概念教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)常見誤區(qū)及建議

【摘" 要】 概念課是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要途徑。在概念教學(xué)中，一些教師可能會(huì)忽略概念的生成過程，或者讓這一過程流于表面，將概念課異化為習(xí)題課；還有的教師則追求更大的教學(xué)容量，把概念課當(dāng)作高考復(fù)習(xí)課來上。這些都是概念教學(xué)中常見的誤區(qū)。為了上好一堂概念課，并將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)真正落到實(shí)處，文章結(jié)合具體的教學(xué)案例進(jìn)行詳細(xì)闡述，提出以下幾點(diǎn)建議：首先，創(chuàng)設(shè)情境，為概念的生成提供豐富的感性材料；其次，精心設(shè)問，為概念的生成提供有效的思維指引；再者，豐富課堂活動(dòng)，為概念的深入理解與生成提供堅(jiān)實(shí)的保障；最后，遵循課堂教學(xué)規(guī)律，為概念的符號(hào)化表達(dá)留出充足的時(shí)間。

【關(guān)鍵詞】 概念教學(xué)；抽象素養(yǎng)；數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)體適應(yīng)終身發(fā)展與社會(huì)進(jìn)步需求所必備的，具有鮮明數(shù)學(xué)特色的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的明確界定，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)涵蓋數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)據(jù)分析六大方面。其中，數(shù)學(xué)抽象位列六大素養(yǎng)之首，它不僅是數(shù)學(xué)的核心思想，更是構(gòu)筑理性思維不可或缺的基石。數(shù)學(xué)抽象深刻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特性，并始終貫穿數(shù)學(xué)的起源、演進(jìn)及應(yīng)用的全鏈條之中。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的堅(jiān)固基石，對學(xué)生掌握數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有舉足輕重的意義。

一、概念教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的常見誤區(qū)

（一）忽視概念的生成過程

對抽象的數(shù)學(xué)概念而言，唯有讓學(xué)生親身參與其生成過程，他們才能深刻理解其本質(zhì)并正確應(yīng)用。否則，這些概念在學(xué)生眼里，不過是一串串晦澀難懂的符號(hào)語言。因此，概念課的教學(xué)不應(yīng)僅是對概念的傳授，而應(yīng)是對概念生成過程的引導(dǎo)與探索。

以“對數(shù)的概念”教學(xué)為例，某些教師選擇讓學(xué)生通過閱讀課本、全班朗讀概念的方式接觸新知識(shí)，隨后便直接講解概念、介紹對數(shù)式與指數(shù)式的互換關(guān)系及重要結(jié)論，最后進(jìn)入例題練習(xí)。這種教學(xué)方式忽略了概念的生成過程，學(xué)生無法了解對數(shù)產(chǎn)生的歷史背景，無法深刻體會(huì)學(xué)習(xí)對數(shù)的意義，更未經(jīng)歷提煉、歸納、概括的思維過程。結(jié)果，學(xué)生對對數(shù)概念的認(rèn)知僅停留在新的符號(hào)表示及應(yīng)用層面，課堂效果大打折扣，學(xué)生的抽象思維自然無法得到有效培養(yǎng)。

（二）概念生成流于形式

在高考?jí)毫ο?，部分教師以“趕教學(xué)進(jìn)度”“提高學(xué)生解題能力”為由，在概念教學(xué)課中設(shè)置了概念的引入環(huán)節(jié)，但流于形式，草草了事。他們試圖通過例題講解來“強(qiáng)化、鞏固概念”，卻忽視了概念生成過程對學(xué)生抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的重要性。這就好比建造大樓時(shí)忽略了地基的打造，即便樓架再堅(jiān)固、墻體再牢固，也終將因缺乏穩(wěn)固的基礎(chǔ)而倒塌。

