開啟靈活解題的“支點(diǎn)”

摘 要：圍繞江蘇高考數(shù)列中 “插項(xiàng)” 問題展開討論，深入分析插入新數(shù)列構(gòu)成等差、等比以及混合情況這三種類型題的解題思路.通過具體的例題講解和方法歸納，幫助學(xué)生掌握數(shù)列“插項(xiàng)”問題的求解策略，提高學(xué)生的解題能力和思維靈活性.

關(guān)鍵詞：高考；高中數(shù)學(xué)；數(shù)列插項(xiàng)問題；解題思路

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）04-0042-03

數(shù)列作為高考數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，一直是考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn).其中，數(shù)列“插項(xiàng)”問題以其獨(dú)特的綜合性，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力提出較高要求.此類問題需要學(xué)生能夠準(zhǔn)確地分析插入項(xiàng)與原數(shù)列之間的關(guān)系[1].

1 插入新數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列

當(dāng)插入新數(shù)列使其構(gòu)成等差數(shù)列時(shí)，關(guān)鍵在于利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d以及等差數(shù)列的性質(zhì).在解題過程中，需要仔細(xì)找出原數(shù)列與插入數(shù)列之間的項(xiàng)數(shù)關(guān)系以及公差關(guān)系等重要因素，準(zhǔn)確把握數(shù)列之間的關(guān)系，才能夠最終確定插入項(xiàng)的值.具體而言，就是通過分析原數(shù)列的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)以及已知的項(xiàng)之間的差值等信息，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，建立方程或關(guān)系式來求解插入項(xiàng)[2].

例1 已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1-Sn=2，其中n∈N*.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;

分析 （1）利用數(shù)列的和與項(xiàng)的一般關(guān)系得到項(xiàng)的遞推關(guān)系，從而求得等比數(shù)列an的公比為q，在an+1-Sn=2中令n=1，并利用a2=a1q轉(zhuǎn)化，可求得a=2，進(jìn)而得到等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析 （1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，已知an+1-Sn=2，當(dāng)n≥2時(shí)，an-Sn-1=2，兩式相減可得an+1-an-（Sn-Sn-1）=0.即an+1=2an.則q=2.當(dāng)n=1時(shí)，得a2-a1=2，即a1q-a1=2，解得 a1=2.

故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n（n∈N*）.

2 插入新數(shù)列構(gòu)成等比數(shù)列

對于插入新數(shù)列構(gòu)成等比數(shù)列的問題，要依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1和等比數(shù)列的性質(zhì)來解題.其中，重點(diǎn)在于確定公比以及明確插入項(xiàng)與原數(shù)列項(xiàng)之間的對應(yīng)關(guān)系.可以根據(jù)原數(shù)列中已知項(xiàng)的比值來確定公比，再利用公比和原數(shù)列的項(xiàng)來推斷插入項(xiàng)的值.同時(shí)，等比數(shù)列的性質(zhì)如：m，n，p∈N*，若m+p=2n，則am×ap=a2n，也可以在解題中發(fā)揮重要作用，幫助學(xué)生建立等式關(guān)系，從而求解問題.

例2 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，a2=4.當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-1，2Sn，Sn+1+2n成等差數(shù)列.

（1）求a3，a4的值，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并加以證明;

（2）在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，在數(shù)列dn中是否存3項(xiàng)dm，dk，dp（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請說明理由.

分析 （1）根據(jù)已知的3Sn-1，2Sn，Sn+1+2n三個(gè)條件，利用遞推公式，逐步計(jì)算出數(shù)列的各項(xiàng)值.先求出a3，a4的值，進(jìn)而得出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.（2）先求出數(shù)列dn的通項(xiàng)公式，然后利用dm，dk，dp之間的關(guān)系求出m，k，p之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論.

解析 （1）根據(jù)已知條件n∈N*可知，在數(shù)列an中，當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-1，2Sn，Sn+1+2n成等差數(shù)列，所以3Sn-1+Sn+1+2n=4Sn.即Sn+1-Sn+2n=3（Sn-Sn-1）.即an+1+2n=3an.即an+1=3an-2n.所以a3=3a2-22=8，a4=3a3-23=16.

