定積分的計(jì)算方法及其綜合應(yīng)用探究

【摘" 要】 文章探討了常用的定積分計(jì)算方法，詳細(xì)介紹了微積分基本公式牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元積分法以及分部積分法等定理的特征及使用條件。同時(shí)，結(jié)合復(fù)雜的綜合實(shí)例，探討了如何運(yùn)用多種積分方法來(lái)解題，以提高定積分計(jì)算的靈活性和準(zhǔn)確性，為教育者與學(xué)習(xí)者求解復(fù)雜定積分問(wèn)題提供了解題思路和方案。

【關(guān)鍵詞】 定積分;牛頓-萊布尼茨公式;換元積分法;分布積分法

高等數(shù)學(xué)是工科專(zhuān)業(yè)必修的基礎(chǔ)課和工具課，其中的核心內(nèi)容是微積分。定積分作為微積分的核心內(nèi)容之一，以極限等理論為基礎(chǔ)，同時(shí)也是后續(xù)學(xué)習(xí)定積分應(yīng)用、二重積分等內(nèi)容的先決條件。由于定積分的計(jì)算方法和技巧豐富多樣，且不同的被積函數(shù)需要采用不同的方法，學(xué)生往往難以選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。因此，本文旨在歸納總結(jié)定積分計(jì)算中幾種常見(jiàn)的積分方法，深入探討學(xué)生在實(shí)際例題中如何綜合選擇多種積分策略，并從教學(xué)的角度提出針對(duì)性的教學(xué)策略。

一、定積分的積分方法

（一）直接積分法

如果函數(shù)m（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，M（x）是m（x）的一個(gè)原函數(shù)，則m（x）dx=M（x）-m（x），該式被稱(chēng)為微積分基本公式，是計(jì)算定積分的基礎(chǔ)和關(guān)鍵公式，利用此公式可以把定積分與不定積分聯(lián)系起來(lái)，計(jì)算定積分先要積出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，再計(jì)算原函數(shù)在積分區(qū)間的端點(diǎn)值上的函數(shù)值并作差。針對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)，可以直接運(yùn)用直接應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行計(jì)算。

例1，計(jì)算（x2+3x+2）dx，首先積出x2+3x+2的一個(gè)原函數(shù)，根據(jù)不定積分的基本公式∫xμdx=+c，得出x2+3x+2的一個(gè)原函數(shù)是x3+x2+2x，然后應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算，（x2+3x+2）dx=x3+x2+2x20=+6+4=.

（二）定積分的換元積分法

如果函數(shù)m（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，x=φ（t）滿足如下條件：（1）x=φ（t）在[α，β]上有連續(xù)的的導(dǎo)數(shù)φ′（t）;（2）φ（a）=α，φ（b）=β;（3）當(dāng)t∈[α，β]時(shí)，x=φ（t）∈[a，b]，則m（x）dx=M[φ（t）]φ′（t）dt即稱(chēng)作定積分的換元積分公式，換元積分法是通過(guò)換元的方法引入新的變量來(lái)代替復(fù)雜的元素，以達(dá)到簡(jiǎn)化積分的目的。若從左到右應(yīng)用該公式，相當(dāng)于利用了不定積分的第二換元積分法，使用時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：1. 使用換元積分法公式計(jì)算時(shí)引入換元函數(shù)x=φ（t）時(shí)積分變量由原來(lái)的換成了新的變量t，積分上下限也要由原來(lái)的a和b換成新積分變量的上下限α和β;2. 定積分的本質(zhì)是極限，極限是個(gè)數(shù)值，因此換元后不需要將原變量回代，可直接對(duì)新的積分變量進(jìn)行積分。若從右到左應(yīng)用該公式，相當(dāng)于利用了不定積分的第一換元積分法，使用第一換元積分法通常不需要引入換元函數(shù)，此時(shí)不需要改變?cè)e分的積分上下限，只需要利用湊微分法求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，接著直接應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算出定積分的值即可。

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析被積函數(shù)的具體特征，展示不同類(lèi)型的被積函數(shù)讓學(xué)生觀察、討論其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考何種換元方式更為合適，并鼓勵(lì)學(xué)生比較和對(duì)比采用不同換元方式得到的結(jié)果，以展現(xiàn)換元積分法的靈活性與多樣性。其次，強(qiáng)調(diào)正確處理積分上下限變換的重要性，可以通過(guò)具體的例題對(duì)比兩種運(yùn)算，讓學(xué)生看到忽略積分上下限變換帶來(lái)的錯(cuò)誤，從而深刻理解其重要性。此外，教師可以設(shè)計(jì)一系列由淺入深的練習(xí)題，從簡(jiǎn)單的線性換元到復(fù)雜的三角換元，逐步提升難度，這樣不僅能鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，還能夠讓學(xué)生深刻體會(huì)到換元積分法在不同應(yīng)用場(chǎng)景中的獨(dú)特價(jià)值，掌握更加全面的數(shù)學(xué)技能。

例2，計(jì)算cos5xsinxdx，解法一：令t=cosx，則dt= -sinxdx，當(dāng)x=0時(shí)，t=1;當(dāng)x=時(shí)，t=0，于是得cos5xsinxdx= -t5dt=t610 =;解法二：cos5xsinxdx=-cos5xd（cosx）= -[cos6x]0=.

