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    探究圓錐曲線中的“雙定同構”問題

    2025-03-16 00:00:00姜建海
    關鍵詞:拋物線

    摘 要:借助圓錐曲線中的相關知識,通過“雙定同構”問題的導引,利用新教材與新高考的根源,對這兩個不同層面加以深入分析,歸納總結此類問題的規(guī)律與策略,引領并指導數(shù)學教學與復習備考.

    關鍵詞:圓錐曲線;雙定同構;橢圓;雙曲線;拋物線

    中圖分類號:G632"" 文獻標識碼:A"" 文章編號:1008-0333(2025)04-0049-03

    歷年高考真題都是我們數(shù)學教學與學習過程中的一個典型范例,也是教材的深入與體現(xiàn).而作為歷年高考中的重點與難點之一的圓錐曲線及其綜合應用問題,更是研究的一個重點.結合新教材與新高考的“雙定同構”問題合理變式,舉一反三,靈活教學與學習,成為研究教材和高考的一個基本方向[1].

    1 “雙定同構”問題導引

    通過學習解析幾何的相關知識,我們作如下思考:

    問題1 平面上到定點(一定)的距離等于定長(二定)的點的軌跡是圓.反過來說,對于圓C上任一點P,是否存在定點T,使得|PT|是定值.眾所周知,答案是肯定的,定點T一定是圓C的圓心,|PT|為圓C的半徑,如何論證呢?

    問題2 平面上到兩定點(一定)的距離之和等于常數(shù)(二定)(大于兩定點的距離)的點的軌跡是橢圓.反過來說,對于橢圓C上任一點P,是否存在兩個定點A,B,使得|PA|+|PB|為定值.若存在,求出兩定點A,B的位置(坐標)及該定值;若不存在,請說明理由.你也許會回答A,B一定是橢圓C的兩個焦點,|PA|+|PB|一定是橢圓C的長軸長.是的,但怎么推理呢?

    問題解讀

    事實上,問題1,2分別是由圓與橢圓的定義建構出來的“雙定同構”問題,這樣的“雙定”問題是圓錐曲線中十分重要的內容.

    “雙定同構”問題不僅是基礎知識的升華,還是綜合問題的體現(xiàn),是應用意識和創(chuàng)新意識的真實寫照,是數(shù)學核心素養(yǎng)的載體.

    (1)求C的方程;

    (2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值.

    這就是典型的“雙定同構”問題.下面以教材典題為例,進行圓錐曲線中的“雙定同構”問題的探究.

    因此我們可以建構下面的“雙定同構”試題:

    歸納總結 從原題及建構試題的解析過程可得出圓錐曲線中“雙定同構”探索問題的解答步驟如下:(1)假設存在雙定元素S,T滿足條件;(2)列出關于S,T的關系式;(3)根據(jù)恒成立條件列出關于S,T的方程組;(4)求解方程組.若方程組有解,則存在雙定元素S,T滿足條件;若方程組無解,則不存在雙定元素S,T滿足條件.

    2 由教材典題建構“雙定同構”試題

    高考試題根植教材,源于教材,高于教材,下面以“雙定同構”的命題形式,將教材中的部分典題轉化成“高考試題”.

    按“雙定同構”的命題形式,結合雙曲線的幾何性質,可以命制下列試題:

    (1)求雙曲線C的方程;

    3 由高考題改編為“雙定同構”試題

    很多關于定點、定值與定直線的高考試題都可以改編成“雙定同構”試題.

    (1)求l的斜率;

    答案 存在斜率k=-1 的定直線l,使得直線AP 與直線AQ 的斜率之和為常數(shù)0.

    (1)求橢圓C的方程;

    (2)對于C上的任意一點M,在x軸上是否存在定點D,以及是否存在與y軸平行的定直線l,使得點M到定點D的距離與點M到定直線l的距離之比為常數(shù)λ .若存在,求出定點D的坐標、定直線l的方程和此時的常數(shù)λ ;若不存在,請說明理由[2].

    變式2 已知拋物線C:y2=2pxpgt;0的焦點為F,過點F且斜率為1的直線l交C于A,B兩點.A,B在y軸上的射影分別為O1,O2,梯形O1ABO2繞y軸旋轉一周所得的圓臺的側面積為12π .

    (1)求拋物線C的方程;

    (2)是否存在過定點T的直線m與C交于M,N兩點,且M,N在與x軸垂直的定直線n上的射影為D,E,使得TD⊥TE.若存在,求出定點T的坐標與定直線n的方程;若不存在,請說明理由.

    答案 (1)y2=2x.

    (2)不存在定點T 與定直線n 滿足題中的條件.

    4 結束語

    依托圓錐曲線及其綜合應用問題的“雙定同構”,立足新教材,深入新高考,全面提升對數(shù)學“四基”與“四能”的深入理解,全面提升數(shù)學關鍵能力,優(yōu)化數(shù)學思維品質,形成良好的解題習慣與解題能力,以不變應萬變,才是真正體現(xiàn)素養(yǎng)的根本.

    參考文獻:

    [1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2017.

    [2] 龔瑜,韓文美.“動”“靜”結合,定點永存:賞析2023年高考數(shù)學全國乙卷理科第20題[J].中學生數(shù)理化(高二數(shù)學),2023(11):30-33.

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