軌道縱線而言，路基的橫斷面尺寸小得多，路基不均勻沉降實(shí)際上是沿軌道縱向分布的垂向不均勻沉降。將鋼軌考慮為簡支梁，扣件視為等間距點(diǎn)支撐的線彈簧，道床板和支承層視為緊密連接的雙層疊合梁^[16]，即一整體梁，其等效物理中平面的形心坐標(biāo)為

（1）

式中：a₁、a₂為道床板和支承層的橫斷面面積；y₁、y₂為道床板和支承層的橫向形心坐標(biāo)；n為道床板和支承層的彈性模量比值E₁/E₂。疊合梁整體梁的等效抗彎剛度為

（2）

式中：L₁、L₂為道床板和支承層形心到等效物理中平面形心的距離；D₁、D₂為道床板和支承層的厚度。

對于路基，將其視為Pasternak地基模型，路基上最常見不均勻沉降為類余弦型，利用類余弦型曲線來描述路基不均勻沉降，如圖2所示。

在計(jì)算時，將沉降中心在沉降前路基面上的投影作為原點(diǎn)，y軸正向?yàn)榇怪彼降孛嫦蛳拢?em>x軸正向?yàn)槌两登奥坊嫠较蛴?，路基不均勻沉降曲線描述函數(shù)為

（3）

式中：A為不均勻沉降幅值；s為不均勻沉降波長。

為計(jì)算路基不均勻沉降導(dǎo)致的無砟軌道結(jié)構(gòu)變形，作出以下基本假定：

1）將路基結(jié)構(gòu)等效為連續(xù)彈性無拉力Pasternak地基；

2）將疊合梁視為Pasternak彈性地基上無限長Euler-Bernoulli梁；

3）土層視為各向同性均質(zhì)材料；

4）考慮到無砟軌道和路基之間可能出現(xiàn)離縫或者脫空現(xiàn)象，計(jì)算時考慮軌道自重；

5）建立的路基-無砟軌道耦合模型是基于小變形線彈性理論，無砟軌道的剛度可視為定值，即不考慮剛度折減問題。

由于鋼軌的抗彎剛度及重力遠(yuǎn)小于疊合梁的抗彎剛度及重力，求解時可忽略扣件力對疊合梁撓度的影響^[17]，在無拉力Pasternak地基梁中，其撓度滿足微分方程

（4）

式中：w為疊合梁撓度；k=k₀b，k₀為地基系數(shù)，可按地層情況查表取值^[18]；G=G_cb，G_c為剪切層參數(shù)，當(dāng)G_c=0時就退化為Winkler地基模型，b為疊合梁寬度（b取支承層寬度）；q為軌道自重均布荷載。其中，G_c可按Tanahashi^[19]提出的經(jīng)驗(yàn)公式確定。

（5）

式中：E_S為土體等效彈性模量，可按E_S=350c_u^[20]取值，其中c_u為地基不排水剪切強(qiáng)度；t為土體影響深度，取t=6b進(jìn)行計(jì)算^[21]；v為土體泊松比。

H（x）為引入的Heaviside階梯函數(shù)描述軌道與路基的脫空行為，定義為

（6）

當(dāng)路基發(fā)生不均勻沉降時，無拉力Pasternak地基梁微分控制方程可表示為

（7）

式中：u為給定的路基不均勻沉降邊界。

則H（x）表達(dá)式相應(yīng)地變?yōu)?/p>

（8）

將式（7）整理后得

（9）

此時，式（9）右邊部分可看成地基梁上的附加荷載。

對于高階微分方程的求解，可采用特征值法、有限差分法等，筆者采用有限差分法進(jìn)行求解，軌道離散為n+5個長度為l的節(jié)點(diǎn)單元（首尾各2個虛擬單元），路基離散為n+3個長度為l的節(jié)點(diǎn)單元（首尾各1個虛擬單元），其中，軌道離散分析如圖3所示。則式（9）可寫成

