回歸定義巧解題，靈活應(yīng)用妙創(chuàng)新

摘要拋物線的定義是其曲線特征的本質(zhì)屬性，也是解決拋物線問(wèn)題的一個(gè)重要切入點(diǎn)與突破口．借助拋物線定義合理實(shí)現(xiàn)并轉(zhuǎn)化涉及“兩點(diǎn)距離”或“點(diǎn)線距離”的幾何直觀問(wèn)題，處理與破解拋物線中一些線段的長(zhǎng)度、參數(shù)的取值、最值的確定以及綜合的應(yīng)用等問(wèn)題.合理歸納總結(jié)解題技巧與方法，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究．

關(guān)鍵詞拋物線；定義；線段；距離；最值

定義是相關(guān)概念的本質(zhì)與靈魂，是相關(guān)概念與應(yīng)用進(jìn)一步深入與應(yīng)用的理論基礎(chǔ)與基石．借助定義來(lái)分析與解決問(wèn)題，是回歸問(wèn)題的本質(zhì)，是闡述與論證問(wèn)題的基本切入點(diǎn)．在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，借助定義將成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)基本思維方式．而拋物線的定義，其巧妙闡述了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)與線之間的距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化，成為合理、巧妙轉(zhuǎn)化的一個(gè)重要基礎(chǔ)，是實(shí)現(xiàn)“兩點(diǎn)距離”或“點(diǎn)線距離”的一個(gè)重要技巧方法，成為解決拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題中比較常用的一種思維方式．本文通過(guò)幾道例題來(lái)闡述拋物線定義在解決相應(yīng)問(wèn)題中的重要作用，并給出相似問(wèn)題的處理方法和步驟.

1．線段的長(zhǎng)度問(wèn)題

拋物線中有關(guān)焦點(diǎn)的線段長(zhǎng)度問(wèn)題可以依托拋物線的定義，巧妙實(shí)現(xiàn)“兩點(diǎn)距離”或“點(diǎn)線距離”之間聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)單條線段長(zhǎng)度、多條線段長(zhǎng)度的線性關(guān)系式等的求解與應(yīng)用．

例1設(shè)F為拋物線y2=8x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，若FA+FB+FC=OF，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則FA+FB+FC=．

解析設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，易知p=4，F(xiàn)2，0．

則FA=x1－2，y1，F(xiàn)B=x2－2，y2，F(xiàn)C=x3－2，y3．

因?yàn)镕A+FB+FC=OF，所以x1－2+x2－2+x3－2=2，即x1+x2+x3=8．

由拋物線的定義可得FA=x1+2，F(xiàn)B=x2+2，F(xiàn)C=x3+2．所以FA+FB+FC=x1+x2+x3+6=14．

點(diǎn)評(píng)解決拋物線中的線段長(zhǎng)度問(wèn)題，合理借助定義，靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)Px0，y0到焦點(diǎn)F的距離PF=x0+p2或PF=y0+p2，從而實(shí)現(xiàn)距離與坐標(biāo)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，給線段長(zhǎng)度的求解與應(yīng)用創(chuàng)造條件．

2．參數(shù)的取值問(wèn)題

拋物線中有關(guān)參數(shù)的取值問(wèn)題，以拋物線中的參數(shù)p，直線方程的斜率、截距，以及對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)等為主，可以依托拋物線的定義，合理建立關(guān)系式或方程（組），實(shí)現(xiàn)參數(shù)取值的分析與求解．

例2已知過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點(diǎn)，且DE=45AB，則直線l的斜率為（）.

A．±33B．±1C．±2D．±12

解析設(shè)AB=2r2r4，AB的中點(diǎn)為M，MN⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x=－1 的垂線，垂足分別為A1，B1，如圖1所示．由拋物線的定義知2MN+1=AA1+BB1=AF+BF=AB=2r，則MN=r－1．所以DE=2r2－r－12=85r，即16r2－50r+25=0，解得r=52 或r=58（舍去），故點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)為32．

設(shè)直線l：y=kx－1，Ax1，y1，Bx2，y2，將y=kx－1代入拋物線y2=4x，整理可得k2x2－2k2+4x+k2=0，則x1+x2=2k2+4k2=2xM=3，解得k=±2．故選C．

點(diǎn)評(píng)借助定義，利用“兩點(diǎn)距離”或“點(diǎn)線距離”之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程（組），進(jìn)而通過(guò)方程（組）的求解，并結(jié)合參數(shù)取值的實(shí)際意義加以合理取舍與判斷，實(shí)現(xiàn)參數(shù)取值的求解與應(yīng)用．此類(lèi)問(wèn)題中，往往需要結(jié)合函數(shù)與方程、平面幾何、三角函數(shù)以及平面向量等知識(shí)．

3．最值的確定問(wèn)題

拋物線中有關(guān)最值的確定問(wèn)題，以線段長(zhǎng)度的線性關(guān)系式的最值，代數(shù)式的最值等場(chǎng)景為主，可以依托拋物線的定義，通過(guò)不同類(lèi)型距離的巧妙轉(zhuǎn)化，以方便進(jìn)一步的數(shù)形結(jié)合，給問(wèn)題的直觀想象與巧妙突破創(chuàng)造條件．

例3 （1）（2024年上海市虹口區(qū)華東師大一附中高考數(shù)學(xué)三模試題）已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是曲線x2+y2－8x－2y+16=0上一動(dòng)點(diǎn)，則PF+PQ的最小值為．

