當(dāng)代大學(xué)生娛樂中高等數(shù)學(xué)問題在教學(xué)中的應(yīng)用

經(jīng)典教材因其內(nèi)容的穩(wěn)定性和權(quán)威性，在知識傳授中扮演著基石的角色。然而，它們所包含的案例往往缺乏時效性，難以與當(dāng)代大學(xué)生的生活體驗產(chǎn)生共鳴，這可能會在一定程度上造成學(xué)生對高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生距離感。為了打破這一壁壘，將高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與大學(xué)生熱衷的娛樂項目相結(jié)合，是一個極具吸引力的策略。通過巧妙融入電影、動畫、漫畫、小說、電視劇中的數(shù)學(xué)元素，不僅能為學(xué)生呈現(xiàn)一個更加鮮活、有趣的數(shù)學(xué)世界，還能極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。本文通過高等數(shù)學(xué)與大學(xué)生熱衷的娛樂項目相結(jié)合的教學(xué)策略，用電影《星際穿越》中的巨浪問題、動畫和漫畫《JOJO的奇妙冒險》中的追擊問題以及電視劇和小說《天龍八部》中的最優(yōu)路徑問題等具體案例，展示如何將高等數(shù)學(xué)的概念和公式融入娛樂情境中，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情。這些案例不僅為學(xué)生呈現(xiàn)了一個更加鮮活、有趣的數(shù)學(xué)世界，還極大地提升了他們的學(xué)習(xí)動力和自我效能感。這種教學(xué)策略在心理學(xué)和教育學(xué)上的雙重意義，對于促進學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、提高教學(xué)效果和培養(yǎng)問題解決能力將起到重要作用。

1 電影《星際穿越》中的巨浪問題

《星際穿越》諾蘭執(zhí)導(dǎo)的科幻片，2014年底在中國大陸上映，很多90、00后大學(xué)生看過該片。在教學(xué)時，素材可取電影中飛船降落目標(biāo)星球到離開的片段，該片段敘述了男女主人公一行來到了一顆陌生的星球，回收星球數(shù)據(jù)并未留意到遠(yuǎn)處的巨浪，而巨浪接近時其高度遠(yuǎn)超眾人的估計，巨浪遠(yuǎn)超估計是由于一大段巨浪被地平線遮住了。如圖1，假設(shè)浪的距離為d，設(shè)被遮住的浪高為h，該星球半徑等于R。

以當(dāng)代大學(xué)生常用的同濟大學(xué)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)（第七版）》為例，該案例適合用于第三章泰勒公式這堂課的例題，具體知識點是泰勒公式在近似計算中的應(yīng)用。例題可以幫助學(xué)生體會尤其是函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為0時微分的近似公式Δy≈dy不再適用，而泰勒公式依舊適用，用途更廣泛。

2 動畫和漫畫《JOJO的奇妙冒險》中的追擊問題

《JOJO的奇妙冒險》漫畫由嗶哩嗶哩漫畫、騰訊動漫、漫番漫畫發(fā)布。動畫由david production負(fù)責(zé)制作，于2012年10月5日開始播出。其獨樹一幟的畫風(fēng)以及出色的劇情使其在年輕人中大受歡迎。在教學(xué)時，素材可取自動畫《JOJO的奇妙冒險——石之?！?，或取自同名漫畫的單行本，該內(nèi)容敘述了男女主人公在追趕“綠色嬰兒”時發(fā)現(xiàn)他的特殊能力是使接近自己的物體變小，并且變小的尺寸和嬰兒的距離成正比，男女主人公隨后討論到底能不能追上“綠色嬰兒”。為了簡化問題，合理假設(shè)主角的速度與自身大小成正比，有以下四個問題值得思考。

（1）嬰兒不動，主角是否能追上？

（2）嬰兒動，主角是否能追上？

（3）嬰兒不動，主角何時能夠達到初始距離的一半？

（4）嬰兒與主角之間的距離關(guān)于時間的函數(shù)是什么？

問題（1）：主角無法追上，假設(shè)問題（3）的答案為T，那么主角從到的情況和從d走到類似，只是距離和速度都相應(yīng)減半，用時也為T，同理到用時也為T，所以總用時為無窮大，無法追上。

