經(jīng)歷“思維可視化”過程，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

［摘" 要］ 研究者以“三角形的周長(zhǎng)”教學(xué)為例，從“實(shí)操互動(dòng)，激活思維”“聚焦等量，揭示本質(zhì)”“拓展延伸，類比提升”三個(gè)環(huán)節(jié)開展研究，通過“思維可視化”揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)?！八季S可視化”教學(xué)的主要策略有：工具開發(fā)，體現(xiàn)思維可視化的樣態(tài)；多元表征，展示思維可視化的過程；探索關(guān)聯(lián)，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］ 思維可視化；本質(zhì)；周長(zhǎng)

數(shù)學(xué)是一門邏輯性和抽象性很強(qiáng)的學(xué)科，對(duì)于以直觀想象思維為主的小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)確實(shí)存在一定的困難。“思維可視化”可將內(nèi)隱的知識(shí)、方法或思想外顯，便于學(xué)生更好地加工與傳遞信息，從而深入理解知識(shí)本質(zhì)［１］。因此，教師應(yīng)關(guān)注“思維可視化”的研究?jī)r(jià)值，結(jié)合學(xué)情與知識(shí)特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，盡可能將抽象的知識(shí)直觀化。“三角形的周長(zhǎng)”是小學(xué)階段的重要教學(xué)內(nèi)容之一，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過尺規(guī)作圖法將抽象的周長(zhǎng)問題直觀化，為后續(xù)研究正方形、長(zhǎng)方形等更多圖形的周長(zhǎng)奠定基礎(chǔ)。

一、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 實(shí)操互動(dòng)，激活思維

師：圖1為一個(gè)三角形與一條虛線，如何應(yīng)用尺規(guī)作圖法將三角形的三邊描述在虛線上，以體現(xiàn)三角形的周長(zhǎng)？

學(xué)生在問題引導(dǎo)下自主操作，教師巡視，并找出一些典型方法進(jìn)行投影展示。

師：圖2為一名學(xué)生的畫法，對(duì)此你們有什么想法？

生1：這種畫法將三角形的三條邊分開了，沒有連在一起。

生2：老師并沒有要求我們將三條線連在一起呀。

生3：三條線還是連在一起比較美觀。

……

對(duì)于這種畫法，學(xué)生提出了不同的意見，在學(xué)生的爭(zhēng)論中，教師提出問題：“若按照?qǐng)D2的畫法，虛線兩端點(diǎn)的長(zhǎng)度與三角形的實(shí)際周長(zhǎng)之間存在什么關(guān)系？”

生（齊聲答）：肯定是周長(zhǎng)小于虛線這種畫法。

師：要體現(xiàn)出三角形的周長(zhǎng)，該怎么畫更合理？

生4：將前后的線段連起來。

師：如圖3，這是另一名學(xué)生的畫圖方法，說說你們的想法。

生5：這樣畫也不行，因?yàn)槿切蔚倪呍谶@條虛線上出現(xiàn)了重疊，那么所獲得的長(zhǎng)度必然小于三角形的實(shí)際周長(zhǎng)。

師：究竟該如何畫才能與三角形的周長(zhǎng)一致呢？

生6：想要在這條虛線上表達(dá)三角形的周長(zhǎng)，就要確保三條線段之間既不能重合也不能分離。

設(shè)計(jì)意圖：教師選擇經(jīng)典、規(guī)范的作品進(jìn)行展示，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)正確方法的理解。但是，教師“反其道而行之”，通過兩幅有問題的作品投影，與學(xué)生共同探討問題的根源，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)研究三角形周長(zhǎng)時(shí)的注意事項(xiàng)。這種既關(guān)注研究結(jié)果，又關(guān)注研究過程的教學(xué)手法，成功激活了學(xué)生的思維，幫助學(xué)生積累了操作經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)提升了學(xué)生的操作與反思能力。教師通過“思維可視化”的教學(xué)方法，促使學(xué)生進(jìn)一步感知數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)、周密，為揭示三角形周長(zhǎng)的本質(zhì)奠定基礎(chǔ)，發(fā)展了學(xué)生的推理意識(shí)、幾何直觀等核心素養(yǎng)。

