關(guān)于45°角處理策略的探究舉例

【摘要】45°角作為特殊的角，在幾何綜合問題中十分常見，問題解析時(shí)需要妥善處理該角，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的條件.教學(xué)中建議開展45°角處理策略探究，構(gòu)建幾何模型，引導(dǎo)學(xué)生探索轉(zhuǎn)化思路.本文舉例探究三種45°角的構(gòu)建轉(zhuǎn)化模型，與讀者交流學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】45°角；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

45°角是一個(gè)較為特殊的角，以其為載體命制的考題十分常見，問題解析的關(guān)鍵是合理處理45°角.教學(xué)時(shí)建議引導(dǎo)學(xué)生探索構(gòu)建模型來轉(zhuǎn)化，下面舉例探究三種45°角的轉(zhuǎn)化建模策略，并結(jié)合實(shí)例應(yīng)用講解.

策略1構(gòu)造“一線三直角”模型

構(gòu)造“一線三直角”模型轉(zhuǎn)化45°角，即利用模型中的等腰直角三角形，轉(zhuǎn)化為全等條件.具體思路如下：45°角→構(gòu)等腰直角三角形→造“一線三直角”全等，如圖1所示.

例1如圖2（a）所示，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=kxxgt;0同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，∠AOB=∠OBA=45°，則k的值為.

分析與解問題中存在45°角，可以構(gòu)造“一線三直角”模型轉(zhuǎn)化45°角，所構(gòu)模型如圖2（b）所示，根據(jù)“一線三直角”模型可知Rt△OAD≌Rt△ABC.

解設(shè)OD=AC=t，

則點(diǎn)A2，t，Bt+2，t－2，

從而有2t=t+2t－2，

可解得t=2+102，

所以k=2t=1+5.

解后反思對于涉及45°角的幾何問題，可以考慮構(gòu)造“一線三直角”模型，將其轉(zhuǎn)化為全等條件，再結(jié)合全等特性分析求解.與函數(shù)相結(jié)合的45°角問題同樣適用，注意關(guān)注函數(shù)上的點(diǎn)，充分利用函數(shù)解析式構(gòu)建參數(shù)關(guān)系.

策略2構(gòu)造“母子型相似”模型

構(gòu)造“母子型相似”模型轉(zhuǎn)化45°角，即在該角的一邊上某點(diǎn)作水平或豎直輔助線，補(bǔ)出一個(gè)與之相等的角，構(gòu)造相似模型，將其轉(zhuǎn)化為線段比例關(guān)系.其流程為：一個(gè)45°→再補(bǔ)一個(gè)45°→造“母子型相似”，如圖3所示.

例2如圖4（a）所示，已知拋物線y=－x2+72x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且經(jīng)過點(diǎn)C0，2，D3，72，點(diǎn)P是直線CD上方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)∠PCD=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析與解問題中設(shè)定45°動角，可以構(gòu)造“母子型相似”模型，將其轉(zhuǎn)化為相似條件.

解如圖4（b）所示，過點(diǎn)D作y軸的平行線交CP的延長線于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)G，再作CE⊥QG于點(diǎn)E，構(gòu)造等腰Rt△CEF，

則∠F=45°，EF=CE=3，DE=32.

由于∠PCD=45°，可證△QCD∽△QFC，

易證QC2=QD·QF，利用直角三角形勾股定理可求得點(diǎn)Q（3，11），進(jìn)一步可求得直線CQ的解析式為y=3x+2，與拋物線聯(lián)立可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（12，72）.

解后反思利用“母子型相似”模型轉(zhuǎn)化45°角，核心是作與之相等的角，構(gòu)造相似三角形，將條件轉(zhuǎn)化為線段比值關(guān)系，便于后續(xù)求線段或點(diǎn)坐標(biāo).教學(xué)的關(guān)鍵是，引導(dǎo)學(xué)生梳理作法，提取其中的相似關(guān)系.

策略3構(gòu)造“半角”模型

構(gòu)造“半角”模型，即將45°角轉(zhuǎn)移到正方形中，作法為依托45°角來補(bǔ)充完善正方形，后續(xù)再結(jié)合勾股定理、正方形的性質(zhì)求解.

例3如圖5所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE＝5，∠EAF＝45°，則AF的長為.

分析與解問題中∠EAF＝45°，涉及45°角，可以考慮補(bǔ)充正方形，構(gòu)造“半角”模型，將其轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系條件.

解在AD上取點(diǎn)M使得AM=AB=2，再過點(diǎn)M作MN垂直BC于點(diǎn)N，與AF交于點(diǎn)G，連接EG，如圖5虛線所示，則有EG=BE+MG.

后續(xù)可證明其中的相似三角形：△ADF∽△AMG，利用線段比例關(guān)系可求得DF=2，在Rt△ADF中，由勾股定理可得AF=AD2+DF2=210.

解后反思若問題中的45°角是由某一直角頂點(diǎn)引出時(shí)，可以考慮構(gòu)造“半角”模型，利用正方形的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化這一條件.實(shí)際解題時(shí)注意提取正方形中的特殊關(guān)系，如相似和全等，利用線段關(guān)系來求解.

結(jié)語

總之，對于涉及45°角的幾何問題，可以采用上述總結(jié)的三種模型構(gòu)建轉(zhuǎn)化策略，其中“一線三直角”模型隱含了全等特性，“母子型相似”模型則是基于三角形相似構(gòu)建，而“半角”模型是對正方形特性的充分挖掘.實(shí)際教學(xué)中，注意指導(dǎo)學(xué)生掌握模型構(gòu)建方法，以及條件轉(zhuǎn)化思路，結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)分析，形成解題策略.