運(yùn)算能力的內(nèi)涵、維度與具體表現(xiàn)

運(yùn)算是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)生發(fā)展的動(dòng)力與工具，對(duì)人的思維能力提升具有不可替代的作用。運(yùn)算貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的全過程，具備運(yùn)算能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》發(fā)布以后，如何實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)成為數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐方面的重要議題。本組文章聚焦運(yùn)算能力，以“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”單元為例，從運(yùn)算能力的內(nèi)涵、維度與具體表現(xiàn)的分析入手確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，從課程標(biāo)準(zhǔn)要求、教材編寫、教學(xué)實(shí)踐三個(gè)角度整體解讀教材，并探討指向運(yùn)算能力發(fā)展的學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)與實(shí)施策略，以真實(shí)案例展示如何實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)”）提出數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的“三會(huì)”核心素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。運(yùn)算能力是小學(xué)階段唯一作為“能力”要求的行為表現(xiàn)，主要指向數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。教師只有理解運(yùn)算能力的內(nèi)涵，并將其與具體的單元內(nèi)容建立關(guān)聯(lián)，才能在教學(xué)中有針對(duì)性地表述和落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)。本文基于已有研究成果分析運(yùn)算能力的內(nèi)涵及維度，探討運(yùn)算能力的具體表現(xiàn)。

一、運(yùn)算能力的內(nèi)涵分析

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要的一種能力。

從心理學(xué)角度講，端木鈺在《鍛造基于思維特質(zhì)學(xué)習(xí)力的小學(xué)生運(yùn)算技能》一文中提出，運(yùn)算技能指學(xué)生借助內(nèi)部言語在頭腦中進(jìn)行的一系列智力活動(dòng)方式，它是智力技能，而非操作技能。這強(qiáng)調(diào)了運(yùn)算能力的智力技能屬性。

《數(shù)學(xué)辭?！罚ǖ诹恚┲赋觯哼\(yùn)算能力是運(yùn)用有關(guān)運(yùn)算的知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算、推理求得運(yùn)算結(jié)果的能力，它是數(shù)學(xué)能力的基本成分之一；數(shù)學(xué)運(yùn)算包括初等數(shù)學(xué)階段的四則運(yùn)算，整式、有理式、根式運(yùn)算，指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)運(yùn)算，高等數(shù)學(xué)階段的運(yùn)算，以及更廣義、抽象的運(yùn)算?！吨袊?guó)中學(xué)教學(xué)百科全書·數(shù)學(xué)卷》（1991年版）指出，運(yùn)算能力和邏輯思維能力、空間想象能力并稱為數(shù)學(xué)的三大基本能力。運(yùn)算能力在2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)中被定義為根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力?？梢姡\(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)的一項(xiàng)綜合技能，是運(yùn)算技能與邏輯思維能力的一種獨(dú)特結(jié)合。

不同學(xué)者對(duì)運(yùn)算能力持有不同的認(rèn)識(shí)，比較典型的觀點(diǎn)如下：王強(qiáng)國(guó)在《數(shù)學(xué)“運(yùn)算能力”的內(nèi)涵、要求及提升路徑》一文中提出，運(yùn)算能力并非孤立的數(shù)學(xué)能力，它需要通過了解并正確應(yīng)用運(yùn)算知識(shí)、運(yùn)算條件、運(yùn)算方法與運(yùn)算步驟盡可能簡(jiǎn)潔地獲得運(yùn)算結(jié)果，從而促進(jìn)操作和思辨的融合；呂世虎在《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及其體系構(gòu)建》一文中強(qiáng)調(diào)，運(yùn)算能力的發(fā)展是運(yùn)算技能和邏輯思維的有效整合，這有助于個(gè)體程序化思考問題能力的形成以及邏輯推理能力的提升，同時(shí)，運(yùn)算過程中對(duì)通性通法和簡(jiǎn)潔算法的追求可以使個(gè)體的思維更加靈活，運(yùn)算得到優(yōu)化；孫敦甲在《中學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的研究》一文中將運(yùn)算能力劃分為三級(jí)水平，分別是理解掌握各種運(yùn)算的能力、靈活運(yùn)用各種運(yùn)算的能力和抽象認(rèn)識(shí)運(yùn)算的能力。

