指向思維進階的小學數(shù)學表達課堂范式微探

［摘 要］思維是內(nèi)隱的，但學生可以借助數(shù)學表達使其外顯。學生的思維層級決定了其數(shù)學表達的層級。文章對學生的數(shù)學表達進行研究，變革數(shù)學課堂教學模式，不斷推動學生的數(shù)學表達從“經(jīng)驗性”進階到“多元性”“結(jié)構(gòu)性”“應(yīng)用性”，使學生的思維從“前結(jié)構(gòu)”向“拓展抽象結(jié)構(gòu)”水平不斷進階。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學表達；思維發(fā)展；課堂教學

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）02-0018-06

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，數(shù)學課程培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，主要包括會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。這就表明，數(shù)學表達是數(shù)學觀察、數(shù)學思考的結(jié)果，也是數(shù)學思維的過程與反映。數(shù)學表達展現(xiàn)學生思維的同時，也推動學生的思維由低階向高階發(fā)展。

一、課堂中的數(shù)學表達和思維進階的內(nèi)涵探析

數(shù)學表達是以文字語言、符號語言和圖形語言為載體進行的書面或口頭交流活動。根據(jù)問題解決程度的不同，筆者將學生的數(shù)學表達分為“經(jīng)驗性”“多元性”“結(jié)構(gòu)性”“應(yīng)用性”四個表達層次。隨著學生對數(shù)學知識的深入理解，其數(shù)學表達從外顯向內(nèi)隱推進，其思維從低到高，呈持續(xù)進階狀態(tài)，這就是學生思維品質(zhì)的進階提升過程。根據(jù)SOLO分類理論，筆者將水平分為“前結(jié)構(gòu)”“單一結(jié)構(gòu)”“多元結(jié)構(gòu)”“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”“拓展抽象結(jié)構(gòu)”五個階層，讓學生在數(shù)學課堂學習中不斷成長，促使其思維品質(zhì)不斷提升。

二、課堂中指向思維進階的教學結(jié)構(gòu)模型探構(gòu)

在小學數(shù)學課堂教學中，教師與學生各自的行為活動之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。不同的數(shù)學表達，依照課堂的教學活動推進都可以歸結(jié)為層層遞進的思維層級。在小學數(shù)學教學實踐和研究中，筆者根據(jù)自身經(jīng)驗將一般數(shù)學課堂教學分為“教師活動”“學生活動”“數(shù)學表達層級”“數(shù)學思維層級”四個方面，以縱向的時序構(gòu)建了教學結(jié)構(gòu)（如圖1）。

三、課堂中數(shù)學表達促進學生思維進階的策略探究

一般來講，在小學數(shù)學課堂教學活動中，師生課堂的數(shù)學表達有著經(jīng)驗性、多元性、結(jié)構(gòu)性和應(yīng)用性四個水平層次（由低到高）。每個層次都著意于提升學生數(shù)學表達思維層次水平，促進其思維進階。

（一）經(jīng)驗性表達：開思維進階之門

經(jīng)驗性表達指學生基于自己的學習和生活經(jīng)驗，通過數(shù)學操作解決數(shù)學問題，并能夠正確表達解題的過程。經(jīng)驗性表達是一種自我表達，有較強的個體性和主觀性。經(jīng)驗性表達就是讓學生對數(shù)學知識進行相關(guān)操作、演示、實驗、交流等與數(shù)學表達的相關(guān)活動，在從無到有、從缺乏到豐富、從混亂到有序、從模糊到正確中獲取經(jīng)驗，為學生開啟思維進階之門。面對新的數(shù)學問題，學生的數(shù)學操作經(jīng)驗?zāi)転槠淇焖俳鉀Q問題。豐富的經(jīng)驗性表達，可以為學生思維進階積累素材并打下堅實的理論基礎(chǔ)。

在解決新的數(shù)學問題過程中，學生不斷獲得新的解題經(jīng)驗和豐富的知識經(jīng)驗。在數(shù)學經(jīng)驗性表達中，學生在獲得多種解題方法的同時，可以促進自身數(shù)學思維水平的提升，從“前結(jié)構(gòu)”水平發(fā)展為“單一結(jié)構(gòu)”水平，甚至是更高層次的結(jié)構(gòu)水平。數(shù)學課堂的經(jīng)驗性表達有以下作用和獲取途徑。

1.大問題引領(lǐng)：提供數(shù)學表達載體

首先，教師設(shè)計好大問題，給予學生數(shù)學表達的空間。學生獨立思考，嘗試解決問題，即對數(shù)學問題的經(jīng)驗性表達。教學中教師設(shè)計的大問題，能為學生的經(jīng)驗性表達打開大門，提供表達載體。