猜想an=2n（n∈N*）.

證明：因?yàn)閍1=2，a2=4，所以a2=3a1-21.

所以當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=3an-2n.

所以對任意正整數(shù)n，均有an+1=3an-2n.

所以an+1-2n+1=3an-3·2n=3（an-2n）.

所以an-2n=3（an-1-2n-1）=…=3n-1（a1-2）=0.

所以an=2n（n∈N*）.

即數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n（n∈N*）.

dm，dk，dp（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.

3 插入新數(shù)列混合求和

此種情況相對復(fù)雜，可能既包含等差數(shù)列的插入，又包含等比數(shù)列的插入，或者插入的項(xiàng)之間存在其他特定的規(guī)律.在面對此種問題時(shí)，需要分別根據(jù)不同數(shù)列的性質(zhì)和規(guī)律進(jìn)行深入分析.首先，要找出各自的關(guān)鍵條件，比如對于等差數(shù)列部分，確定公差和項(xiàng)數(shù)關(guān)系；對于等比數(shù)列部分，確定公比和項(xiàng)之間的乘積關(guān)系等.然后，逐步確定插入項(xiàng)的值.需要學(xué)生具備較強(qiáng)的分析能力和對不同數(shù)列性質(zhì)的熟練掌握，通過綜合運(yùn)用各種方法來解決復(fù)雜的插入項(xiàng)問題.

例3 （多選）新數(shù)列規(guī)則如下：在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)間插入它們的和，從而生成新的數(shù)列.對新生成的數(shù)列重復(fù)此操作，不斷產(chǎn)生新的數(shù)列.以數(shù)列1，2為例進(jìn)行構(gòu)造，首次操作后得到數(shù)列1，3，2；第二次操作后得到數(shù)列1，4，3，5，2，以此類推.第n（n∈N*）次得到數(shù)列1，x1，x2，x3，xk，…，2.記an=1+x1+x2+x3+…+xk+2，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則（" ）.

分析 在處理此類數(shù)列問題時(shí)，首先需要明確的是，要依據(jù)數(shù)列的具體構(gòu)造方法，按步驟逐步推導(dǎo)出數(shù)列的前幾項(xiàng)具體數(shù)值.在該過程中，需要對給定的條件進(jìn)行深入分析，確保每一步的推導(dǎo)都具有嚴(yán)密的邏輯性.接著，要對已經(jīng)推導(dǎo)出的數(shù)列序列進(jìn)行仔細(xì)觀察，從各項(xiàng)數(shù)值的變化趨勢、相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系等方面入手，嘗試從中發(fā)現(xiàn)潛在的規(guī)律.一旦找到規(guī)律，可以利用規(guī)律進(jìn)行推理運(yùn)算，從而推導(dǎo)出數(shù)列的后續(xù)項(xiàng).

解析 由題意可知，第1次得到數(shù)列1，3，2，此時(shí)k=1；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時(shí)k=3；第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時(shí)k=7；第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，

4 結(jié)束語

數(shù)列 “插項(xiàng)” 問題在高考中具有重要地位，其題型多樣，解題思路靈活.通過對插入新數(shù)列構(gòu)成等差、等比以及混合情況的深入分析，可以發(fā)現(xiàn)解決此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握數(shù)列的基本性質(zhì)，善于分析插入項(xiàng)與原數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系，合理運(yùn)用通項(xiàng)公式、求和公式等數(shù)學(xué)工具.在備考過程中，考生要多做此類題型，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題的靈活性和準(zhǔn)確性，從而在高考數(shù)列相關(guān)內(nèi)容中取得優(yōu)異成績.

參考文獻(xiàn)：

［1］王惠蘭.一類有關(guān)數(shù)列“插項(xiàng)”問題的解題探究[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2024（17）：46-47.

[2] 劉蘋.創(chuàng)新場景設(shè)置，合理變式拓展：一道數(shù)列題的探究[J].數(shù)學(xué)之友，2024（03）：64-66.