用生活事例解釋高中概率統(tǒng)計中的某些原理

王亞運　徐章韜

【摘 要】 生活中蘊含著各種概率統(tǒng)計原理.從實際生活出發(fā)，選取具體生活事例，闡述其蘊含的概率統(tǒng)計原理，并將其運用于實際高中教學中，力求使課堂充滿濃厚的生活味.

【關(guān)鍵詞】 概率統(tǒng)計；高中教學；生活味

概率論是研究隨機現(xiàn)象的學問，統(tǒng)計學注重的是數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，生活中處處都有概率統(tǒng)計學的影子.處處留心皆學問，本文將選取生活中的一些現(xiàn)象，闡述其蘊含的概率統(tǒng)計原理，并將其應用到教學中去，使課堂充滿濃厚的生活味.

1 生活中的隨機現(xiàn)象與概率的意義

“隨機事件的概率”是人教A版《數(shù)學必修3》第三章第一節(jié)的內(nèi)容，是本節(jié)課的第一課時，課程標準要求“教師應通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗，正確理解隨機事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，并嘗試澄清日常生活中的一些錯誤認識.”

自然界和人類生活中存在著兩種現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象和隨機性現(xiàn)象.有些俗語如“瓜熟蒂落”、“水到渠成”、“打草驚蛇”、“葉落歸根”等這些說的都是自然界中一些事必然會發(fā)生的，它們的結(jié)果是確定的.但是有些事情，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，也即由條件無法預知結(jié)果，稱為隨機現(xiàn)象.如“塞翁失馬，焉知福禍”揭示了福禍的不確定性和隨機性.

例如，從古至今，文件的保密性很重要.如果泄密，那么可能會導致戰(zhàn)役的失敗、經(jīng)濟上的重大損失，甚至會導致國家的滅亡.為了保證安全，保密文件的傳送經(jīng)常用“密文”的方式進行.后來有人使用26個字母分別對應1～26個自然數(shù)或其他代碼等方法傳送密文，只要傳送一方和接受一方均知道這個對應表即可.用我們掌握的概率知識，就可以破解這個密碼.經(jīng)過研究，人們發(fā)現(xiàn)，英語書面語言中的字母以基本固定的頻率出現(xiàn).不同字母出現(xiàn)的頻率不同，這是英語書面語言的一個重要特征.在通常的文章中，字母“e”平均出現(xiàn)的比例占所有字母的12%左右，“t”占97%左右，而“j”的出現(xiàn)遠小于1%.如果掌握了這個規(guī)律，再用上面的方法加密，通過對用密碼寫的密文中的字母的頻率的分析，就比較容易破譯出密文.

我們發(fā)現(xiàn)每個字母出現(xiàn)的頻率最終都趨于一個穩(wěn)定的常數(shù)，這說明隨機現(xiàn)象具有兩面性：隨機性和規(guī)律性.數(shù)學研究的隨機現(xiàn)象的特點就在于概率的穩(wěn)定性，其中所蘊含的隨機思想正是概率與統(tǒng)計思想的基礎(chǔ).

2 生活中的小概率原理

近年來，中國彩票行業(yè)發(fā)展比較迅速，尤其中國的福利彩票巨獎頻現(xiàn)，繼2009年河南彩民獨中36億元之后，2010年一河南彩民博得358億元，近日浙江彩民狂攬565億.這接二連三的博得巨獎，無疑讓中國福彩業(yè)沸騰了，但是并非人人都有這樣的好運氣.有人計算過，中雙色球一等獎的概率為5.64×10^-8，二等獎的概率為8.464×10^-7，三等獎的概率為9.1417×10^-6

，可見，中一等獎的概率幾乎接近于零.像彩票中獎、汽車拋錨、飛機失事、地震海嘯等都是我們所說的典型的小概率事件，意指發(fā)生可能性很小的事件.

生活中有很多事情發(fā)生的概率很小，有諺語說“常在河邊走，哪有不濕鞋”、“天有不測風云，人有旦夕禍?！?、“天網(wǎng)恢恢，疏而不漏”“瞎貓也能碰上死老鼠”，這些事情似乎不可能發(fā)生，但“不怕一萬，就怕萬一”，這些俗語都說明了概率再小的事件在長期的重復中都有可能或必然發(fā)生.