例如，教學一年級認識人民幣“元角分”一課，如果按照教材呈現(xiàn)問題，應(yīng)該是先讓學生逐一認識1元以內(nèi)的人民幣，再將其他面值的人民幣呈現(xiàn)出來，并詢問學生各面值是多少以及是如何辨別的。面對這樣的數(shù)學問題，學生只能順著教師的問題，進行單一的、碎片化的數(shù)學表達。在這個過程中，學生處于被動性應(yīng)答，參與的積極性不高，其思維難以進階。如果將教學流程改用問題來引導，如“你能從這些人民幣中拿出1元2角嗎？”“比一比，誰的拿錢方法多？”等，促使學生在問題的引領(lǐng)下解決問題，從而認識人民幣，并使思維從“前結(jié)構(gòu)”水平進階到“單一結(jié)構(gòu)”水平。

其次，創(chuàng)設(shè)真實的問題情境能幫助學生理解數(shù)學知識的意義。如果教師將數(shù)學知識呈現(xiàn)得過于抽象，數(shù)學知識與學生的生活實際聯(lián)系不緊密，就會使學生難以真正理解數(shù)學知識的現(xiàn)實意義。學生的數(shù)學表達是具體的、現(xiàn)實的，給學生營造和生活實際相關(guān)的情境，有助于學生理解數(shù)學問題且能有效驅(qū)動學生的數(shù)學表達。

又如，教學三年級“兩位數(shù)乘整十數(shù)”一課時，教材情境圖充分關(guān)注學生已有的生活經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)，為學生的數(shù)學表達拓展空間。

如圖2所示，每盒有12個蘋果，10盒有多少個蘋果？

①橫著看，可以用12×2×5計算；

②豎著看，可以用12×5×2計算；

③已經(jīng)放好9盒，正在搬最后一盒，可以用12×9+12計算；

④借助已有經(jīng)驗，可以用12×1，再在積的末尾添上1個0；

⑤可以在每盒中先放10個，然后再放2個，即用10×10+2×10計算。

這樣的情境可以為學生的數(shù)學表達提供多種可能。豐富多樣的數(shù)學表達，有助于學生拓寬思維空間。

2.多學材選擇：豐富數(shù)學表達路徑

如果說情境激發(fā)了學生學習的興趣，那么多樣化的學習材料則是激發(fā)學生探索問題的欲望。探索是學生主體性發(fā)展的過程，意味著學生的認知能力、情感體驗、控制能力均在提高。教師提供多樣化的學習材料，能讓學生產(chǎn)生多樣化的解題思路，助力其自主探索。

例如，教學一年級“9加幾”一課，在進行“9+4”的算法探索時，筆者提供了小棒、計數(shù)器、十格圖、標有數(shù)字的紙條尺等多種學具。學生借助豐富的學具，表達了更加豐富的解題思路：

①用小棒擺，先擺9根，再擺4根，接著從4根中拿1根和9根合在一起變成10根，10根和3根合起來是13根；

②用計數(shù)器在個位上先撥9顆珠子，再撥4顆珠子，由于個位上的珠子數(shù)超過了10，需要向十位進1，進位后，個位上只剩3顆珠子，十位上增加1顆珠子，表示13；

③用十格圖表示，已經(jīng)有9個了，先從4里面給1個湊成10個，格子外面還有3個，合起來是13個；

④用標有數(shù)字的紙條尺數(shù)，從9往后再數(shù)1個紙條尺是10，再數(shù)3個紙條尺就是13。

多樣化的學習材料，能讓學生的數(shù)學表達更加豐富。

3.重操作后的表達：明確數(shù)學表達指向

操作行為也是一種表達，讓學生用語言或自己在內(nèi)心再次描述操作過程，如同放電影似的進行回放，有助于學生整理思路和自我反思，從而讓混亂的表達變得有序，讓模糊的表達變得正確。

例如，教學“口算兩位數(shù)加一位數(shù)（進位）”一課時，筆者出示算式24+6并讓學生用小棒擺一擺，算一算。有學生用小棒操作如圖3所示。

在該名學生用小棒擺完后，筆者對學生說：“請同桌互相說一說他先算什么，再算什么？”當學生交流結(jié)束后，筆者直接出示如圖4-1、圖4-2所示的小棒圖，并對學生說：“不再動手操作，看圖說一說計算的結(jié)果?！睂W生回答后，筆者將剛剛解答的三道算式的圖示集中呈現(xiàn)，讓學生說一說分別是先算什么，再算什么。經(jīng)歷了這樣的表達過程，學生的操作、語言表達都轉(zhuǎn)化成了思維，為其思維進階打下了堅實的基礎(chǔ)。