問題（2）：主角也無法追上，當(dāng)主角的速度下降到嬰兒的速度，他們的距離就無法縮短。事實上，主角的速度會趨向于而永遠(yuǎn)無法達到嬰兒的速度，具體看問題（4）。

問題（3）：設(shè)主角的初速度為v1、速度為v，主角與嬰兒的距離為x，由于主角的速度與自身大小成正比，則不難得出主角的速度v與x呈線性關(guān)系，又因為速度可以表示為x，關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)即，因此可得

同樣以同濟大學(xué)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)（第七版）》 為例，該案例的問題（1）（2）可以作為第一章第一節(jié)高數(shù)課的內(nèi)容，帶學(xué)生領(lǐng)略高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的最大區(qū)別：極限與無窮。問題（3）（4）可以在講第五章定積分的時候作為例題再次讓大學(xué)生學(xué)習(xí)，學(xué)生體會到自己數(shù)學(xué)能力的進步，可以解決曾經(jīng)無法量化的問題，從而積累學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的信心。

3 電視劇和小說《天龍八部》中的最優(yōu)路徑問題

《天龍八部》是著名作家金庸的代表作之一，當(dāng)代許多大學(xué)生都看過2003年版的電視劇《天龍八部》。在教學(xué)時，素材可選自電視劇《天龍八部》或是同名小說，該內(nèi)容講述了木婉清和段譽被關(guān)在石屋中、兩個人因男人是否可以三妻四妾產(chǎn)生了爭執(zhí)、木婉清追打段譽的故事。為了簡化問題，合理假設(shè)石屋為圓形，兩個人的初始位置如圖2所示，木婉清的初始位置在石屋的中心，段譽的初始位置在石屋的邊界上，當(dāng)開始運動后段譽沿著圓的邊界（石屋邊界）開始勻速運動，速度為v1，木婉清的速度為v2，其中v2速度可變。要幫助木婉清規(guī)劃一個好的路徑來追擊段譽，設(shè)木婉清的路徑的極坐標(biāo)方程為ρ（t），假設(shè)木婉清在θ度處與段譽相遇且兩個人走過的路徑長相等，由弧長公式可得，等式兩邊同時對θ求導(dǎo)可得微分方程。

對等式兩邊同時積分可得，代入初值條件可得（3.4），則木婉清的追擊路徑如下圖所示。當(dāng)（3.2）式根號外取負(fù)號時，得到的路徑與圖3相同。

不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)θ= 時木婉清和段譽相遇，且追擊路徑為半徑為、圓心為（0，）的半圓。

同樣以同濟大學(xué)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)（第七版）》為例，該案例可作為第七章微分方程——可分離變量的微分方程一節(jié)的內(nèi)容；另外在第十一章曲線積分的教學(xué)中，此例還可以幫助學(xué)生理解曲線積分，同時復(fù)習(xí)定積分的應(yīng)用——求弧長和微分方程的知識，作為臨近學(xué)期末的課堂，有助于提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

4 教育心理學(xué)角度的認(rèn)知

在教學(xué)中融入娛樂項目對于學(xué)好高等數(shù)學(xué)具有顯著的促進作用，這一做法不僅符合教育心理學(xué)的認(rèn)知規(guī)律，在實踐中也是促進學(xué)生提高學(xué)習(xí)效果的有效方法。

從認(rèn)知角度來看，讓學(xué)生愛上學(xué)習(xí)的一個重要因素是學(xué)生是否能持續(xù)地體驗到學(xué)習(xí)新東西、解決問題的愉悅感，解決策略之一就是盡量讓教學(xué)中提出的問題與學(xué)生的背景、經(jīng)驗相聯(lián)系。皮杰亞理論不主張課堂教學(xué)呈現(xiàn)現(xiàn)成的知識，而是鼓勵學(xué)生自發(fā)地與環(huán)境互動，自主地發(fā)現(xiàn)知識。一個想學(xué)習(xí)的學(xué)生能夠?qū)W會任何東西，將學(xué)習(xí)泰勒公式改為娛樂項目問題可以有效提高學(xué)習(xí)任務(wù)的內(nèi)在吸引力，大家一起來思考如何幫助《星際穿越》女主躲過滔天巨浪還是機械地在通過板書陳述泰勒公式，在調(diào)動學(xué)生積極性上的差別是顯而易見的，學(xué)生可能更愿意在下課前知道數(shù)學(xué)知識如何幫助女主。同時，研究表明，焦慮會使得學(xué)生難以學(xué)習(xí)知識、分散學(xué)生在任務(wù)上的注意力，而常見的使人表現(xiàn)失常的焦慮就是數(shù)學(xué)焦慮，尤其是對應(yīng)用題束手無策。通過娛樂項目可以建立一種舒適的、合作的班級氣氛來減少焦慮，訓(xùn)練學(xué)生掌握做題技巧和放松技巧，從而對學(xué)習(xí)效果產(chǎn)生積極影響。