以上著作和學(xué)者對(duì)運(yùn)算能力內(nèi)涵的界定雖然不同，但其內(nèi)涵大都涉及“知識(shí)”“技能”“結(jié)果”“法則”“思維能力”等關(guān)鍵詞。運(yùn)算能力的發(fā)展過程蘊(yùn)含著抽象、推理、建模等基本數(shù)學(xué)思想，能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。綜上，運(yùn)算能力是以知識(shí)為基礎(chǔ)，融合技能運(yùn)用，以求得正確結(jié)果為導(dǎo)向，旨在提升思維能力的遍布各個(gè)學(xué)段、分為多個(gè)層次的綜合技能。

二、運(yùn)算能力的維度劃分

在把握運(yùn)算能力內(nèi)涵的基礎(chǔ)上明晰其構(gòu)成維度，進(jìn)而明確其具體表現(xiàn)，有利于有的放矢地進(jìn)行針對(duì)性教學(xué)與練習(xí)。

2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)運(yùn)算能力主要表現(xiàn)的描述包括三個(gè)方面：一是能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；二是能夠理解運(yùn)算的問題，選擇合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問題；三是能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。林崇德將數(shù)學(xué)運(yùn)算能力劃分為三級(jí)水平。第一，了解與理解運(yùn)算的水平：學(xué)生對(duì)運(yùn)算的含義以及運(yùn)算律、運(yùn)算公式有感性的、初步的認(rèn)識(shí)。第二，掌握應(yīng)用運(yùn)算的水平：學(xué)生在了解運(yùn)算水平的基礎(chǔ)上通過練習(xí)形成技能，并能夠解決一定的數(shù)學(xué)問題。第三，綜合評(píng)價(jià)運(yùn)算的水平：學(xué)生在掌握多種解法的基礎(chǔ)上能夠選擇最便捷、靈活的方法解決問題。楊豫暉在《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀 小學(xué)數(shù)學(xué)》一書中提出，運(yùn)算能力從運(yùn)算內(nèi)容看，包括數(shù)的運(yùn)算能力和符號(hào)運(yùn)算能力；從運(yùn)算過程看，包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中因遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力。李吉在《小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的維度及培養(yǎng)》一文中提出，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力首先要正確掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)（法則、性質(zhì)、概念等）；其次要加強(qiáng)運(yùn)算能力訓(xùn)練；最后要養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，形成一絲不茍的學(xué)習(xí)態(tài)度。由此，我們可以發(fā)現(xiàn)，已有研究普遍認(rèn)為運(yùn)算能力包括了解與掌握運(yùn)算相關(guān)知識(shí)、形成應(yīng)用技能、選擇合理的策略解決數(shù)學(xué)問題三個(gè)方面。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀》提到運(yùn)算能力包含以下幾個(gè)方面：首先是根據(jù)運(yùn)算律、運(yùn)算法則和運(yùn)算程序熟練地進(jìn)行數(shù)的四則運(yùn)算；其次是理解運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算律與算法之間的關(guān)系，感悟運(yùn)算的一致性；再次是通過運(yùn)算解決數(shù)學(xué)問題和簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；最后是通過運(yùn)算、探究，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系與規(guī)律。北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教師用書（2024年版）將運(yùn)算能力的維度劃分為理解運(yùn)算的意義、理解算法與算理之間的關(guān)系、選擇合理的策略解決問題、通過運(yùn)算促進(jìn)推理能力的發(fā)展四個(gè)方面。

綜上所述，我們可將2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)給出的運(yùn)算能力的第一個(gè)表現(xiàn)拆分為“理解意義”和“理解關(guān)系”兩個(gè)方面，以凸顯運(yùn)算能力的進(jìn)階性，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地達(dá)到相關(guān)要求，并基于此，將運(yùn)算能力的表現(xiàn)界定為以下四個(gè)維度：①理解運(yùn)算的意義；②理解算法與算理之間的關(guān)系；③選擇合理的策略解決問題；④通過運(yùn)算促進(jìn)推理能力的發(fā)展。

三、運(yùn)算能力各維度的具體表現(xiàn)