（二）多元性表達：筑思維進階之基

多元性表達是在豐富和正確的經(jīng)驗性表達基礎(chǔ)上，讓學生對解決問題的經(jīng)驗進行交流、質(zhì)疑和反思。這不僅充分讓學生表達了自己的想法，還能讓學生理解同伴的解題方法。在這個過程中，學生將豐富的經(jīng)驗外化為對解題思路的多元表達，同時在與同伴交流和自我反思中，使自身的表達趨于準確。在課上，教師要讓學生充分表達自己的想法和解題思路，尤其要重視課堂小結(jié)，鼓勵學生進行多元性表達，讓學生在對比、思辨、評價、互補中發(fā)散思維，這不僅能培養(yǎng)學生的表達能力，還能培養(yǎng)學生總結(jié)、歸納和概括的能力。而這，實際上就是學生思維進階的過程。

讓學生在觀察、操作等數(shù)學活動中豐富經(jīng)驗性表達不是教學目的，它只是學生思維得以展開的手段。學生面對數(shù)學問題的經(jīng)驗性表達主要基于自身的學習和生活經(jīng)驗，雖然教師創(chuàng)設(shè)了利于學生數(shù)學表達的情境并提供了多樣的學習材料，但是作為學習個體而言，若學生只能表達出自己的解題思路，則說明其思維結(jié)構(gòu)依舊比較單一。而多元性表達主要來源于與學習共同體的互動交流，學生在互動交流中表達了自己的想法，聆聽了同伴的解題思路，接受了同伴的質(zhì)疑和補充意見。在這個數(shù)學表達的對話中，學生完善了自己的思路，學會了接納同伴的意見。

多元性表達所發(fā)揮的教學作用主要有三點：一是讓學生集中表達自己對數(shù)學知識的學習經(jīng)驗，讓自己和同伴具有更加豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗；二是引導學生整理自己的解題過程，使自己的解題方法更簡潔；三是將多種解題方法進行比對和關(guān)聯(lián)，形成啟迪性成果，為結(jié)構(gòu)性表達打下基礎(chǔ)。可見，多元性表達是學生將經(jīng)驗性表達中隱含的數(shù)學思維展露出來的必要過程，更是跨越經(jīng)驗的局限性，實現(xiàn)思維進階的必經(jīng)途徑。

1.主體多元：拓展數(shù)學表達的廣度

最基本的學習共同體就是學生所在的小組以及所在的班級。小組和班級是客觀存在的集體，如何用好小組和班級學習共同體才是關(guān)鍵。在合作交流之前，教師為學生提供了利于表達的問題和豐富的學習材料，讓學生對數(shù)學問題形成了自己的見解，但這種見解是有局限性和片面性的。學生只有在小組和班級中進行表達和交流，才能完善對知識的認識，同時收獲更多的解題思路。在小組合作和班級交流中，學生通過表達不僅可以整理自己的解題思路，還能從同伴處獲得更多的啟迪，以豐富、完善解題思路。

例如，在教學“認識負數(shù)”一課時，筆者在學生利用情境和學材有了自己對負數(shù)的理解之后，便安排學生進行小組交流。

生1：“-1米”，就是將我站的地面看作0米，向下挖1米。

生2：“-1℃”，即比0℃還低1℃的溫度。

生3：“-1層”，表示地下1層。

生4：“-1元”，表示用去了1元。

……

這樣的交流，使學生對“-1”的理解從單一（個體的經(jīng)驗）到多元（同伴的經(jīng)驗）。學生通過交流，積累了豐富的知識經(jīng)驗，為思維進階打下了堅實的基礎(chǔ)。需要注意的是，小組合作只有建立在學生豐富的經(jīng)驗性表達基礎(chǔ)上才能發(fā)揮更大的效用。

