例析二次函數(shù)四類常見含參問題

［摘 要］二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)，其中含參問題較為常見且難度較大。文章結(jié)合典型試題，對(duì)四類常見的二次函數(shù)含參問題進(jìn)行總結(jié)分析，旨在提高學(xué)生的解題效率。

［關(guān)鍵詞］二次函數(shù)；含參問題；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2025）02-0026-03

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是中考數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)。二次函數(shù)中含參問題不僅要求學(xué)生理解掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要求學(xué)生具備靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，是初中數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)。本文結(jié)合典型試題，對(duì)常見的二次函數(shù)含參問題進(jìn)行系統(tǒng)的梳理和探究，以提高學(xué)生的解題能力。

一、求參數(shù)的取值范圍

二次函數(shù)含參問題中求參數(shù)的取值范圍是一類常見且相對(duì)基礎(chǔ)的問題。這類問題通常涉及二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法解題的能力。常見的命題情境包括根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，確定參數(shù)范圍、根據(jù)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)確定參數(shù)范圍、根據(jù)函數(shù)圖象與特定直線或點(diǎn)的位置關(guān)系確定參數(shù)范圍。解題時(shí)，學(xué)生需結(jié)合函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，如開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等，對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行初步判斷。比如，已知函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則可根據(jù)交點(diǎn)位置、交點(diǎn)個(gè)數(shù)等條件列出不等式求解參數(shù)范圍；若已知函數(shù)圖象與特定直線或點(diǎn)的位置關(guān)系，則可通過分析二者間的關(guān)系，列出相應(yīng)的不等式或方程進(jìn)行求解。

［例1］拋物線[y=-x2+2mx-m2+2]與[y]軸交于點(diǎn)[C]，過點(diǎn)[C]作直線[l]垂直于[y]軸，將拋物線在[y]軸右側(cè)的部分沿直線[l]翻折，其余部分保持不變，組成圖形[G]，點(diǎn)[M（m-1，y1）]，[N（m+1，y2）]為圖形[G]上兩點(diǎn)，若[y1lt;y2]，則[m]的取值范圍是（" " " " ）。

A. [mlt;-1]或[mgt;0]" " " " " " " " B. [-12lt;mlt;12]

C. [0≤mlt;2]" " " " " " " " " " " "D. [-1lt;mlt;1]

解析：已知拋物線為[y=-x2+2xm-m2+2]，整理可得[y=-（x-m）2+2]，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為[（m，2）]，所以[M，N]兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸[x=m]對(duì)稱。

當(dāng)[m≤0]時(shí)，如圖1，要使[y1lt;y2]，則存在[m+1gt;0]，即[-1lt;m≤0]；

當(dāng)[mgt;0]時(shí)，如圖2，要使得[y1lt;y2]，則存在[m-1lt;0]，即[0lt;mlt;1]；

lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學(xué)教學(xué)參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z15.epsgt;" " " lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學(xué)教學(xué)參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z16.epsgt;

圖1" " " " " " " " " " " " " " " 圖2

綜上可得[-1lt;mlt;1]，故正確答案為[D]。

通過特殊值法求解。令[m=1]，則可得[M（0，1）]，[C（0，1）]，則點(diǎn)[M]的翻折點(diǎn)[N]此時(shí)存在[y1=y2=1]，不符合題意，可以排除選項(xiàng)[A]和[C]；當(dāng)[m=12]時(shí)，得[M-12，1]，[C0，74]，此時(shí)可得點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[32，52]，符合題意，可以排除選項(xiàng)[B]，故可得正確答案D。

二、含參二次函數(shù)最值問題

在含參二次函數(shù)最值問題中，常見的命題情境是給出二次函數(shù)解析式及其定義域，求定義域內(nèi)的最值。由于參數(shù)的存在，二次函數(shù)的對(duì)稱軸位置、頂點(diǎn)位置及開口方向是不確定的，從而進(jìn)一步影響函數(shù)的最值。因此，解題時(shí)首先要分析含參二次函數(shù)的特點(diǎn)，明確參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)位置等圖象特征的影響。當(dāng)對(duì)稱軸方程含參數(shù)時(shí)，需進(jìn)行分類討論，即考慮對(duì)稱軸在定義域左側(cè)、在定義域中間、在定義域右側(cè)三類情況。

［例2］二次函數(shù)[y=x2+bx+b2]，當(dāng)[x]滿足[b≤x≤b+3]時(shí)，函數(shù)[y]的最小值為[21]，求函數(shù)的解析式。

解析：因?yàn)閇y=x2+bx+b2]，對(duì)稱軸為直線[x=-b2]，當(dāng)對(duì)稱軸在取值范圍左側(cè)，即[-b2lt;b]時(shí)，得[bgt;0]，則[ymin=yx=b=3b2=21]，[b=7]或[b=-7]（舍去）；當(dāng)對(duì)稱軸在取值范圍內(nèi)，即[b≤-b2≤b+3]時(shí)，得[-2≤b≤0]，則[ymin=yx=-b2=34b2=21]，所以[b=±27]（舍去）；當(dāng)對(duì)稱軸在取值范圍右側(cè)，即[-b2gt;b+3]時(shí)，得[blt;-2]，則[ymin=yx=b+3=3b2+9b+9=21]，所以[b=-4]或[b=1]（舍去）。