第一，理解運(yùn)算的意義。理解運(yùn)算的意義是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的起點(diǎn)，小學(xué)階段主要涉及整數(shù)四則運(yùn)算、小數(shù)四則運(yùn)算、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的理解，以及加法交換律、結(jié)合律等運(yùn)算律的理解。在學(xué)習(xí)四則運(yùn)算的過程中，學(xué)生要先經(jīng)歷從數(shù)量到數(shù)的抽象過程，理解并掌握數(shù)的概念。無論是整數(shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算，還是分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，都要遵循四則運(yùn)算的運(yùn)算順序、定律、性質(zhì)和關(guān)系等。理解整數(shù)四則運(yùn)算的意義是學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的基礎(chǔ)。小數(shù)的運(yùn)算緊密貼合生活中的度量，與生活場(chǎng)景緊密相連。分?jǐn)?shù)的運(yùn)算側(cè)重部分與整體關(guān)系的詮釋。不同運(yùn)算之間同時(shí)存在著內(nèi)在的邏輯關(guān)系，如加法與減法互為逆運(yùn)算，乘法是特殊的加法且與除法存在著密切的互逆關(guān)系等。

第二，理解算法與算理之間的關(guān)系。這是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)。顧名思義，算理就是計(jì)算過程所遵循的道理，即為什么這樣算；算法即計(jì)算的方法，也就是怎樣算。算理是算法的依據(jù)，是形成運(yùn)算策略的基礎(chǔ)，理解算理是小學(xué)階段所有運(yùn)算教學(xué)的核心目標(biāo)，而算法形成于理解算理的過程中，因此算理與算法相互融合。比如，小數(shù)四則運(yùn)算以整數(shù)四則運(yùn)算為基礎(chǔ)，小數(shù)加減法所強(qiáng)調(diào)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊與整數(shù)加減法所強(qiáng)調(diào)的數(shù)位對(duì)齊在算理上別無二致。史寧中提出計(jì)數(shù)單位是一種特殊的計(jì)量單位，即個(gè)數(shù)和順序的計(jì)量單位，我們可以把它作為數(shù)學(xué)化（一致性）的抓手。因此，數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是相同計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算，如異分母分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)涉及通分，我們要引導(dǎo)學(xué)生理解通分的目的是得到相同的計(jì)數(shù)單位，因?yàn)橹挥杏?jì)數(shù)單位相同，才能直接相加減，進(jìn)而感悟運(yùn)算的一致性。

第三，選擇合理的策略解決問題。數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活。無論是在課堂探究中還是在日常練習(xí)中，教師都應(yīng)聯(lián)系實(shí)際生活提出問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際分析問題，基于所掌握的運(yùn)算法則找出最合理、簡(jiǎn)便的方法解決問題，并在相同情境中依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)估算與判斷。如在“歡樂購(gòu)物街”主題學(xué)習(xí)中，學(xué)生認(rèn)識(shí)并使用人民幣，在真實(shí)的購(gòu)物活動(dòng)中換算人民幣，合理選擇人民幣購(gòu)物，加強(qiáng)對(duì)加減法的運(yùn)用。

第四，通過運(yùn)算促進(jìn)推理能力的發(fā)展。推理一般包括合情推理和演繹推理。在學(xué)習(xí)四則運(yùn)算的過程中，學(xué)生需要依據(jù)運(yùn)算法則和已有經(jīng)驗(yàn)推測(cè)出合理的運(yùn)算順序，并在后續(xù)學(xué)習(xí)中隨著對(duì)運(yùn)算律的深入理解，學(xué)會(huì)在解決問題時(shí)從定律的普遍原理推導(dǎo)出具體題目的解法。

根據(jù)以上分析，我們將運(yùn)算能力各維度的具體表現(xiàn)細(xì)化（見表1）。該表格從理解運(yùn)算的意義、理解算法與算理之間的關(guān)系、選擇合理的策略解決問題和通過運(yùn)算促進(jìn)推理能力的發(fā)展四個(gè)維度，層層遞進(jìn)地闡述運(yùn)算能力的核心內(nèi)容，展現(xiàn)從基本理解到高階思維的發(fā)展路徑，構(gòu)成運(yùn)算能力的層級(jí)框架。每個(gè)維度下細(xì)化出的可操作的具體表現(xiàn)，既能為教師設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容提供指導(dǎo)，又能為教師評(píng)價(jià)學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展水平提供依據(jù)，對(duì)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要價(jià)值。

（作者單位：福建師范大學(xué)）

［本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度基礎(chǔ)教育高質(zhì)量發(fā)展重點(diǎn)專項(xiàng)課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下課堂教學(xué)的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系構(gòu)建研究”（FJGHZD22-06）、福建省教育科學(xué)規(guī)劃教育考試招生重點(diǎn)課題（A類）“核心素養(yǎng)導(dǎo)向的中小學(xué)考試與評(píng)價(jià)研究”（FJJYKS23-06）的成果］