以“直線的傾斜角和斜率”一節(jié)為例，有的教師雖然創(chuàng)設(shè)了情境，通過圖片展示傾斜的路面、堤壩等引導(dǎo)學(xué)生思考傾斜程度的描述方式，并在學(xué)生聯(lián)想到角度后，進(jìn)一步通過圖片展示傾斜的直線，最終幫助學(xué)生歸納得出直線的傾斜角概念。然而，在接下來的教學(xué)中，教師卻急于展示斜率坐標(biāo)公式的推導(dǎo)過程，并進(jìn)入例題環(huán)節(jié)。整個(gè)教學(xué)過程雖然看似環(huán)節(jié)銜接自然，但從本質(zhì)的提煉，概念的表述到例題的講解，幾乎全部由教師主導(dǎo)完成，學(xué)生并未真正參與其中。為何選擇用x軸正向和直線向上方向所成角來表示傾斜程度，斜率為何要用傾斜角的正切值表示，這些問題未經(jīng)學(xué)生自主探究和提煉歸納，導(dǎo)致其理解不夠深刻透徹，容易出現(xiàn)概念模糊、思想僵化的現(xiàn)象。當(dāng)他們在解決實(shí)際問題時(shí)，可能難以透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)也就無從談起。

（三）追求容量而忽視思維深度

為了提升課堂教學(xué)的“效率”與“容量”，某些教師在概念課上不僅詳細(xì)闡述新概念的定義、外延及內(nèi)涵，還急于介紹其在高考中的考查方向、題型種類，并通過例題進(jìn)行詳盡講解，意圖一舉多得。然而，這種做法實(shí)則如同揠苗助長，雖看似高效，實(shí)則得不償失。

以“函數(shù)的單調(diào)性與最值”一節(jié)為例，部分教師在幫助學(xué)生初步提煉出單調(diào)性的本質(zhì)后，便急于下定義，迅速進(jìn)行概念辨析，隨后便大篇幅地介紹單調(diào)性的經(jīng)典例題及其解題思路與方法。這樣的一節(jié)概念課，儼然變成了一堂高考復(fù)習(xí)課。教師急于讓學(xué)生接軌高考，看似高瞻遠(yuǎn)矚，實(shí)則過猶不及。學(xué)生初次接觸新概念，對其尚處于模糊而朦朧的感知階段。在這樣的課堂上，雖然教學(xué)內(nèi)容豐富、容量龐大，但學(xué)生卻缺乏足夠的時(shí)間去深入理解與熟悉概念。課堂教學(xué)中思維跨度雖大，但真正能讓學(xué)生參與其中、進(jìn)行深入抽象思維活動(dòng)的機(jī)會(huì)卻寥寥無幾。最終，學(xué)生既未能深刻理解概念的本質(zhì)，也未能熟練掌握題型與方法。學(xué)生不僅無法體會(huì)到收獲新知的喜悅感，反而因數(shù)學(xué)符號(hào)語言的晦澀難懂而倍感困惑，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)未能得到有效培養(yǎng)，反而因數(shù)學(xué)的抽象性而產(chǎn)生畏難情緒。

二、概念教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的建議

（一）精心創(chuàng)設(shè)情境，為概念生成鋪設(shè)興趣基石

抽象植根于具體，理性發(fā)源于感性。一個(gè)優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)情境，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的堅(jiān)實(shí)起點(diǎn)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)精心構(gòu)思問題情境，以激發(fā)學(xué)生對新概念學(xué)習(xí)的濃厚興趣，并在心理上為他們接納新知識(shí)做好充分準(zhǔn)備。然而，情境創(chuàng)設(shè)的意義遠(yuǎn)不止于激發(fā)興趣，更在于它能引導(dǎo)學(xué)生對新概念進(jìn)行更深入、更有效的思考。這樣，學(xué)生才能在情境中歷練對現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與概括的能力，從而提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

例如，在講授“等差數(shù)列”時(shí)，教師可以列舉生活中大量數(shù)列的實(shí)例，如鞋碼序列、人民幣面額序列、房價(jià)上漲趨勢、城市人口出生數(shù)量、菜市場蔬菜價(jià)格、火箭發(fā)射倒計(jì)時(shí)、大廈樓層分布等。通過這些豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、分析、對比，從中提煉出具有共同特征的數(shù)列，并鼓勵(lì)他們嘗試用科學(xué)、簡潔的數(shù)學(xué)語言來表述這些特征，為后續(xù)定義等差數(shù)列奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