（10）

式中：w_i為軌道第i個節(jié)點(diǎn)單元的豎向位移（i=-2，-1…i…n+1，n+2）；u_i為所給定的路基第i個節(jié)點(diǎn)單元的豎向位移（i=-1…i…n+1）。

研究路基不均勻沉降對無砟軌道結(jié)構(gòu)變形的影響，疊合梁兩端只考慮最簡單的自由端邊界條件^[22]，則

（11）

則有

（12）

由式（12）得到w_-2、w_-1、w_n+1、w_n+2的表達(dá)式

（13）

同理，由邊界條件可知

（14）

由式（14）得到u_-1、u_n+1表達(dá)式

（15）

式（10）可用矩陣形式表示為

（16）

式中：K₁為軌道位移剛度矩陣；K₂、K₂^*分別為軌道和路基的地基剛度矩陣；K₃、K₃^*分別為軌道和路基的剪切剛度矩陣；W為軌道豎向位移列向量；Q軌道自重均布荷載列向量；U根據(jù)給定的路基不均勻沉降來描述；H為接觸狀態(tài)矩陣。

帶入虛擬單元位移表達(dá)式后，可分別得到各剛度矩陣表達(dá)式為

（17）

（18）

（19）

因此，只需求解式（16）即可得到軌道豎向位移W，由于H是未知的，無法直接求解W，故利用逐次逼近法求解軌道與路基之間的接觸非線性問題，具體步驟為：

1）首先假定軌道與路基之間無脫空，即

2）通過式（16）求解軌道位移向量W；

3）比較各節(jié)點(diǎn)處w_i和u_i的大小，并根據(jù)式（8）判定各節(jié)點(diǎn)處接觸函數(shù)值H_i，更新接觸狀態(tài)矩陣，再代入式（16）求解；

4）重復(fù)以上步驟，直至前后兩次迭代的位移之差小于某個預(yù)先給定的常數(shù)ε時，則停止迭代，一般迭代6～7次，計(jì)算結(jié)果便能達(dá)到足夠的精度。

由于鋼軌受自身重力及離散扣件力的作用，其變形控制方程為

（20）

式中：w_ri為鋼軌第i個扣件節(jié)點(diǎn)處的撓度；d_ij為第i個扣件節(jié)點(diǎn)處受第j個扣件節(jié)點(diǎn)單位力引起的豎向變形；f_i為鋼軌第i個扣件節(jié)點(diǎn)受單位均布荷載引起的位移；q₁為鋼軌重力荷載集度，基于簡支梁鋼軌模型，有

（21）

（22）

式中：E_rI_r為鋼軌抗彎剛度；l為鋼軌總長；x_i、x_j分別為第i和第j個扣件節(jié)點(diǎn)與左端支座的距離，x_i=i·l_s；a_j=x_j；b_j=l-x_j，l_s為相鄰扣件之間的距離。

對于扣件系統(tǒng)，各節(jié)點(diǎn)處的扣件力為

（23）

式中：k_p為扣件剛度；w_i為式（16）求解的W在第i個扣件節(jié)點(diǎn)處的值。

聯(lián)立式（20）和式（23）可得

（24）

將式（24）寫成矩陣形式后求出的扣件力矩陣P代回式（20），便可得到鋼軌軌面變形。

2 梁-體空間有限元模型

2.1 有限元模型的建立

基于ANSYS軟件，建立三維梁-體空間有限元模型（如圖4所示）。軌道模型長度取60 m，鋼軌和扣件分別采用空間梁單元和彈簧阻尼單元模擬，其他各軌道結(jié)構(gòu)層及路基均采用實(shí)體單元模擬，由于雙塊式無砟軌道具有較高的整體性，支承層和道床板、道床板和雙塊式軌枕之間均采用共節(jié)點(diǎn)方式進(jìn)行連接。

考慮到支承層與路基之間可能出現(xiàn)離縫甚至脫空現(xiàn)象（如圖5所示），在支承層與路基之間設(shè)置接觸，采用面-面方式進(jìn)行連接。在仿真過程中，模型兩端及模型底部設(shè)置全約束，路基縱向不均勻沉降通過在路基表面施加余弦型位移荷載來實(shí)現(xiàn)^[23]，同時對上部軌道結(jié)構(gòu)施加自重荷載。彈簧扣件的垂向剛度取3×10⁷"N/m，模型所使用的雙塊式無砟軌道材料參數(shù)見表1。