綜上，[b=-4]或[7]，則二次函數(shù)為[y=x2-4x+16]或[y=x2+7x+7]。

三、含參二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題

常見的含參二次函數(shù)交點(diǎn)問題有拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題、拋物線與線段交點(diǎn)問題、拋物線與其他函數(shù)圖象交點(diǎn)問題等。其中，含參二次函數(shù)圖象與[x]軸交點(diǎn)問題尤為典型，主要涉及判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)、求交點(diǎn)坐標(biāo)及參數(shù)的取值范圍。解題關(guān)鍵在于理解并靈活運(yùn)用判別式：當(dāng)[Δgt;0]時(shí)，二次函數(shù)圖象與[x]軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)[Δ=0]時(shí)，二次函數(shù)圖象與[x]軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)[Δlt;0]時(shí)，二次函數(shù)圖象與[x]軸無交點(diǎn)。具體解題時(shí)，將含參二次函數(shù)的系數(shù)代入判別式[Δ]，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，解之即可得到參數(shù)的值或取值范圍。需注意的是，二次項(xiàng)系數(shù)不能為[0]，且要考慮題目中的限制條件。對(duì)于拋物線與線段的交點(diǎn)問題，主要關(guān)注交點(diǎn)存在性、交點(diǎn)坐標(biāo)及符合題意的參數(shù)取值范圍。在判斷交點(diǎn)存在性時(shí)，需給定一個(gè)含參二次函數(shù)和一條線段，求解二次函數(shù)圖象與線段所在直線的交點(diǎn)，并檢驗(yàn)交點(diǎn)是否在線段上。解題步驟為：首先明確線段與二次函數(shù)圖象相交的條件；然后將二次函數(shù)的解析式和線段所在直線的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)的坐標(biāo)；最后根據(jù)約束條件，確定滿足相關(guān)條件時(shí)參數(shù)的取值范圍。

［例3］如圖3，二次函數(shù)[y=x2+bx+c]的圖象經(jīng)過點(diǎn)[A0，-74]，[B1，14]，點(diǎn)[P]為圖象上任意一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為[m]，過點(diǎn)[P]作[PQ]∥[x]軸，點(diǎn)[Q]的橫坐標(biāo)為[-2m+1]，[P，Q]不重合，且線段[PQ]長(zhǎng)度隨[m]增大而減小。（1）求[m]的取值范圍；（2）當(dāng)[PQ≤7]時(shí)，寫出線段[PQ]與二次函數(shù)[y=x2+bx+c-2≤xlt;13]的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的[m]的取值范圍。

解析：（1）因?yàn)閇y=x2+bx+c]的圖象經(jīng)過點(diǎn)[A0，-74]，[B1，14]，把[A]，[B]代入函數(shù)解析式可得[b=1]，[c=-74]，所以[y=x2+x-74]。

因?yàn)榫€段[PQ]的長(zhǎng)度隨[m]增大而減小，且[PQ]∥[x]軸，所以當(dāng)[P]在[Q]點(diǎn)右側(cè)時(shí)，[PQ=m-（-2m+1）=3m-1]，[PQ]的長(zhǎng)度隨[m]增大而增大，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)[Q]在[P]點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，[PQ=（-2m+1）-m=-3m+1]，[PQ]的長(zhǎng)度隨[m]增大而減小，同時(shí)說明[-2m+1gt;m]，即[mlt;13]。

（2）因?yàn)閇0lt;PQ≤7]，由（1）可得[0lt;-3m+1≤7]，所以[-2≤mlt;13]。若點(diǎn)[P]與[y=x2+x-74-2≤xlt;13]的圖象左側(cè)端點(diǎn)[C-2，14]重合，由圖4可知，隨著點(diǎn)[P]向右移動(dòng)，其橫坐標(biāo)[m]變大，[PQ]長(zhǎng)度變小，當(dāng)過點(diǎn)[E13，-4736]時(shí)，點(diǎn)[P]和點(diǎn)[E]關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，此時(shí)[y=x2+x-74=x+122-2]，對(duì)稱軸為直線[x=-12]，根據(jù)圖象的對(duì)稱性可得此時(shí)點(diǎn)[P]的橫坐標(biāo)為[-43]，但因二次函數(shù)中[x]的取值范圍為[-2≤xlt;13]，故函數(shù)圖象不經(jīng)過點(diǎn)[E]，當(dāng)[P]的橫坐標(biāo)為[-43]，即[m=-43]時(shí)，點(diǎn)[Q]的橫坐標(biāo)為[-2m+1=113]，[113gt;13]，所以此時(shí)點(diǎn)[Q]在點(diǎn)[E]右側(cè)。如圖5，當(dāng)[-2≤m≤-43]時(shí)，[PQ]與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為[1]。

