多線段和差最值問題的常見模型

【摘要】最值問題是一類綜合性較強的問題.多線段和差問題是線段最值問題中的常見出題形式，在中考壓軸題中出現(xiàn)的概率較大.本文總結(jié)兩種多線段和差最值問題的常見模型，希望能給相關人員帶來啟示.

【關鍵詞】多線段和差；高中數(shù)學；解題技巧

在解決多線段和差最值問題時，需要把握有關幾何知識點及原理.如，兩點之間線段最短；對稱的性質(zhì)：關于一條直線對稱的兩個圖形全等，對稱軸是兩個對稱圖形對應點連線的垂直平分線；垂直線段最短等.再根據(jù)模型的不同綜合求解.在初中階段，多線段和差最值問題有兩個最重要的模型，一個是求多線段和最值的將軍飲馬模型，另一個是求多線段差最值模型.基于此，本文就結(jié)合這兩個具體的模型談應如何求解初中階段多線段和差的最值問題.

1將軍飲馬模型

將軍飲馬模型最早起源于古羅馬時代.傳說在亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者叫海倫，有一天一位羅馬將軍專程去拜訪他，并想向他請教一個問題：將軍所在的軍營為A點，家在B點，軍營和家之間有一條小河，將軍每天要先到河邊飲馬再回家，問應該怎樣走才能使路程最近？轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言即：如圖1，點P在直線l上，點A、B是直線l同側(cè)的兩個定點，試確定動點P的位置，使得PA+PB最小.

在求解將軍飲馬模型時，要將直線l同側(cè)的兩個點轉(zhuǎn)化到直線l異側(cè)，再根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)求解即可.所以，作點A關于直線l的對稱點A′（作B的對稱點也一樣），則將同側(cè)的兩點A、B轉(zhuǎn)化到了異側(cè)兩點A′、B.此時，連接點A′、B與直線l交于點P，即為所求.

綜上可知，不管將軍飲馬模型如何變形，只需把握兩點之間線段最短的性質(zhì)求解即可.比如，在下面這道例題中：

例1求x2+9+（16－x）2+81的最小值.

分析本題看似為一道代數(shù)題目，但如果從代數(shù)的角度切入會發(fā)現(xiàn)計算量比較大.因此，可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合將軍飲馬模型和勾股定理的相關知識，利用構(gòu)圖法解決此題.做法如下：①如圖2，作一條長為16的線段CD.②過點C在線段CD上方作線段CD的垂線AC，使AC=3；過點D在線段CD下方作線段CD的垂線BD，使得BD=9.③在線段CD上任取一點O，設CO=x.④根據(jù)勾股定理計算可得，AO=x2+9，BO=（16－x）2+81.則原題中要想求出x2+9+（16－x）2+81的最小值，只需求得AO+BO的最小值即可.

解析如圖2，過B作AC的垂線交AC的延長線于點E.

因為AC2+OC2=OA2，BD2+OD2=OB2，

AO=x2+9，

BO=（16－x）2+81，

當A、B、O三點共線時，AO+BO取得最小值，此時，線段AB的長即為原式的最小值.

則在△ABE中，AE=3+9=12，BE=16，

AB2=AE2+BE2=144+256=400，

即AB=20，

所以AO+BO的最小值為20，

故x2+9+（16－x）2+81的最小值為20.

2多線段差的最值模型

線段差最值問題解題的基本原理是同側(cè)共線差最大.常見的出題形式為：①如圖3，點P在直線l上，點A、B是直線l同側(cè)的兩個定點，試確定動點P的位置，使得PA－PB最大；②如圖4，點P在直線l上，點A、B是直線l異側(cè)的兩個定點，試確定動點P的位置，使得PA－PB最大.解決線段差的最值問題的思路和解決線段和的最值問題的思路相似，均可以通過構(gòu)造對稱、全等三角形或平行四邊形求解.

例2如圖5，拋物線y=－49x2+83x+2與y軸交于點A，頂點為B，點P是x軸上的一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的點P的坐標.

據(jù)拋物線的解析式求得點A的坐標，頂點B的坐標，設P的坐標為（x，0），當PA=PB時線段PA與PB的差最小，即可求得最小值和對應的點P的坐標；當點P、A、B在一條直線上時，線段PA與PB的差最大，根據(jù)PB=PA+AB即可求得最大值和對應的點P的坐標.

解析因為拋物線y=－49x2+83x+2與y軸交于點A，

所以A（0，2），

因為y=－49x2+83x+2=－49（x－3）2+6，

所以頂點B的坐標為（3，6）

設P的坐標為（x，0），

當PA=PB時，線段PA與PB的差最小，PA－PB=0，

因為A（0，2），B（3，6），

所以PA2=x2+22=x2+4，

PB2=（x－3）2+62，

所以x2+4=（x－3）2+62，

解得x=416，

所以P（416，0），

當點P、A、B在一條直線上時，線段PA與PB的差最大.

因為A（0，2），B（3，6），

所以PA=x2+22，

PB=（x－3）2+62，

AB=32+（6－2）2=5，

所以PB=PA+AB，

即（x－3）2+62=5+x2+22，

解得x=－32，

即點P的坐標為（－32，0），

PA=52，PB=152，

此時，PB－PA=5.

所以線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值是0，此時點P的坐標為（416，0）.線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最大值為5，此時點P的坐標為（－32，0）.

3結(jié)語

總的來說，雖然多線段和差的最值問題具備一定的難度，但只要學生加強對模型的認識，掌握解決最值問題的基本知識點和思路，就一定能在考場中精準突破.當然，教師也要在日常的學習和訓練過程中，幫助學生做好對模型的總結(jié)，提高學生的解題能力.