感悟加減運(yùn)算算理、算法一致性教學(xué)策略

運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的一致性主要體現(xiàn)在算理、算法上，教師從大單元視角依托以下路徑教學(xué)加減運(yùn)算，有助于學(xué)生溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算之間的聯(lián)系，從計數(shù)單位及其個數(shù)的角度理解加減運(yùn)算的本質(zhì)，感悟其算理、算法的一致性。

一、重組教材內(nèi)容，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化大單元

整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的教學(xué)內(nèi)容分布在各冊教材中，教師以數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運(yùn)算一致性為主旨整合各冊教材中的相關(guān)內(nèi)容，通過大單元整體設(shè)計厘清加減運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，有助于學(xué)生通過類比理解算理，通過遷移掌握算法，進(jìn)而融會貫通地理解加減運(yùn)算算理、算法的一致性?；诖?，筆者對北師大版數(shù)學(xué)一年級下冊第四單元“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”和第五單元“100以內(nèi)數(shù)加與減（一）”的內(nèi)容進(jìn)行大單元整體設(shè)計。

具體來說，筆者將第四單元中身邊的數(shù)（100以內(nèi)數(shù)的數(shù)法）、數(shù)一數(shù)（100以內(nèi)數(shù)的數(shù)法）、數(shù)豆子（100以內(nèi)數(shù)的讀寫）、誰的紅果多（數(shù)的大小比較）、小小養(yǎng)殖場（數(shù)的相對大小關(guān)系）、做個百數(shù)表（100以內(nèi)數(shù)的順序）、整理與復(fù)習(xí)（100以內(nèi)數(shù)的組成、讀寫、大小比較）7個課時的內(nèi)容，整合為“我是識數(shù)小達(dá)人”和“拓展整理”2個主題，分為經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化課、基礎(chǔ)認(rèn)知課、鞏固應(yīng)用課3個課時教學(xué)，主要教學(xué)活動分別是：通過數(shù)數(shù)方法的遷移與提升，學(xué)會數(shù)100以內(nèi)的數(shù)；學(xué)習(xí)相應(yīng)的計數(shù)單位及含義，讀、寫100以內(nèi)的數(shù)；借助對計數(shù)單位的理解進(jìn)行數(shù)的大小比較、數(shù)的順序等方面的應(yīng)用。

筆者還將第五單元中小兔請客（整十?dāng)?shù)的加減法）、采松果（兩位數(shù)加減一位數(shù)、整十?dāng)?shù)）、青蛙吃蟲子（兩位數(shù)加減兩位數(shù)）、算一算（豎式的初步認(rèn)識和計算）、有趣的算式（探究個位和十位數(shù)字相同的算式）、回收廢品［解決比一個數(shù)多（少）幾的數(shù)是多少的問題］、整理與復(fù)習(xí)（100以內(nèi)數(shù)的加減法計算）7個課時的內(nèi)容，整合為“我是計算小達(dá)人、拓展提升、解決問題、回顧梳理”4個主題，分為感悟歸納課、遷移建構(gòu)課、拓展思維課、實(shí)際應(yīng)用課、總結(jié)內(nèi)化課5個課時教學(xué)，并分別設(shè)置如下主要教學(xué)活動：借助多種表征方式理解算理、總結(jié)算法，正確計算整十?dāng)?shù)加減法、兩位數(shù)加減法；進(jìn)行算法遷移，學(xué)習(xí)筆算，建立算法模型；探究個位和十位數(shù)字相同的算式計算；在解決問題中深入理解加法、減法的含義和關(guān)系；總結(jié)100以內(nèi)數(shù)的加減法算理和算法。

這樣設(shè)計能為學(xué)生感悟數(shù)與運(yùn)算的一致性賦能，為他們后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。

二、借助直觀模型，理解算理一致性

探究算理是加減運(yùn)算教學(xué)的重難點(diǎn)，學(xué)生只有理解加減運(yùn)算的本質(zhì)，明白加減法是對數(shù)量的合并與拆分，才能更好地掌握算法。直觀模型是探究算法的有力工具，筆者結(jié)合北師大版數(shù)學(xué)五年級下冊第一單元“分?jǐn)?shù)加減法”第一課時《折紙》（異分母分?jǐn)?shù)加減法）的教學(xué)做具體闡釋。