（2）（2024年重慶市南開(kāi)中學(xué)高考數(shù)學(xué)第四次質(zhì)檢試）已知點(diǎn)P為拋物線y2=2pxpgt;0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C：x+12+y－42=1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，若PQ+d的最小值為2，則p=．

解析（1）曲線x2+y2－8x－2y+16=0，可化為x－42+y－12=1，可得圓心坐標(biāo)為M4，1，半徑r=1．如圖2所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥l交準(zhǔn)線l于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作MA1⊥l交準(zhǔn)線l于點(diǎn)A1，同時(shí)交拋物線于點(diǎn)P1．

結(jié)合拋物線的定義可得PF+PQ=PA+PM－1，要使得PA+PM取得最小值，只需使得點(diǎn)P與P1重合，此時(shí)點(diǎn)A與A1重合，點(diǎn)Q與Q1重合，即PA+PMP1A1+P1M=5，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，Q，A在一條直線上時(shí)等號(hào)成立．所以PF+PQ的最小值為5－1=4．

（2）如圖3所示，圓C：x+12+y－42=1 的圓心C－1，4，半徑r=1．拋物線的焦點(diǎn)F（p2，0），根據(jù)拋物線的定義可知d=PF－p2，所以PQ+d=PQ+PF－p2．由圖可知，當(dāng)點(diǎn)C，Q，P，F(xiàn)共線，且點(diǎn)P，Q在線段CF 之上時(shí)，PQ+PF最小．而CF=p2+12+16，故有PQ+PF－p2min=CF－r－p2=2，即 p2+12+16－1－p2=2，解得p=4．

點(diǎn)評(píng)借助定義，將不同距離類(lèi)型加以合理變形與轉(zhuǎn)化．借助幾何意義、數(shù)形結(jié)合的直觀想象以及不等式思維的合理放縮等，綜合數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理，巧妙確定．

4．綜合應(yīng)用問(wèn)題

拋物線中有關(guān)綜合應(yīng)用問(wèn)題，可以借助多選題來(lái)設(shè)置，也可以借助解答題來(lái)設(shè)置等，巧妙融合較多的知識(shí)與能力點(diǎn)，解題時(shí)可以依托拋物線的定義，合理綜合相關(guān)知識(shí)來(lái)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等．

例4 （多選題）已知A，B是拋物線C：y2=2x上相異的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，則（）.

A．直線AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，AB的最小值為4

B．直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為60° 時(shí)，AB=83

C．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則AB的最大值為5

D．1AF+1BF=2

解析對(duì)于選項(xiàng)A，過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線x=－12 的垂線，垂足分別為A1，B1，過(guò)點(diǎn)A，B分別作x 軸的垂線，垂足分別為A2，B2，準(zhǔn)線與x 軸的交點(diǎn)為C．

設(shè)直線AB 的傾斜角為θ ，AF=n，BF=m．如圖4所示．根據(jù)拋物線的定義有AA1=AF=n，從圖可知AA1=A2C=n，CF=p=1，CF+FA2=AA1=n，在Rt△AFA2 中，F(xiàn)A2=ncosθ ，所以ncosθ+1=n．

所以n=11－cosθ，同理m=11+cosθ．則AB=AF+BF=11－cosθ+11+cosθ=2sin2θ，因?yàn)棣取?，π，所以sinθ∈（0，1］，故當(dāng)sinθ=1 時(shí)，2sin2θmin=2．

故AB的最小值為2，此時(shí)AB垂直于x 軸，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可知AB=2322=83，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，ABSymbolcB@AF+BF=xA+xB+1=2×2+1=5，當(dāng)且僅當(dāng)直線AB 過(guò)焦點(diǎn)F 時(shí)等號(hào)成立，所以AB 的最大值為5，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)直線AB 過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，1AF+1BF=1－cosθ+1+cosθ=2，當(dāng)直線AB 不過(guò)焦點(diǎn)F 時(shí)，1AF+1BF不是定值，如當(dāng)xA=xB=2 時(shí)，此時(shí)yA=2，yB=－2，即A2，2，B2，－2，F(xiàn)（12，0），AF=BF=322+22=52，1AF+1BF=25×2=45≠2，故D錯(cuò)誤．

綜上分析，故選B、C．

點(diǎn)評(píng)"解決拋物線中的綜合應(yīng)用問(wèn)題，主要從兩個(gè)方面來(lái)入手：（1）確認(rèn)坐標(biāo)平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一定直線有關(guān)的軌跡是否為拋物線；（2）當(dāng)P在拋物線上時(shí)，其到相應(yīng)拋物線的焦點(diǎn)與到對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線的距離相等，可以實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)、參數(shù)等之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用等．

借助拋物線的定義，合理構(gòu)建“兩點(diǎn)距離”或“點(diǎn)線距離”等關(guān)系之間，結(jié)合題設(shè)應(yīng)用場(chǎng)景，合理加以變形與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)整體的統(tǒng)一性，為進(jìn)一步解題與應(yīng)用創(chuàng)設(shè)條件．回歸定義，既是相關(guān)概念的綜合應(yīng)用，也是能力提升的一個(gè)重要體現(xiàn)，融會(huì)貫通，構(gòu)建定義、性質(zhì)等不同層面知識(shí)之間的聯(lián)系，對(duì)于全面提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等都有益處．