2.形式多樣：挖掘數(shù)學表達的深度

數(shù)學表達除了不同主體的多元表達，質(zhì)疑、討論、釋疑、反思等也是學生思維進階的重要方法。質(zhì)疑是一種高效的表達方式，學生通過質(zhì)疑可以了解別人的想法，對比自己的觀點，找出彼此觀點的相同點和差異之處，并激勵自己進行更為深入的思考。在解決問題的過程中，教師不僅要善于提出優(yōu)質(zhì)問題，更要鼓勵學生大膽質(zhì)疑，利用問題不斷激發(fā)學生的思維，讓學生在質(zhì)疑、討論、表達、釋疑的過程中達到深度學習，提升數(shù)學表達能力。雖然質(zhì)疑與反思是多元表達必備的環(huán)節(jié)，但是學生發(fā)表的觀點可能是片面的或錯的。因此，數(shù)學表達不能是“你說我聽”，更不能是“你怎么說我也怎么說”，而應(yīng)該是表達與表達的碰撞、思維與思維的碰撞，促使學生的思維得到更高層次的提升。

質(zhì)疑、討論、釋疑、反思等都是一種表達能力，教師要在課堂教學中培養(yǎng)學生養(yǎng)成質(zhì)疑、討論、釋疑、反思的習慣和能力。如在學生發(fā)言后讓其余學生對難以理解的部分進行質(zhì)疑，或者鼓勵學生對重點處“明知故問”，讓學生的思維在質(zhì)疑和釋疑過程中得到進階。

（三）結(jié)構(gòu)性表達：展思維進階之翼

所謂結(jié)構(gòu)性表達，是指對數(shù)學問題進行多元認識的基礎(chǔ)上，依據(jù)一定抽象性，經(jīng)過對比和關(guān)聯(lián)，作出解決問題的基本結(jié)構(gòu)的一種數(shù)學交流表達。

結(jié)構(gòu)性表達是學生對數(shù)學知識的闡述和解釋。學生的數(shù)學表達具有結(jié)構(gòu)性，反映出學生的思維已經(jīng)進階到“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”水平，是學生思維實現(xiàn)質(zhì)的跨越的一種表現(xiàn)。

1.思維導圖：著眼數(shù)學表達的結(jié)構(gòu)化

將零散的知識點聯(lián)結(jié)成線，繪制成網(wǎng)狀圖，使學生對知識形成結(jié)構(gòu)化的認識，以便深入理解。思維導圖本身是一種書面表達，當學生以思維導圖為依據(jù)進行語言表述時，它就更具邏輯性和嚴謹性。教師將結(jié)構(gòu)化的思維導圖表達在黑板上或者練習紙上，學生通過觀察、填寫或繪制新的思維導圖，可以將新知和相關(guān)舊知用線條聯(lián)結(jié)起來，從而達到對知識進行結(jié)構(gòu)化表達的程度，使思維形成認知結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。

例如，在教學“7的乘法口訣”基礎(chǔ)上，讓學生挑選一句口訣進行深入研究。有學生根據(jù)“三七二十一”繪制了這樣的思維導圖（如圖5）。

抓住知識之間的聯(lián)系進行數(shù)學圖示表達，可以完整展示知識的結(jié)構(gòu)，進而促進思維進階。

2.對比與關(guān)聯(lián)：指向數(shù)學表達的邏輯性

實現(xiàn)結(jié)構(gòu)性表達是很難的，這是學生對知識感性認識上升成為理性思考的過程，也是學生思維從具體轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笞顬殛P(guān)鍵的一步。這反映學生思維水平從量變上升到質(zhì)變的過程。因此，經(jīng)驗性表達和多元性表達是結(jié)構(gòu)性表達的基礎(chǔ)，關(guān)注相關(guān)知識之間的聯(lián)系是結(jié)構(gòu)性表達的關(guān)鍵。在經(jīng)驗性表達和多元性表達中，雖然學生對一個數(shù)學問題有了多方面的認知，但這些認識是相對獨立的。對此，教師要在課堂教學中將相關(guān)知識進行對比和關(guān)聯(lián)，讓學生先經(jīng)過抽象，再表達出解決這個問題最為核心、本質(zhì)的內(nèi)容。結(jié)構(gòu)性表達是學生解決數(shù)學問題并理性思考后，對數(shù)學問題的一種表達和闡述。

例如，教學“小數(shù)的乘法”時，筆者出示一道分段計算的習題（如圖6）。

學生在完成習題的基礎(chǔ)上進行對比，能清晰表達出解決分段計費這類問題的基本結(jié)構(gòu)。

（四）應(yīng)用性表達：鋪思維進階之路

應(yīng)用性表達是在學生能夠表達數(shù)學知識完整結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，通過推理、演繹等高階思維方式，將知識結(jié)構(gòu)遷移到新的情境，并且能對新的拓展性問題解釋和質(zhì)疑的交流表達。應(yīng)用性表達是學生靈活運用知識解決問題的過程，它體現(xiàn)了學生創(chuàng)造性解決問題的過程。從總體上看，學生的數(shù)學學習思維進階到“拓展抽象結(jié)構(gòu)”水平難度較大，但從發(fā)展趨勢看，學生從低年級到高年級，思維不斷進階，在教師的組織引導下，能夠進階到“拓展抽象結(jié)構(gòu)”水平的學生比例越來越高?？梢?，應(yīng)用性表達使學生的思維發(fā)展水平獲得了穩(wěn)固的提升。