2.2 有限元模型可靠性驗(yàn)證

將有限元模型與文獻(xiàn)[11]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如表2所示，對比結(jié)果表明有限元模型可靠。同時，參照文獻(xiàn)[24]相關(guān)參數(shù)進(jìn)行取值，并與其計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，以沉降波長20 m、沉降幅值20 mm路基沉降工況為例，如圖6所示，對比結(jié)果再次證實(shí)有限元模型的可靠性。

2.3 對比分析

將建立的Pasternak彈性地基疊合梁解析模型和驗(yàn)證后的梁-體空間有限元模型在靜平衡位置下計(jì)算得到鋼軌軌面變形，對比不同路基沉降工況下兩種模型的計(jì)算結(jié)果，如圖7所示。

通過圖7不難看出，沉降幅值為5 mm時，解析模型和有限元模型計(jì)算結(jié)果幾乎完全一致；當(dāng)沉降幅值達(dá)到20 mm時，由于解析模型和有限元模型均考慮了層間接觸，計(jì)算出的鋼軌最大變形明顯小于路基沉降幅值，軌道與路基之間發(fā)生明顯脫空。但兩種模型計(jì)算結(jié)果存在一定偏差，當(dāng)沉降幅值達(dá)到40 mm時，兩者偏差增大。造成兩種模型存在偏差的主要原因是對路基沉降的加載方式不同，有限元模型將路基不均勻沉降作為強(qiáng)迫位移施加在路基表面，是一種位移邊界條件，而解析模型是將路基不均勻沉降作為力邊界條件施加。隨著路基沉降變形加劇，兩種不同的加載模式差異性增大。

2.4 誤差分析

為直觀地反映路基沉降變形對兩種模型預(yù)測結(jié)果的影響規(guī)律，以沉降波長20 m為例，圖8（a）描述了不同沉降幅值下兩種模型對鋼軌軌面變形的預(yù)測結(jié)果，圖8（b）描述了不同沉降幅值下兩種模型的預(yù)測結(jié)果偏差；以沉降幅值20 mm為例，圖9（a）描述了不同沉降波長下兩種模型對鋼軌軌面變形的預(yù)測結(jié)果，圖9（b）描述了不同沉降波長下兩種模型的預(yù)測結(jié)果偏差。

由圖8可以看出，路基沉降幅值在15 mm以內(nèi)時，兩種模型對鋼軌軌面變形的預(yù)測結(jié)果幾乎無差異；隨著路基沉降幅值的增大，兩種模型預(yù)測結(jié)果差異性逐漸增大，當(dāng)沉降幅值為21 mm時，解析模型預(yù)測結(jié)果與有限元模型預(yù)測結(jié)果偏差為5%，在可接受范圍內(nèi)；當(dāng)沉降幅值達(dá)到40 mm時，兩者偏差接近10%，此時解析模型不再適用。

由圖9可以看出，路基沉降波長大于22 mm時，兩種模型對鋼軌軌面變形的預(yù)測結(jié)果幾乎無差異；隨著路基沉降波長的減小，兩種模型預(yù)測結(jié)果差異性逐漸增大，當(dāng)沉降波長為19.8 m時，解析模型預(yù)測結(jié)果與有限元模型預(yù)測結(jié)果偏差為5.02%，隨著沉降波長進(jìn)一步減小，兩者偏差繼續(xù)增大，波長為15 m時，兩者偏差達(dá)到20.14%。

上述分析表明，余弦型路基不均勻沉降下，無砟軌道與路基之間可能會發(fā)生脫空，未發(fā)生脫空時，解析模型與有限元模型計(jì)算出的鋼軌變形幾乎一致；發(fā)生脫空時，解析解與數(shù)值解存在一定偏差，且隨著路基沉降的加劇，解析解與數(shù)值解之間的偏差越來越大，甚至在路基沉降較劇烈條件下解析模型不再適用。