例2中解法一是從左到右應(yīng)用換元公式，引入換元變量時(shí)上下限需要改變;解法二則是從右到左應(yīng)用換元公式，其利用湊微分法思想，無(wú)需改變積分上下限。

例3，計(jì)算dx，令t=，則dx=tdt，當(dāng)x=0時(shí)，t=1;當(dāng)x=4時(shí)，t=3，于是dx=× tdt=dt=x3+t31=.

例3由于被積函數(shù)含有根號(hào)，難以直接使用湊微分法，因此關(guān)鍵在于引入合適的換元函數(shù)令t=，將原本較為復(fù)雜的被積函數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的含有t的定積分。本題是從左到右應(yīng)用換元公式，引入換元函數(shù)的同時(shí)需將積分變量x的上下限換成變量t的上下限，這一步如果遺漏或出錯(cuò)，即使所求解的原函數(shù)是正確的，也會(huì)導(dǎo)致最終計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。

例4，計(jì)算dx，令x=2sint，則dx=2costdt，當(dāng)x=0時(shí)，t=0;當(dāng)x=時(shí)，t=，于是dx=·2costdt=4sin2tdt=4dt=2t-sin2t0=-1.

例4中由于被積函數(shù)含有，因此求原函數(shù)時(shí)宜采用三角換元積分法，令x=2sint從而將原來(lái)含有復(fù)雜根號(hào)的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為4sin2t，通過(guò)三角代換可以將分母中的根式去掉，使得積分形式更簡(jiǎn)單。此外，該題同樣要注意積分區(qū)間的正確代換，以保證整個(gè)計(jì)算流程的準(zhǔn)確性。

（三）定積分的分部積分法

若函數(shù)u=u（x）和v=v（x）在區(qū)間[a，b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有udv=[uv]ba-vdu，該公式稱(chēng)作定積分的分部積分公式。如果定積分的被積函數(shù)是兩類(lèi)常見(jiàn)的函數(shù)相乘的形式，則考慮使用分部積分進(jìn)行計(jì)算，例如指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)相乘。使用分部積分公式的關(guān)鍵在于u（x）的選取，若選擇的u（x）不合適的，就會(huì)使得積分的形式更難進(jìn)行下去，選取u（x）和v（x）時(shí)一般要考慮如下兩個(gè)原則：1. v要容易求得;2. ∫vdu要比∫udv容易求得。

使用分部積分法時(shí)，教師需要重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生如何選擇恰當(dāng)?shù)膗和v進(jìn)行分部積分。一般地，當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，可以考慮用分部積分法，并且選擇冪函數(shù)做u;當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與反三角函數(shù)或者對(duì)數(shù)函數(shù)相乘的時(shí)候，選擇反三角函數(shù)或者對(duì)數(shù)函數(shù)為u;當(dāng)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的乘積時(shí)，指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都可取u，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出 “反對(duì)冪指三”（反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的優(yōu)先級(jí)順序，按照這個(gè)順序，排在前面的函數(shù)優(yōu)先設(shè)為u，后面的函數(shù)與dx結(jié)合湊成dv，通過(guò)這一記憶技巧，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的選擇策略。同時(shí)，還需要強(qiáng)調(diào)分部積分可多次使用，多次使用分部積分時(shí)，每次選擇u的類(lèi)型要保持一致。

例5，計(jì)算x2lnxdx，該題中被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，使用直接積分法和換元積分法無(wú)法計(jì)算出定積分，因此考慮分部積分法，該題中x2的原函數(shù)容易求得，因此選取lnx為u，于是令u=lnx，dv=x2dx=dx3，則有x2lnxdx=lnxdx3=x3lnxe0-x3×dx=e3-x3e1=（2e3+1）.