現(xiàn)在我們用概率的知識去證明這個原理，我們假設(shè)一個小概率事件的發(fā)生概率為p，設(shè)Ak（k=1，2，3，…）表示第k次A發(fā)生，則前n次試驗中A至少發(fā)生一次的概率為：P（∪n[]i=1Ai）=1-P（∩n[]i=1Ai）≤0.05，所以試驗次數(shù)達到無窮大時，事件A的概率越來越趨向于1，而成為必然事件.也就是說不管發(fā)生概率多么小的事件，在多次試驗中必然會發(fā)生.

我們不會因為飛機會出現(xiàn)失事而拒絕坐飛機，也不會因為彩票中獎率低而停止購買彩票.小概率事件雖然發(fā)生的概率很小，有的概率幾乎接近于0，人們堅信它不會發(fā)生.而彩票的中獎率雖然也很低，但是人們堅信它有朝一日總會發(fā)生.

我們既要防止危險的小概率事件的發(fā)生，即在禍患發(fā)生之前就要做好預防，不能因為其發(fā)生的概率小就以為它不會發(fā)生，俗話說“防微杜漸”講的就是這個道理.像飛機失事，地質(zhì)災害等災難發(fā)生的概率雖極其微小，但是我們只有做到防患于未然，才能將其所帶來的傷害降到最低.同時也要認識到當事件大量的重復時，小概率事件必會發(fā)生.所以我們也不應該認為一件事情發(fā)生的概率及其微小，就認為它不可能發(fā)生，而拒絕去做它，這樣也會錯失很多機會.

從生活中常見的一些事件中學習小概率原理，最重要的是我們既要認識到小概率事件在一次試驗中不可能發(fā)生，又要認識到在多次重復試驗下，小概率事件必然會發(fā)生.在教學中通過生活中的常見現(xiàn)象，學生能夠更好地學習小概率事件及其原理，同時在學習之后還能將這些原理運用于生活，達到學以致用.

3 生活中的抽樣調(diào)查

生活中我們在做菜時，嘗一口菜就知道整鍋菜的咸淡，這就是統(tǒng)計學中的抽樣調(diào)查，我們在學習抽樣調(diào)查時，在教學中可以先設(shè)置這樣一個案例.

案例1：一個小孩，他的爸爸讓他到商店買一盒火柴，并囑咐他，試一試火柴是否擦得著.小孩買了一盒火柴一邊往家里走，一邊一根接著一根的擦.回到家里他高興地告訴他的爸爸：試過了，每一根都擦著了！你認為這個故事中的小孩試火柴擦得著的方法蘊含了什么統(tǒng)計知識？這樣做合適嗎？為什么，如果是你，你會怎么做？

這也是生活中常見的一個問題，設(shè)計這個案例的意圖是：有時候全面調(diào)查不能很好地解決問題，這時候我們需要抽樣調(diào)查，就是由部分推斷總體.

通過這個案例我們知曉了什么是抽樣調(diào)查，生活中我們常說的“一葉知秋”、“管中窺豹”、

“見微知著”反映的也是這個原理，比喻小中見大，用數(shù)學語言就是我們可以通過總體中的一個部分來推斷這個整體所具有的特征，在案例中，爸爸讓小孩試一試火柴能否擦得著，我們可以選取其中的一根或兩根甚至更多來檢驗整包火柴的質(zhì)量.但是究竟抽一根還是兩根或者更多呢？這就引出了后續(xù)我們所要學習的內(nèi)容即如何進行抽樣調(diào)查，怎樣選取樣本等一系列問題.所以這個案例的設(shè)置既從生活中的一個小現(xiàn)象道出了抽樣調(diào)查的含義，又引起了學生對后面所要學習內(nèi)容的思考.

4 數(shù)學期望與生活

數(shù)學期望是隨機變量最常用的數(shù)字特征，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中占有重要地位.一般教師在講授這一概念時，先由一個簡單例子直接給出離散型隨機變量數(shù)學期望的定義.這種授課方式存在很大的問題，一是學生對其概念只停留在公式的表面形式，對其意義理解不夠.從簡單的生活現(xiàn)象出發(fā)，從生活現(xiàn)象中發(fā)掘數(shù)學期望的概念及其意義，然后自然地導出數(shù)學期望的計算公式.

