與平行線相關(guān)的三大模型探究

【摘要】初中幾何中存在三類與平行線相關(guān)的模型，即豬蹄模型、鉛筆模型和鋸齒模型.教學(xué)中建議結(jié)合圖示歸納模型特征，總結(jié)模型結(jié)論，并結(jié)合實(shí)例指導(dǎo)應(yīng)用思路.引導(dǎo)過(guò)程注意傳統(tǒng)解法與模型方法的對(duì)比講解，讓學(xué)生充分感悟，理解應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】平行線；豬蹄模型；鉛筆模型；鋸齒模型

平行線是幾何中的重要概念，是對(duì)兩線位置關(guān)系的一種特殊定義，以平行線為背景構(gòu)建的幾何模型在中考或?？荚囶}中十分常見(jiàn).教材雖未設(shè)置專題重點(diǎn)講解模型，但在復(fù)習(xí)備考中有必要引導(dǎo)學(xué)生梳理模型，總結(jié)規(guī)律.

模型一豬蹄模型

“豬蹄模型”，基本特征為：一組平行線，中間有一點(diǎn)，分別與平行線上的點(diǎn)構(gòu)成“豬蹄”，如圖1所示，AB∥CD，該模型中存在一組角度關(guān)系，即∠E=∠B+∠D.

該角度關(guān)系的證明，只需過(guò)點(diǎn)E作AB或CD的平行線即可，后續(xù)利用平行性質(zhì)可推等角關(guān)系，進(jìn)而完成代換證明.

例1如圖2所示，已知MN//PQ，點(diǎn)C，B分別在直線MN，PQ上，點(diǎn)A在直線MN，PQ之間，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∠GCA+∠FAC=180°，∠CAB=60°，則∠AFB的度數(shù)為.

模型分析教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生明確模型，即圖中MN∥PQ，點(diǎn)A在兩平行線之間，互相連接，顯然構(gòu)成了“豬蹄模型”，根據(jù)模型結(jié)論可推得∠CAB=∠MCA+∠ABD，后續(xù)解題可以充分利用該結(jié)論.

解題構(gòu)建作圖，延長(zhǎng)CA交PQ于點(diǎn)D，如圖2的虛線所示.根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠ABD=2∠ABF，∠ACN=2∠ACG.

結(jié)合“豬蹄模型”的結(jié)論可得∠CAB=∠MCA+∠ABD，由三角形的外角性質(zhì)可得∠CAB=∠ADB+∠ABD，通過(guò)等角代換可得∠ABF=∠ACG－60°，進(jìn)一步分析可得∠FAB=120°－∠ACG.最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算，可得∠AFB=180°－∠ABF－∠FAB=180°－（∠ACG－60°）－（120°－∠ACG）=120°.

解題評(píng)析上述復(fù)合圖形中隱含了“豬蹄模型”，合理利用模型的結(jié)論可以簡(jiǎn)化推導(dǎo)角度關(guān)系.教學(xué)的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是引導(dǎo)學(xué)生掌握模型特征；二是理解模型結(jié)論及證明思路；三是能夠準(zhǔn)確提取復(fù)合圖形中的模型，靈活運(yùn)用.

模型二鉛筆模型

“鉛筆模型”，顧名思義外形類似于鉛筆頭，如圖3所示，一組平行線AB∥CD，中間有一點(diǎn)E，與“豬蹄模型”的不同點(diǎn)為點(diǎn)E是凸出來(lái)，位于平行線的外側(cè).在該模型中同樣存在一組角度關(guān)系，即∠E+∠B+∠D=360°.

該角度關(guān)系的證明思路有兩種：一是過(guò)點(diǎn)E作與AB或CD的平行線，等角代換組合求解；二是連接BD，構(gòu)建三角形，利用三角形的內(nèi)角和定理證明.

例2如圖4所示，l1∥l2，∠1=105°，∠2=140°，則∠3的度數(shù)為.

模型分析教學(xué)中同樣引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形，該圖形的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可以直接確定為“鉛筆模型”，可直接利用模型結(jié)論，即∠1+∠2+∠4=360°.

教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)先讓學(xué)生思考常規(guī)解法，顯然需要作過(guò)凸點(diǎn)作于l1和l2相平行的直線，利用平行線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行角度推導(dǎo).建議讓學(xué)生思考模型結(jié)論法與常規(guī)平行法的優(yōu)劣.

解題構(gòu)建分析可知，圖形復(fù)合“鉛筆模型”的結(jié)構(gòu)，則可推得∠1+∠2+∠4=360°，再由平角定理可得∠4=180°－∠3，等角代換可得∠1+∠2－∠3=180°，從而可求得∠3=∠1+∠2－180°=65°.

解題評(píng)析上述圖形背景為特殊的“鉛筆模型”，直接利用模型結(jié)論顯然更為簡(jiǎn)潔.教學(xué)該模型時(shí)建議與“豬蹄模型”對(duì)比分析，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩模型的關(guān)聯(lián)，顯然將兩平行線分別延長(zhǎng)，則圖形中的一側(cè)與凹點(diǎn)構(gòu)成“豬蹄模型”，另一側(cè)與凸點(diǎn)構(gòu)成“鉛筆模型”.

模型三鋸齒模型

平行線的另一重要模型為“鋸齒模型”，其結(jié)構(gòu)為在兩平行線之間含有多個(gè)凸出拐點(diǎn)，其結(jié)構(gòu)形式不唯一.以圖5為例，5（a）中，含有三個(gè)凸出拐點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)結(jié)論為∠B+∠M+∠E=∠C+∠N；而5（b）中，則含有多個(gè)凸出拐點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)結(jié)論為：所有朝左角之和等于所有朝右角的和.

例3如圖6所示，已知AB∥EF，∠C=60°，則∠α，∠β，∠γ的關(guān)系為.

模型分析上述圖形中設(shè)定AB∥EF，并存在多個(gè)拐角，合理延長(zhǎng)BA和FE，分析可知符合“鋸齒模型”的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)模型結(jié)論提取角度關(guān)系，結(jié)合已知條件推導(dǎo)求解.

解題構(gòu)建延長(zhǎng)線段BA和FE，如圖6虛線所示.已知AB∥EF，則根據(jù)“鋸齒模型”的結(jié)論可得∠1+∠γ=∠2+∠C.又知∠1+∠α=180°，∠2+∠β=180°，可推得180°－∠α+∠γ=180°－∠β+60°，即∠β+∠γ－∠α=60°.

解題評(píng)析上述直接利用“鋸齒模型”的結(jié)論推導(dǎo)出角度關(guān)系，結(jié)合已知很容易完成證明.教學(xué)“鋸齒模型”的關(guān)鍵為引導(dǎo)學(xué)生理解其結(jié)論“所有朝左角之和等于所有朝右角的和”，即針對(duì)其中的凸角，根據(jù)其朝向進(jìn)行歸類，再根據(jù)“左右方向”來(lái)構(gòu)建角度關(guān)系.

總之，與平行線相關(guān)的模型主要有上述三類：豬蹄模型、鉛筆模型和鋸齒模型，歸納模型特征，總結(jié)模型結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用可以顯著提升解題效率.需要注意的是，模型應(yīng)用是分析與平行線相關(guān)問(wèn)題的輔助工具，教學(xué)中建議按照“傳統(tǒng)解法→模型結(jié)論法→方法對(duì)比分析”的流程來(lái)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，防止學(xué)生過(guò)分依賴模型方法，造成對(duì)傳統(tǒng)解法思路的生疏，不便于后續(xù)深入學(xué)習(xí).