2. 聚焦等量，揭示本質(zhì)

教師投影展示學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)畫法，如圖4所示，要求學(xué)生自主說明畫圖方法。

生7：分別用圓規(guī)截取三角形三條邊的長(zhǎng)度，逐條移到虛線上。

師：移動(dòng)過程中，有什么值得注意的？

生7：要確保下一條線段與前一條線段無縫且不重合地連接。

師：你是怎樣確定三角形上的AB邊與移動(dòng)到虛線上的AB線段等長(zhǎng)的？

生7：利用圓規(guī)測(cè)量好三角形上的AB邊后，將其移動(dòng)到虛線上時(shí)，圓規(guī)兩條腳之間的距離沒有發(fā)生變化。

師：非常好！基于“等量的等量相等”的規(guī)則，可明確三角形的周長(zhǎng)與虛線上的哪條線段具有相等的關(guān)系？

生8：如圖4所示，如果以點(diǎn)A為起點(diǎn)作圖，那么虛線上的AA′與△ABC的周長(zhǎng)相等。原因在于虛線上的AB等于三角形上的AB，虛線上的BC等于三角形上的BC，虛線上的CA′等于三角形上的CA。

師：很好！若以點(diǎn)B為起點(diǎn)畫圖呢？

生9：如圖5所示，同理BB′與三角形的周長(zhǎng)相等。

教師對(duì)學(xué)生的畫法表示肯定，并要求學(xué)生將整個(gè)作圖過程與所代表的意義進(jìn)行詳細(xì)闡述，進(jìn)一步明確三角形三邊長(zhǎng)的和就是三角形周長(zhǎng)的本質(zhì)，讓學(xué)生對(duì)三角形周長(zhǎng)有直觀的理解，此為思維可視化的體現(xiàn)。

師：除了以上有序畫圖之外，還存在其他畫圖方法嗎？

生10：圖6為以點(diǎn)A為起點(diǎn)的無序畫圖方法。

師：你們覺得這種畫法怎么樣？

生11：我認(rèn)為這種畫法也可以，雖然所畫的線段沒有順序可言，但最終也是將三角形的三條邊順利移動(dòng)到了虛線上，因此虛線上最終形成的線段同樣為三角形的周長(zhǎng)。

師：與圖4、圖5相比，圖6這種畫圖方法有什么弊端？

生12：如此畫圖的條理不清晰，由于三角形的線段較少，一般不會(huì)出錯(cuò)，但若遇到多邊形，則可能會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏。

師：總結(jié)得很好，通過以上探索大家已經(jīng)明確了三角形的周長(zhǎng)就是其三條邊的長(zhǎng)度和。實(shí)際畫圖時(shí)，要遵循條理清晰的原則，避免不必要的錯(cuò)誤。

設(shè)計(jì)意圖：將三角形的三條邊用尺規(guī)作圖法移動(dòng)到一條虛線上，不僅鍛煉了學(xué)生的手腦協(xié)作能力與直觀形象思維，還促使學(xué)生明確線段的長(zhǎng)度之間具有加減性特征，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力具有重要價(jià)值。作圖過程需注意的問題很多，比如線段之間不能出現(xiàn)縫隙、不能重疊，只有做到首尾相接，才能獲得準(zhǔn)確的周長(zhǎng)，凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性。在教師的啟發(fā)下，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)等量具有替換性，三角形的周長(zhǎng)從本質(zhì)上而言就是各條線段相加之后的長(zhǎng)度和，即線段長(zhǎng)度具有相加性。值得注意的是，按照一定順序畫圖更具條理性，不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師如此設(shè)計(jì)，能讓學(xué)生經(jīng)歷“思維可視化”過程，有效發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。