解析解具有顯示的表達(dá)式，變量具有明確的物理意義，通過變量的研究能夠獲得軌道各層結(jié)構(gòu)縱向位移和彎矩的變化規(guī)律，快速評估軌面變形幅值；有限元模型可以模擬各種邊界和荷載等多因素復(fù)雜工況以及強(qiáng)非線性變形的迭代計(jì)算，可有效分析無砟軌道結(jié)構(gòu)空間受力和變形分布，為解決實(shí)際工程問題提供強(qiáng)大的計(jì)算工具。有限元模型建模過程相對繁瑣，依賴計(jì)算資源和時間，實(shí)例包含278 774個單元，每個單元又包含多個自由度，計(jì)算周期長且后處理較為復(fù)雜。當(dāng)路基沉降較平緩時，能夠通過積分法得出顯示的解析表達(dá)式，可以清晰地描述各個參數(shù)與軌面變形之間的關(guān)系；而當(dāng)路基沉降較劇烈時，由于強(qiáng)非線性的原因，解析模型不能捕捉真實(shí)變形結(jié)果，與有限元模型計(jì)算結(jié)果偏差較大，此時則需要利用有限元模型進(jìn)行求解。

3 路基不均勻沉降對雙塊式無砟軌道受力變形的影響

結(jié)合建立的Pasternak地基解析模型及梁-體空間有限元模型，在誤差允許范圍內(nèi)，采用相應(yīng)模型分析路基不均勻沉降對雙塊式無砟軌道軌面變形的影響規(guī)律。

3.1 不均勻沉降幅值的影響

沉降波長為20 m時，不同沉降幅值下雙塊式無砟軌道鋼軌彎曲變形曲線見圖10。由圖10可知，鋼軌軌面變形隨路基不均勻沉降也表現(xiàn)出類余弦型，且在沉降區(qū)兩端，鋼軌出現(xiàn)微小局部上拱現(xiàn)象。鋼軌最大變形隨路基沉降幅值的增大逐漸增大，且增速逐漸放緩，沉降幅值10 mm為臨界沉降幅值，超出此臨界幅值，鋼軌最大變形量小于路基沉降幅值，將導(dǎo)致軌道脫空。

3.2 不均勻沉降波長的影響

沉降幅值為20 mm時，不同沉降波長下雙塊式無砟軌道鋼軌彎曲變形曲線見圖11。可以看出，沉降波長越小，鋼軌變形越小，軌道與路基的脫空越嚴(yán)重；隨著沉降波長的增大，鋼軌變形逐漸增大，當(dāng)沉降波長大于25 mm時，鋼軌最大變形量始終與路基沉降幅值保持一致，軌道與路基無明顯脫空。

4 結(jié)論

針對雙塊式無砟軌道，建立考慮層間接觸的Pasternak彈性地基疊合梁解析模型及梁-體空間有限元模型，研究路基不均勻沉降下波長和幅值耦合作用時上部軌面的變形規(guī)律，并得到以下主要結(jié)論：

1）路基沉降較平緩時，解析模型與有限元模型對鋼軌軌面變形的預(yù)測結(jié)果幾乎無差異，隨著路基沉降的加劇，兩種模型預(yù)測結(jié)果偏差逐漸增大。

2）在路基沉降波長為20 m工況下，沉降幅值超過21 mm時，解析模型不再適用；在給定路基沉降幅值為20 mm條件下，解析模型適用于沉降波長大于19.8 m的路基沉降工況。

3）在路基不均勻沉降作用下，無砟軌道軌道結(jié)構(gòu)平順性受到影響，甚至出現(xiàn)空吊現(xiàn)象。路基沉降波長為20 m時，沉降幅值超過10 mm，軌道與路基出現(xiàn)脫空；路基沉降幅值為20 mm時，沉降波長超過25 m，軌道與路基無明顯脫空。

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（編輯""王秀玲）