1.拓展性習題：促數(shù)學表達高階發(fā)展

學生對知識的運用離不開習題。好的習題設(shè)計是學生形成應(yīng)用性表達的載體和平臺。學生在應(yīng)用知識解決問題的過程中，通過習題對自己的解題思路進行表達和交流，既能鞏固對知識的理解，又能提升思維水平。在小學階段，習題的設(shè)計更應(yīng)注重對前四個層次——“前結(jié)構(gòu)”“單一結(jié)構(gòu)”“多元結(jié)構(gòu)”“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”思維的發(fā)展，不能讓教材束縛學生的思維。教師應(yīng)當注重拓展性習題的編撰和使用，讓學生的數(shù)學思維在拓展性習題的數(shù)學表達中獲得更高層次的進階。拓展性習題并不是指難題、奧數(shù)題等，而是指和教學內(nèi)容密切相關(guān)的，需要綜合運用知識解決的問題。

例如，教學“乘法分配律”后，筆者給學生增加這樣一道練習：

計算（□+50）×4時，錯算成了□×4+50，你知道正確結(jié)果和錯誤結(jié)果比，相差多少嗎？

雖然這道題的模型只是在乘法分配律的模型上做了一點點改變，但是對于學生來說，這樣的表達不再是機械重復原有知識，而是能產(chǎn)生新的思考，從而在表達中讓思維有更進一步發(fā)展。

2.實踐性作業(yè)：促數(shù)學表達長遠發(fā)展

課內(nèi)，教師可以嘗試布置“探規(guī)律”“用數(shù)學”等具有一定實踐性的作業(yè)，讓學生在“探”“用”的經(jīng)歷中強化推理和應(yīng)用遷移能力，進而進行表達和反思。實踐性作業(yè)能更好地促進學生思維的進階，進而拓展抽象思維。

課后，教師還可以布置實踐性作業(yè)，讓學生研究生活中的實際問題，并適時組織學生交流自己的研究過程和收獲，讓學生的思維更廣闊。如教學“一億有多大”后，有教師布置的“數(shù)一億粒大米”實踐作業(yè)曾引起社會熱議。其實，教師不妨改成“怎樣快速數(shù)出大約一億粒大米”，讓學生課后設(shè)計方案并進行操作，再帶回課堂交流。在這個過程中，學生不僅感受到了大數(shù)中的“一億”，還提高了解決實際問題的能力。

綜上所述，數(shù)學思維與數(shù)學表達一體雙翼，二者內(nèi)外互促。數(shù)學思維是隱性的，但是學生的數(shù)學表達是外顯的。教師可以通過關(guān)注外顯的數(shù)學表達來研究學生的思維狀態(tài)和水平，進而促進學生思維的發(fā)展。學習中，面對數(shù)學問題，學生從自身經(jīng)驗出發(fā)，從“經(jīng)驗性表達”走向“多元性表達”，再進階到“結(jié)構(gòu)性表達”“應(yīng)用性表達”，這是課堂教學各個階段學生對數(shù)學知識的理解過程。教學中，教師要促使學生的這一理解過程不斷推進，讓學生的思維不斷進階、提升。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 彼格斯，科利斯.學習質(zhì)量評價：SOLO分類理論（可觀察的學習成果結(jié)構(gòu)）[M].高凌飚，張洪巖，譯.北京：人民教育出版社，2010.

[2] 潘小福.小學生數(shù)學表達能力培養(yǎng)的研究[J].江蘇教育，2017（41）：25-28.

[3] 趙凌云，李沐慧，威爾金森.數(shù)學學習中“數(shù)學表達”的前沿研究：路易絲·威爾金森（Louise Wilkinson）與趙凌云、李沐慧的對話[J].華東師范大學學報（教育科學版），2018，36（6）：144-149，160.

[4] 呂林海.數(shù)學理解性學習與教學：文化的視角[M].北京：教育科學出版社，2013.

【本文系南京市中小學教學研究2021年度第十四期重點課題“數(shù)學表達：指向思維進階的小學數(shù)學課堂變革研究”（編號：2021NJJK14—Z12）的階段性研究成果?！?/p>

（責編 覃小慧）