3. 拓展延伸，類比提升

師：通過以上探索，大家已經(jīng)初步掌握了三角形周長(zhǎng)的概念，現(xiàn)在請(qǐng)大家自主用尺規(guī)描述長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

如圖7，學(xué)生自主操作，將四條線段逐一移動(dòng)到下面的射線上，通過測(cè)量獲得長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

師：作圖過程中，大家一共用圓規(guī)截取了幾次長(zhǎng)方形的邊？

生13：如圖8，與三角形類似，按照順序共截取、移動(dòng)了4次，最終在射線上獲得該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

師：有其他意見嗎？

生14：如圖9，其實(shí)只要兩次就夠了，原因在于長(zhǎng)方形的對(duì)邊是相等的，用圓規(guī)分別截取該長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬之后，到射線上分別畫兩次即可。

師：以上兩種畫法的具體操作順序是什么？

生15：圖8就是按照三角形的方法，依次畫長(zhǎng)方形的寬AB→長(zhǎng)BC→寬CD→長(zhǎng)DA，因?yàn)殚_始的端點(diǎn)為A，結(jié)尾的端點(diǎn)也是A，所以用點(diǎn)A′代替結(jié)尾的端點(diǎn)，即AA′為長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)。

生16：圖9的順序?yàn)锳B→CD→AD→BC，由此獲得的線段AC′為長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

師：你們覺得哪種畫圖方法更好一些？說明理由。

生17：我更傾向于圖8的畫法，按照順序來畫不容易出錯(cuò)，而且條理很清楚，符合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)。

生18：我感覺圖9的畫法更簡(jiǎn)便一些，這么畫更容易理解，圓規(guī)使用次數(shù)也少一些，且將長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的特征體現(xiàn)出來了。

師：這兩種畫圖方法各有千秋，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，大家可根據(jù)自己的喜好來畫。既然我們已經(jīng)將長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)畫在射線上了，那么該怎樣獲得周長(zhǎng)的結(jié)論呢？

生19：只要將射線起點(diǎn)與終點(diǎn)間的距離測(cè)量出來即可。

師：由此可見，平面圖形周長(zhǎng)的本質(zhì)是什么？

生20：平面圖形的周長(zhǎng)就是一條線段的長(zhǎng)度。不論該圖形是幾邊形，只要確保每一條線段都能準(zhǔn)確地移動(dòng)到同一條直線上并連接好，就能順利獲得該圖形的周長(zhǎng)。

師：總結(jié)得很完整，現(xiàn)在大家來看下面這個(gè)問題。如圖10，將圖中兩個(gè)圖形的各條邊分別移動(dòng)到射線上，比較兩個(gè)圖周長(zhǎng)的大小。

設(shè)計(jì)意圖：平面圖形的探索要在操作、觀察與思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行。教師引導(dǎo)學(xué)生借助尺規(guī)作圖研究平面圖形的周長(zhǎng)，通過點(diǎn)與線來揭示圖形本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷“思維可視化”的過程，這樣不僅能讓學(xué)生深刻體會(huì)將圖形中的線段逐條移動(dòng)到一條直線或射線上的過程，還能讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)家精神，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)具有重要價(jià)值。此環(huán)節(jié)，學(xué)生將思維聚集在周長(zhǎng)的探索中，不僅積累了豐富的探索經(jīng)驗(yàn)，還進(jìn)一步鞏固了自身對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)，即平面圖形的周長(zhǎng)從本質(zhì)上而言就是一條線段的長(zhǎng)度。教師如此設(shè)計(jì)，能有效提升學(xué)生的幾何直觀能力，讓學(xué)生切身體會(huì)到尺規(guī)作圖是“思維可視化”的基本手段。

二、教學(xué)思考

1. 工具開發(fā)，體現(xiàn)思維可視化的樣態(tài)