再如，在“參數(shù)方程”的教學(xué)中，可以創(chuàng)設(shè)以下兩個(gè)情境：一是摩天輪旋轉(zhuǎn)過程中如何確定游客的具體位置；二是救災(zāi)人員如何確定最佳拋射時(shí)機(jī)，以確保物資準(zhǔn)確落入指定區(qū)域。這兩個(gè)情境雖然不同，但都能導(dǎo)出具有共同特征的方程，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一特征，抽象出參數(shù)方程的定義。

（二）精妙設(shè)計(jì)問題，為概念生成指引明確方向

在課堂教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)奶釂柲軌蛑處熡行бI(lǐng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，使概念的生成更加順暢自然，課堂更加高效且富有深度。相反，糟糕的提問則會(huì)讓學(xué)生感到困惑不解、無所適從，導(dǎo)致課堂效率低下，難以達(dá)成既定目標(biāo)。一系列精心構(gòu)思的問題鏈能夠激發(fā)學(xué)生的思維活力，促使他們積極參與思考，不斷進(jìn)行思維碰撞，挑戰(zhàn)、質(zhì)疑并更新現(xiàn)有認(rèn)知。在這個(gè)過程中，概念的本質(zhì)清晰地展現(xiàn)在學(xué)生面前。這正是抽象素養(yǎng)和創(chuàng)新思維得以孕育與發(fā)展的關(guān)鍵過程。優(yōu)秀的問題鏈應(yīng)基于數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，具備簡潔、清晰、明了的特點(diǎn)，并具有明確的指向性。它們應(yīng)該是具體、明確、深入淺出的，同時(shí)層層遞進(jìn)、既有深度又兼廣度。

在上述“傾斜角和斜率”的教學(xué)中，教師可以通過圖片或?qū)嵨镎故静煌瑑A斜狀態(tài)的直線形物體，并設(shè)計(jì)以下問題鏈引導(dǎo)學(xué)生深入探究：

問題1：如何準(zhǔn)確確定一條直線的位置？直線的傾斜程度又該如何刻畫？

問題2：在平面直角坐標(biāo)系中，我們?nèi)绾卫媒嵌葋砜坍嬛本€的傾斜程度？

問題3：你能否用精確的數(shù)學(xué)語言為直線的傾斜角下一個(gè)定義？

問題4：直線傾斜角的取值范圍具體是多少？

問題5：除了傾斜角之外，還有沒有其他量可以刻畫直線的傾斜程度？

問題6：你會(huì)選擇用傾斜角的哪一種三角函數(shù)值來描述傾斜程度？為什么？

問題7：我們?nèi)绾卫弥本€上兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線的斜率？

設(shè)計(jì)問題1旨在引入課題，引發(fā)學(xué)生對確定直線所需要素的思考，為“傾斜角”概念的生成埋下伏筆；問題2旨在提煉“傾斜角”概念的構(gòu)成要素，為概念的生成做好鋪墊；問題3旨在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言對新概念進(jìn)行定義，從而培養(yǎng)抽象素養(yǎng)；問題4旨在對概念進(jìn)行辨析，為概念的鞏固提供有力依據(jù)；問題5旨在拓寬學(xué)生的思維視野，同時(shí)引入另一個(gè)重要概念“斜率”；問題6旨在闡明“斜率”概念產(chǎn)生的緣由及其實(shí)際意義，為探究斜率的坐標(biāo)公式奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)；問題7則旨在引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究斜率坐標(biāo)公式，進(jìn)一步鞏固對“斜率”概念的理解，并培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)以及邏輯推理能力。