我們知道概率最早起源于賭博問題.在教學一開始，我們不妨引出一個賭博的例子：有這樣兩個賭徒，他倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就可以獲得全部賭金.賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，無奈天色已晚，他們不想再賭下去了，那么這個錢應該如何分？

數(shù)學期望的加權(quán)平均和普通的平均值有什么區(qū)別呢？它是建立在隨機事件發(fā)生的基礎(chǔ)之上而得到的平均值，他刻畫了隨機變量的某些性質(zhì).例如對某一射手進行技術(shù)評定時，經(jīng)常考察的就是射擊環(huán)數(shù)的平均值；檢查一批棉花的質(zhì)量時，我們關(guān)心的是棉花纖維的平均長度；考察某種大批量生產(chǎn)的元件的壽命時我們往往只需要知道元件的平均壽命，等等.

由歷史上的賭博問題引出數(shù)學期望這個概念，再將數(shù)學期望知識應用于生活實例當中去，體現(xiàn)了數(shù)學期望引出的意義，就是現(xiàn)實生活中“平均值”的推廣，更重要的是將這種平均、公正的思想運用于社會生產(chǎn)實踐當中，真正體現(xiàn)數(shù)學期望為生活服務的價值.

5 生活中的獨立性與互斥

概率論中事件的獨立性是指兩個事件沒有關(guān)系，我們的生活中處處蘊含著這種獨立思想.

一般教師在教授這個知識點時會讓學生直接記住它的等式P（AB）=P（A）P（B），學生很難理解獨立性的真實意義，更有甚者，直接將概率中的獨立性與事件互不相容直接畫等號.而兩事件互斥是指事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生，它與事件的獨立性有著本質(zhì)區(qū)別.

5.1 生活中的獨立性

教師在講解概率中的獨立性時，可以結(jié)合一些日常生活中常見的現(xiàn)象來闡釋獨立性原理.如“風馬牛不相及”，便是獨立的，“各行其是”，也是獨立的.也可通過生活中常見的事例進行教學.

例1：生男孩還是生女孩？

一對夫妻已經(jīng)生了三個女孩，他們想第四個孩子一定是男孩，他們的想法對嗎？這是生活中常見的現(xiàn)象，一般人以為既然前面三個孩子都是女孩，那么第四個是男孩的幾率大一些.由于每次生男孩與生女孩都是獨立的，所以每次生女孩和男孩的概率都是固定的即1/2.這是一個簡單的例子，很多人都有錯誤的觀念，認為每次生孩子是有關(guān)聯(lián)的，其實不然.

通過生活中的現(xiàn)象我們理解了獨立性，然后再運用獨立性去解決生活中的問題.

5.2 生活中的互斥

生活中我們經(jīng)常聽到這樣一句話“魚與熊掌不可兼得”，它表示我們不能同一次得到兩種東西，必須學會舍棄.人生的十字路口也是一樣，我們必須學會選擇，你選擇了走一條大道，就得舍棄羊腸小路.這些生活中的現(xiàn)象蘊含著互斥的原理.

教學時可以擷取生活中比較有趣的事情，既能提高學生的興趣，又能體現(xiàn)豐富的數(shù)學思想，下面我們可以看一則幽默：一吝嗇鬼在自家草坪上剪草，其鄰居過來問他：“周末上午你打羽毛球嗎？”吝嗇鬼生怕鄰居借羽毛球打，忙說：“打、打，一整個上午都打.”這時鄰居又說：“那你肯定不用剪草機了.”看完后大家肯定要想吝嗇鬼偷雞不成蝕把米.這個故事就可用概率中的互斥事件來解釋了.

從生活實例去解釋數(shù)學原理，使原本難以理解的概念變得通俗易懂.單單從概念和公式去把握獨立性和互斥，許多學生可能會混淆兩者，不能深入理解其內(nèi)在含義.

在生活中還有很多現(xiàn)象都蘊含著獨立性、互斥的思想，教師將這些現(xiàn)象作一歸納，將其中所蘊含的獨立性、互斥原理提出來，體現(xiàn)了生活中處處蘊含著概率論的知識.

6 結(jié)束語

“數(shù)學知識來源于生活，又作用于生活”，我們周圍的許多事情，看似簡單，實則包含不少數(shù)學中的原理，尤其是概率統(tǒng)計，它已經(jīng)滲透到我們生活的方方面面，它的應用也是十分廣泛的，這就要求我們善于觀察，勤于思考.作為教師，應當留心生活中的數(shù)學原理，在教學中，用生活事例去闡釋數(shù)學原理，不僅使教學內(nèi)容變得通俗易懂，更重要的是體現(xiàn)了數(shù)學學習的意義和價值.