關于“定角定高”模型探究的教學指導

【摘要】“定角定高”模型教學中建議設置探究專題，進行模型講解，解法指導，并結合實例開展應用探究.教學過程中，引導學生深入剖析模型，生成分步解題策略，在解題應用中注意反思總結，提升解題能力.

【關鍵詞】定角定高；幾何模型；面積最值

1引言

幾何模型在初中數(shù)學中十分常見，把握模型特征、總結規(guī)律結論應作為教學的重點.教學中建議針對具體模型設置探究專題，引導學生逐步探究，讓學生掌握模型知識的同時提升幾何探究能力.環(huán)節(jié)設計建議按照“模型講解→解法指導→解題應用”來進行構建，下面以“定角定高”模型為例開展教學探究.

2模型講解

“定角定高”模型是初中幾何中較為特殊的模型，融合了三角形與圓的相關知識，常以其為背景用于研究最值問題.教學探究建議引導學生開展模型剖析，總結解題策略.

2.1模型呈現(xiàn)

“定角定高”模型：如圖1所示，在直線BC外有一點A，點A到直線BC的距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值.另外，“定角夾定高”模型也叫做探照燈模型，可用于面積最值問題的求解.

2.2模型剖析

“定角定高”模型以三角形為背景來構建，生成了關于三角形面積的最值結論.教學中建議深度剖析模型結論，引導學生明晰證明方法.

對于求解△ABC的面積最小值，可先連接OA，OB，OC，再過點O作OH⊥BC，設垂足為點H，如圖2所示.

分析可知，OA+OH≥AD，當且僅當A，O，H三點共線時等號成立，由于∠BAC為定角，為圓O的圓周角，則所對的圓心角∠BOC也是定值.因此OA+OH和圓O的半徑存在固定關系，證明思路如下：

因為四邊形OEDH為矩形，

則OH=ED.

在Rt△AOE中，AO＞AE，

則AO+OH=AO+ED＞AE+ED=AD.

2.3解法構建

解題中可以利用“定角定高”模型探求三角形的面積最值，教學中可以引導學生掌握如下解題步驟，分三步構建：

第一步，作出定角定高三角形的外接圓，設外接圓的半徑為r，用r表示圓心到底邊的距離及其底邊長；

第二步，根據“半徑+弦心距≥定高”，求r的取值范圍；

第三步，用r表示定角定高三角形的面積，結合r的取值范圍求解三角形面積的最小值.

3解題應用

教學中引導學生結合上述總結的模型方法來進行解題應用，強化鞏固，提升學生的解題思維.問題設置建議分難度梯度，從一般的例題入手，逐步拓展變式，提升解題的靈活性.

3.1小試牛刀，初步探索

例1如圖3所示，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為.

思路引導引導學生把握問題特征，構建幾何模型，結合上述總結的思路來進行解題構建.

作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E，如圖4所示.

進行角度推導可得∠OBC＝∠OCB＝30°，

設⊙O的半徑為r，

則OE=12OB=12r，

BE=32OB=32r，

進而可得BC=3r.

因為OA+OE≥AD，

則r+12r≥4，可解得r≥83，

所以BC≥833，

則S△ABC=12BC·AD≥1633，

即△ABC面積的最小值為1633.

解后思考利用“定角定高”模型求解問題，可以參考其構建思路來分析推導，先作輔助線完善模型，再推導圓半徑的取值范圍，構建面積與半徑的關系，完成最值求解.

3.2變式拓展，深入探索

例2如圖5所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，點E，F(xiàn)均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，則四邊形BCFE面積的最大值為.

思路引導本題目中求四邊形的面積，解析過程構建與三角形的關系，再結合模型來探索思路.

將△DCF向左平移，使DC與AB重合，點F的對應點為點G，可推知∠GBE＝90°，作△BGE的外接⊙O，連接OB，如圖5所示，則OB≥AB.

當點O與點A重合時，OB可取得最小值2，則GE的最小值為4，則S△GBE=12GE·AB≥4.

因為四邊形BCFE的面積＝矩形ABCD的面積-△ABE的面積-△CDF的面積＝矩形ABCD的面積-△GBE的面積，所以當△GBE的面積最小時，四邊形BCFE的面積有最大值，可推得四邊形BCFE面積的最大值為20．

解后思考對于與“定角定高”模型相關的拓展探究題，教學中引導學生挖掘問題本質，提取模型特征，再構建問題與模型的關聯(lián)，后續(xù)則可以指導學生獨立思考解題.

4結語

總之，關于“定角定高”模型的教學探究，可參考上述的思路，深度剖析模型，引導思路證明，生成解題策略，再結合實例應用強化.探究過程中注意思維引導，培養(yǎng)學生獨立思考問題，應用探究后適度反思，幫助學生總結解題經驗.