從記憶系統(tǒng)的運行規(guī)律來看，如果我們進行了仔細(xì)地思考，大腦判斷以后可能會再次思考，它應(yīng)該被存儲起來。也就是說，記憶是思考的結(jié)果，學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷的思考決定了最終進入長期記憶的內(nèi)容是什么。因此，我們更希望學(xué)生通過思考來理解如何解決數(shù)學(xué)問題，進而能記住抽象的數(shù)學(xué)概念或公式。根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，學(xué)生想要真正地學(xué)到知識，就必須自己去發(fā)現(xiàn)和轉(zhuǎn)換復(fù)雜的信息，教師可以通過給學(xué)生提供機會，使其自主發(fā)現(xiàn)某些概念，教師可以給學(xué)生提供梯子，但學(xué)生必須自己爬梯子。也就是說，可以將一些新概念與舊認(rèn)知相結(jié)合，促使學(xué)生去思考我們忽略的問題。課程設(shè)計要使學(xué)生思考、內(nèi)容貼近學(xué)生群體的日常生活，尤其針對數(shù)學(xué)這一抽象概念較多的學(xué)科來說，通過易于理解和記憶的故事來切入是更為行之有效的方法。在上述例二追擊問題中，男女主變小尺寸與“綠色嬰兒”的距離始終成正比，很多同學(xué)判斷男女主無法追上“綠色嬰兒”，但是運用何種數(shù)學(xué)方法、是否需要區(qū)分嬰兒運動及不運動這兩種不同的情況就使學(xué)生深入思考，自主探究得出的結(jié)論有助于學(xué)生對無窮問題形成長期記憶。

將學(xué)生日常的娛樂項目作為教學(xué)案例能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與動機、降低認(rèn)知負(fù)荷與焦慮，同時，能提高教學(xué)效果、培養(yǎng)邏輯思維與問題解決能力、提高學(xué)生的長期記憶。因此，我們應(yīng)積極推廣和應(yīng)用這一教學(xué)方式，讓學(xué)生在玩樂中學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、在學(xué)習(xí)中成長。

5 總結(jié)

本文全面剖析了高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法的一個創(chuàng)新途徑，核心在于將高等數(shù)學(xué)與當(dāng)代大學(xué)生熱衷的娛樂項目緊密結(jié)合。文章強調(diào)，傳統(tǒng)教材雖具有內(nèi)容的穩(wěn)定性和權(quán)威性，但案例的時效性不足，難以引發(fā)學(xué)生的共鳴和興趣，進而可能使學(xué)生產(chǎn)生對高等數(shù)學(xué)的疏離感。為解決這一問題，本文提出了創(chuàng)新的教學(xué)策略：通過巧妙融入電影、動漫、電視劇及小說等娛樂項目中的數(shù)學(xué)元素，為學(xué)生呈現(xiàn)一個更加鮮活、有趣的數(shù)學(xué)世界。文中進一步從心理學(xué)和教育學(xué)角度闡述了這種創(chuàng)新教學(xué)方法的積極作用，包括激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、降低認(rèn)知負(fù)荷、增強自我效能感等。本文提出的將高等數(shù)學(xué)與娛樂項目相結(jié)合的教學(xué)策略，不僅豐富了教學(xué)內(nèi)容，還顯著提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和教學(xué)效果，為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革提供了新的思路。

本文系江蘇省產(chǎn)學(xué)研合作項目“平面度與水平度測量的算法開發(fā)”（編號：BY20230722）研究成果。

通信作者：湯偉業(yè)