學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)和小數(shù)加減法的意義及算理、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)、簡單的同分母分?jǐn)?shù)加減法，對相同計數(shù)單位上的數(shù)才能直接相加減的算理本質(zhì)有了一定認(rèn)知。在本節(jié)課，筆者重點(diǎn)借助直觀模型引導(dǎo)學(xué)生溝通分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)加減法之間的聯(lián)系，結(jié)合在整數(shù)加減法學(xué)習(xí)中積累的有關(guān)算理理解的經(jīng)驗(yàn)，理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理并概括其算法。

教材展示學(xué)生熟悉的折紙情境，引出兩個問題。第一個問題教學(xué)異分母分?jǐn)?shù)加法，學(xué)生結(jié)合教材中直觀的正方形折紙圖清楚地看到[12]就是[24]，體會到通分在異分母分?jǐn)?shù)加減法中的必要性，并從分?jǐn)?shù)單位的角度理解算理——[12]+[14]=[2 4]+[14]=2個[14]+1個[14]=3個[14]=[34]，進(jìn)而梳理算法——先通分成同分母分?jǐn)?shù)，保證兩個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位相同，再進(jìn)行相同分?jǐn)?shù)單位個數(shù)的合并。由此，學(xué)生對異分母分?jǐn)?shù)加法計算的感性經(jīng)驗(yàn)上升到理性認(rèn)識。第二個問題教學(xué)異分母分?jǐn)?shù)減法，學(xué)生基于之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)嘗試自主計算。在說明算理和算法時，筆者同樣引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖闡釋并驗(yàn)證。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生討論計算異分母分?jǐn)?shù)加減法時為什么要先通分。學(xué)生總結(jié)：通分的目的是把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，分母相同也就是分?jǐn)?shù)單位相同，分?jǐn)?shù)單位相同，才能直接相加減。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生對比加法和減法兩個算式計算的共同點(diǎn)，并結(jié)合例題和整數(shù)加減法的算理，概括異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理與算法，體會整數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法算理、算法的一致性。

三、統(tǒng)整情境素材，感悟算法一致性

2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)在教學(xué)建議中提出，要注重發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進(jìn)作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)。教師創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，選取貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知加工特點(diǎn)的素材，能幫助學(xué)生更好地理解加減運(yùn)算的算理，并抽象出算法。

北師大版數(shù)學(xué)一年級下冊第一單元“20以內(nèi)數(shù)與加法”的主要內(nèi)容包括認(rèn)識11～20各數(shù)、學(xué)習(xí)20以內(nèi)的進(jìn)位加法和不退位減法。各課時教學(xué)內(nèi)容都融于不同的情境中，但情境之間的關(guān)聯(lián)度不高，難以有效幫助學(xué)生通過類比與遷移理解算法的一致性。為此，筆者教學(xué)時整合古人計數(shù)（一）、古人計數(shù)（二）、搭積木、開心農(nóng)場、一起做家務(wù)、小兔子安家等情境素材，創(chuàng)設(shè)大單元背景下貫通各個課時教學(xué)的情境。例如，在第一課時，筆者創(chuàng)設(shè)“一起出去游玩”的情境，將上述零散的情境素材有機(jī)融合在同一幅圖中，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中有什么、分別有多少，讓他們用自己的方法數(shù)一數(shù)、認(rèn)一認(rèn)20以內(nèi)的數(shù)。在第二課時，筆者選擇第一課時情境圖中的元素，通過改變元素的數(shù)量，如將羊分為羊圈里面的14只和羊圈外面的3只，引導(dǎo)學(xué)生解決一共有多少只羊的問題，探究20以內(nèi)不進(jìn)位加法和不退位減法。在第三課時，筆者通過同樣的方式引出9加幾的進(jìn)位加法，以及8，7，6加幾的算式，讓學(xué)生將湊十法貫通地應(yīng)用于20以內(nèi)進(jìn)位加法的計算中，體會各課時涉及的加法在算法上的一致性。

學(xué)生通過連貫的情境素材學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識和加減法，自主進(jìn)行算法的類比與遷移，進(jìn)而理解了湊十法的通用性，感悟到9加幾、8加幾、7加幾、6加幾算法的一致性。