二、綜合應(yīng)用計(jì)算

（一）交叉使用多種方法

在求解定積分的實(shí)際問(wèn)題中，直接積分法、換元積分法和分部積分法往往會(huì)綜合運(yùn)用，通常表現(xiàn)為先使用換元積分法再分部積分、多次使用換元積分法、換元法或者分部積分法與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，具體實(shí)例探究如下：

例6，計(jì)算edx，令t=，則x=t2，dx=2tdt，當(dāng)x=0時(shí)，t=0;當(dāng)x=1時(shí)，t=1，于是edx=et·2tdt=2et·tdt. 再對(duì)2et·tdt進(jìn)行分部積分，即et·tdt=2td（et）=2[tet]10-etdt=2[tet-et]10=2。

此題被積函數(shù)是e，無(wú)法直接使用湊微分法湊出d（），如果先使用分部積分edx=[xe]10-xd（e）會(huì)讓積分變得更復(fù)雜，沒(méi)有達(dá)到預(yù)期的目的。因此采用先換元將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)相乘的形式，然后再運(yùn)用分部積分法進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)典型例題的詳細(xì)剖析，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將多種積分方法綜合運(yùn)用，著重培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題分析能力和解題策略意識(shí)。在面對(duì)含有根號(hào)或復(fù)雜表達(dá)式的定積分時(shí)，可以首先應(yīng)用換元法簡(jiǎn)化被積函數(shù)，然后再使用分部積分法進(jìn)行計(jì)算。這種組合方法不僅能夠有效降低問(wèn)題的復(fù)雜度，還能讓學(xué)生體驗(yàn)到不同積分技術(shù)之間的協(xié)同作用。

（二）利用函數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算

在定積分的計(jì)算領(lǐng)域中，巧妙運(yùn)用函數(shù)所具備的獨(dú)特性質(zhì)，如奇偶性、對(duì)稱(chēng)性，可極大地簡(jiǎn)化原本復(fù)雜繁瑣的計(jì)算過(guò)程。這要求教師在教學(xué)時(shí)，將引導(dǎo)學(xué)生深度理解這些性質(zhì)的本質(zhì)內(nèi)涵與嚴(yán)格應(yīng)用條件作為教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，借助針對(duì)性的實(shí)例分析，助力學(xué)生切實(shí)掌握運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行定積分計(jì)算的方法技巧。

1. 奇偶性

如果函數(shù)f（x）在對(duì)稱(chēng)區(qū)間[-a，a]上連續(xù)，當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，則有 f（x）dx=0;當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，則有 f（x）dx=2 f（x）dx. 利用此性質(zhì)可以快速計(jì)算對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇函數(shù)、偶函數(shù)的定積分，極大提高計(jì)算的準(zhǔn)確率和做題速度。

例7，計(jì)算（x2+x）dx.

解：（x2+x）dx=x2dx+xdx= 2 x2dx+0=

由例7可以很明顯地看出積分區(qū)間為[-1，1]，是個(gè)對(duì)稱(chēng)區(qū)間，因此可以先考察被積函數(shù)的奇偶性，對(duì)于x2這個(gè)函數(shù)有f（-x）=（-x）2=x2=f（x），可得x2是個(gè)偶函數(shù)，其在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分等于2x2dx;而對(duì)于x有f（-x）=（-x）=-x=-f（x），可得x是個(gè)奇函數(shù)，其在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分為0。

2. 積分區(qū)間的可加性

針對(duì)[a，b]區(qū)間內(nèi)、外的任意一點(diǎn)c，都有 m（x）dx= m（x）dx+ m（x）dx. 區(qū)間的可加性為計(jì)算絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)的定積分帶來(lái)方便。

例8，設(shè)f（x）=2x，x≤0

，xgt;0，計(jì)算 f（x-2）dx，令t=x-2，dx=dt，當(dāng)x=-1時(shí)，t=-3;當(dāng)x=3時(shí)，t=1，于是 f（x-2）dx= f（t）dt= 2tdt+ dt=[t2]0-3+t10=-.

例8要求 f（x-2）dx的定積分中被積函數(shù)是關(guān)于x-2的函數(shù)，而積分變量為x，不可以直接積分，因此要先換元令t=x-2，將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù);此外，被積函數(shù)為分段函數(shù)，當(dāng)x的取值范圍不同時(shí)，所對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)表達(dá)式也不同，此處因?yàn)閠=0為函數(shù)的分段點(diǎn)，因此可以利用積分區(qū)間的可加性將積分區(qū)間[-3，1]分成[-3，0]和[0，1]兩個(gè)子區(qū)間，并將兩個(gè)子區(qū)間上的定積分進(jìn)行相加即可，該題是先采用換元再利用積分區(qū)間的可加性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，綜合應(yīng)用了定積分的積分方法與性質(zhì)。

三、結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際求解定積分的題目中，由于被積函數(shù)形式多樣，計(jì)算時(shí)需要根據(jù)被積函數(shù)的特征選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算，本文通過(guò)總結(jié)常用的定積分的計(jì)算方法，包括以牛頓-萊布尼茨公式為基礎(chǔ)的直接積分法、換元積分法、分部積分法以及多種方法、性質(zhì)相結(jié)合綜合應(yīng)用的解題策略，旨在幫助學(xué)生更好地提高定積分的計(jì)算能力。

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