如圖6，在點(diǎn)[P]移至頂點(diǎn)[D-12，-2]之前，線段[PQ]與圖象存在兩個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以當(dāng)[-43lt;mlt;-12]時(shí)，線段[PQ]與拋物線始終有兩個(gè)交點(diǎn)。

如圖7，當(dāng)[P]移動(dòng)至拋物線頂點(diǎn)時(shí)，線段[PQ]與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，即[PM=12]；點(diǎn)[P]與點(diǎn)[D]重合，此時(shí)，線段[PQ]與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)。

如圖8，當(dāng)[-12≤mlt;13]時(shí)，[PQ]與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。

綜上所述，當(dāng)[-2≤m≤-43]或[-12≤mlt;13]時(shí)，直線[PQ]與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)[-43lt;mlt;-12]時(shí)，直線[PQ]與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)。

四、含參二次函數(shù)圖象與幾何圖形問題

含參二次函數(shù)圖象與幾何圖形問題的考查常出現(xiàn)在壓軸題中，常見的題型包括求解參數(shù)值、動(dòng)態(tài)幾何問題。解答時(shí)，需以坐標(biāo)系為橋梁，結(jié)合二次函數(shù)圖象與幾何圖形，通過構(gòu)造三角形、四邊形等輔助解題。首先，根據(jù)題目中的幾何條件，建立含參二次函數(shù)與幾何圖形的函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用幾何知識(shí)輔助。其次，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)（如開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)）判斷函數(shù)圖象與幾何圖形的關(guān)系。若涉及交點(diǎn)，則聯(lián)立求解；若涉及最值或參數(shù)取值范圍，則利用不等式求解。解題過程中，需注意知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知。

［例4］如圖9，拋物線[y=ax2-2ax+a+10]（[alt;0]）的頂點(diǎn)為[P]，作[PM⊥x]軸于點(diǎn)[M]，點(diǎn)[C]是線段[PM]上一點(diǎn)，[CD]∥[x]軸，交拋物線于第一象限一點(diǎn)[D]，過線段[CD]的中點(diǎn)[F]，作[EN⊥CD]，交拋物線于點(diǎn)[E]，交[x]軸于點(diǎn)[N]，直線[CN]交[y]軸于點(diǎn)[G]，點(diǎn)[H]在射線[CN]的延長(zhǎng)線上。（1）求頂點(diǎn)[P]的坐標(biāo)；（2）若四邊形[CNDE]是菱形，求[PC]∶[CM]的值；（3）當(dāng)[GC=12CN=13NH]時(shí)，若[AN]平分[∠CAH]，求[a]的值。

解析：（1）頂點(diǎn)[P（1，10）]（過程略）。

（2）[PC]∶[CM=4]∶[3]（過程略）。

（3）如圖10，過點(diǎn)[H]作[HK⊥x]軸于點(diǎn)[K]，易得[△ACM]∽[△AHK]，[△CMN]∽[△GON]，[△GON]≌[△HKN]，設(shè)[D（m，n）]，則[C（1，n）]，所以[CM=n]。

由[GC=12CN=13NH]，易得[G0，3n2]，所以直線[GH]的解析式為[y=-n2x+3n2]，而[HK=OG=3n2]，所以點(diǎn)[H]的縱坐標(biāo)為[3n2]，代入[y=-n2x+3n2]可得[H6，-3n2]，即[OK=6]，而[△ACM]∽[△AHK]，其相似比為2∶3，所以[AM]∶[AK=2]∶[3]，由[AM=OA+1]，[AK=OA+6]，得[（OA+1）]∶[（OA+6）=2]∶[3]，可得[OA=9]，所以[A（-9，0）]，將[A（-9，0）]代入[y=a（x-1）2+10]，得[a=-110]。

綜上所述，本文總結(jié)了中考中幾類常見的含參二次函數(shù)題型。這些題型各有特點(diǎn)，需學(xué)生靈活運(yùn)用二次函數(shù)及幾何等知識(shí)。因此，在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)掌握分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，以便快速解答問題。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

[1]" 劉長(zhǎng)松，陳超.中考二輪復(fù)習(xí)微專題探究：含參數(shù)的二次函數(shù)中對(duì)稱軸、區(qū)間、函數(shù)值之間的關(guān)系探究[J].數(shù)理化解題研究，2024（2）：20-22.

[2]" 陳金峰.二次函數(shù)在中考中的常見問題探究[J].中學(xué)教學(xué)參考，2024（2）：40-42.

[3]" 沃忠波，鄭穎.二次函數(shù)常見題型及解題策略探究[J].中學(xué)教學(xué)參考，2023（35）：20-23.

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（責(zé)任編輯" " 黃春香）