四、推理與遷移，助力算法的抽象與概括

整數(shù)加減法分布在小學(xué)一至三年級各冊教材中，但從課程內(nèi)容看，5，10，20以內(nèi)的加減法教學(xué)重點(diǎn)在于讓學(xué)生從具體情境中物體數(shù)量的加減過渡到數(shù)字符號的表達(dá)，體會不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的值，感知數(shù)的加減運(yùn)算要在相同數(shù)位上進(jìn)行；100以內(nèi)數(shù)的加減法則重在類比推理，讓學(xué)生將100以內(nèi)數(shù)的加減法算法自主遷移至萬以內(nèi)數(shù)的加減運(yùn)算中。

北師大版數(shù)學(xué)一年級下冊第五單元“100以內(nèi)數(shù)加與減（一）”，通過整十?dāng)?shù)加減法，兩位數(shù)加減一位數(shù)、整十?dāng)?shù)，兩位數(shù)加減兩位數(shù)，豎式的初步認(rèn)識和計算等課時，已經(jīng)將100以內(nèi)數(shù)的加減法“相同數(shù)位上的數(shù)才能相加減”的算理和“相同數(shù)位對齊，從個位算起”的算法全部展示，教師后續(xù)教學(xué)二年級下冊第五單元“加與減”（萬以內(nèi)數(shù)加與減）時完全可以放手讓學(xué)生自主探究，類比推理出萬以內(nèi)數(shù)加減法的算理和算法，歸納概括整數(shù)加減法算法的同時，理解前面所學(xué)加減法在算理、算法上的一致性，增強(qiáng)推理意識。

小數(shù)加減法的算理、算法也可以通過整數(shù)加減法的轉(zhuǎn)化與遷移得出。教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)四年級下冊第一單元“小數(shù)的意義和加減法”中的《買菜》（小數(shù)的加減法）一課時，筆者先從油菜和芹菜的價格入手，讓學(xué)生根據(jù)小數(shù)的意義思考并填寫“1.25元="""" 元"" 角"" 分="" 分，2.41元="" 元"" 角"""""" 分="" 分，3.66元="" 元"" 角"" 分="" 分”，為小數(shù)加減法的算理理解做鋪墊。學(xué)生在轉(zhuǎn)化單位的過程中將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，從而將小數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為整數(shù)加減法。這樣，學(xué)生自然能回憶起相同數(shù)位對齊、從個位算起的整數(shù)加減法算法。然后，筆者展示元、角、分單位分別對齊后相加減的算法，幫助學(xué)生理清“1元2角5分+2元4角1分=3元6角6分=3.66元，3元6角6分-1元2角5分=2元4角1分=2.41元”，并總結(jié)出“元與元對齊、角與角對齊、分與分對齊的目的是把相同的計數(shù)單位對齊，因?yàn)橹挥邢嗤嫈?shù)單位上的數(shù)才能直接相加減”。最后，筆者結(jié)合小數(shù)加減法的豎式，幫助學(xué)生從計數(shù)單位的角度理解小數(shù)加減法的算理，如1.25加2.41就是先用1個一加2個一、2個0.1加4個0.1、5個0.01加1個0.01，再把它們的和合并起來。筆者還提示：列豎式計算小數(shù)加減法時，把加數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊就是把相同數(shù)位對齊。通過以上學(xué)習(xí)路徑，學(xué)生抽象、概括出了整數(shù)加減法和小數(shù)加減法在算法上的一致性。

此外，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可以先從計數(shù)單位的角度引導(dǎo)學(xué)生先回顧與梳理整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的表達(dá)形式，如3458=3個千+4個百+5個十+8個一、[34]=3個[14]、0.36=3個0.1+6個0.01，然后將其加減法算理歸結(jié)為相同計數(shù)單位上數(shù)的合并或拆分，最后基于算理分別概括相應(yīng)的算法，從而深入理解加減運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，達(dá)到增強(qiáng)數(shù)感、運(yùn)算能力、符號意識、推理意識的素養(yǎng)目標(biāo)。

（作者單位：簡翠萍，宜昌市夷陵區(qū)教師發(fā)展中心；劉宜，宜昌市夷陵區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

文字編輯" 劉佳