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的思維可視化，一般以直觀的思維圖、流程圖或結(jié)構(gòu)圖等展示學(xué)生完整的思維過程。在課堂中教師應(yīng)想方設(shè)法開發(fā)能夠揭露學(xué)生思維過程的教學(xué)工具，讓思維以多樣態(tài)的形式呈現(xiàn)［２］。

本節(jié)課，教師引導(dǎo)學(xué)生借助“尺規(guī)”工具，探索多邊形的周長(zhǎng)問題，讓學(xué)生通過對(duì)操作過程的觀察與思考，提煉周長(zhǎng)的本質(zhì)。整個(gè)探索過程由學(xué)生親自參與、互動(dòng)交流，既突出了學(xué)生親歷“思維可視化”的過程，又借助尺規(guī)將圖形間的聯(lián)系展示出來，讓學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的本質(zhì)、內(nèi)涵與外延有深刻理解。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下畫圖、操作、表達(dá)，能對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生直觀形象的認(rèn)識(shí)。

2. 多元表征，展示思維可視化的過程

多元表征可增強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)聯(lián)想，為發(fā)展其數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ)。實(shí)踐表明，同一問題的不同表征形式可增強(qiáng)表征間的聯(lián)系，讓學(xué)生更好地理解知識(shí)本質(zhì)。直觀表征屬于最基礎(chǔ)的思維可視化過程，即通過對(duì)實(shí)例的客觀描述，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)直觀產(chǎn)生客觀體驗(yàn)。學(xué)生從實(shí)際問題中抽象數(shù)學(xué)問題的思維過程，要經(jīng)歷數(shù)字具象化或數(shù)量關(guān)系明確化的過程，此為提升學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵。

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，不僅用尺規(guī)作圖法進(jìn)行直觀表征，還應(yīng)用規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行描述。學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)思維可視化的過程，對(duì)周長(zhǎng)這一概念有了直觀形象的認(rèn)識(shí)，并深刻理解其本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)。

3. 探索關(guān)聯(lián)，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

思維可視化并不能將問題中的數(shù)量關(guān)系都交代清楚，因此這并不是一勞永逸的方法，只有厘清知識(shí)與知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，才能讓學(xué)生建立系統(tǒng)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生感知知識(shí)間的聯(lián)系，將學(xué)生置于互動(dòng)、質(zhì)疑與辨析的學(xué)習(xí)環(huán)境下，逐漸清晰學(xué)生的思維，為揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)做好鋪墊。

本節(jié)課教師緊緊圍繞學(xué)生的想法展開探索，在深度探究中突破教學(xué)難點(diǎn)，讓學(xué)生自主將多邊形的邊長(zhǎng)逐條移動(dòng)到直線上，成功揭示了周長(zhǎng)的本質(zhì)——就是一條線段。每個(gè)學(xué)生都是獨(dú)立的個(gè)體，對(duì)同一問題有著不一樣的見解，因此在利用思維可視化挖掘知識(shí)間的關(guān)聯(lián)時(shí)，教師要關(guān)注到學(xué)生客觀存在的差異性，以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

總之，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“思維可視化”過程是揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)，是推動(dòng)學(xué)生直觀思維發(fā)展的關(guān)鍵。教師應(yīng)正確理解思維可視化的內(nèi)涵，通過多樣化的數(shù)學(xué)工具、多元表征以及知識(shí)間的關(guān)聯(lián)來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 曹志丹，陳樹清. “思維可視化”視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)探究［Ｊ］. 文理導(dǎo)航（中旬），２０２４（６）：５２－５４.

［２］ 王佳怡. 借助尺規(guī)作圖 探尋周長(zhǎng)本質(zhì)：“通過尺規(guī)作圖認(rèn)識(shí)三角形的周長(zhǎng)”教學(xué)片斷與思考［Ｊ］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，２０２４（Ｚ２）：７６－７７＋８３.