（三）豐富課堂活動(dòng)，為概念生成提供有力保障

新高考背景下，高效課堂以素養(yǎng)為本的教學(xué)理念日益凸顯。豐富的課堂活動(dòng)不僅能夠牢牢吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)他們探索新知的熱情，還能為學(xué)生的思維注入活力，營造出融洽和諧的課堂氛圍，進(jìn)而推動(dòng)學(xué)生思維向更深層次發(fā)展。這樣的課堂氛圍為概念的生成創(chuàng)造了有利條件，也為高效課堂的順利開展提供了有力保障。

以“簡單隨機(jī)抽樣”一節(jié)的教學(xué)為例，教師可以巧妙地將生活情境融入課堂，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)：“網(wǎng)紅零食辣條曾風(fēng)靡一時(shí)，如今在學(xué)校小賣部仍屢見不鮮。然而，有新聞報(bào)道指出，部分辣條存在添加劑超標(biāo)等食品安全問題。假設(shè)你是一名食品安全檢測員，需要對學(xué)校小賣部一批（共40包）某品牌的辣條進(jìn)行檢測，你將如何制定檢測方案？”請學(xué)生以6～8人為一組，分組討論并制訂出具體可行的操作方案，隨后派代表上臺(tái)展示操作步驟，并進(jìn)行詳細(xì)解說。在此探究活動(dòng)中，選用學(xué)生喜愛的辣條作為實(shí)物道具，極大地激發(fā)了他們的探究興趣，增強(qiáng)了課堂學(xué)習(xí)的體驗(yàn)感和收獲感。通過小組合作探究和動(dòng)手操作，學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性得到了充分發(fā)揮。

（四）遵循教學(xué)規(guī)律，為概念的符號(hào)化提供充足時(shí)間

數(shù)學(xué)的符號(hào)化是數(shù)學(xué)高度抽象的體現(xiàn)之一，很多數(shù)學(xué)概念的定義需要借助抽象的符號(hào)語言描述。學(xué)生首先會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)問題，才會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)思考問題，最后才能逐漸達(dá)成用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行推理和解決問題的水平。概念教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生形成符號(hào)意識(shí)，鍛煉其用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)、思考、推理和解決問題的能力尤為重要。意識(shí)的形成、思維的培養(yǎng)、能力的提升，需要充分的時(shí)間才能落實(shí)。在概念教學(xué)中，遵循教學(xué)規(guī)律，把時(shí)間還給學(xué)生，為其提供充分的機(jī)會(huì)表達(dá)所思所想，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)其用準(zhǔn)確的符號(hào)語言表述概念，并正確運(yùn)用其解決問題，才能逐漸形成符號(hào)意識(shí)，提升抽象素養(yǎng)。

在上述“函數(shù)的單調(diào)性”一節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的符號(hào)語言對單調(diào)性下定義，是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。為突破此難點(diǎn)，不妨從具體函數(shù)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷具體到抽象、特殊到一般的抽象過程，循序漸進(jìn)，最終歸納出準(zhǔn)確的符號(hào)語言。首先，從形出發(fā)，可以讓學(xué)生觀察幾個(gè)具體熟悉的函數(shù)圖象，不難得出“函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間圖象上升（下降）”的結(jié)論，此即函數(shù)單調(diào)性的直觀描述。其次，讓其觀察幾個(gè)以現(xiàn)有知識(shí)無法作圖的函數(shù)，學(xué)生遇到困難，方知將直觀的性質(zhì)進(jìn)行量化描述至關(guān)重要，從數(shù)值上觀察幾個(gè)具體的x與f（x）之間關(guān)系，學(xué)生不難得出“隨著自變量x的增大，函數(shù)值f（x）也增大（反而減?。钡慕Y(jié)論，此即單調(diào)性的自然語言描述。然后，引導(dǎo)學(xué)生用不等關(guān)系描述變量的變化過程，如用“x1lt;x2”表示“變量x由x1增大到x2”，函數(shù)值f（x）亦然，于是得到“x1lt;x2時(shí)，有f（x1）lt; f（x2）（f（x1）gt;f（x2））”的結(jié)論，此即單調(diào)性的符號(hào)語言。最后，提供正反例辨析：“取x1=a，x2∈（a，b］時(shí)都有f（x1）lt; f（x2），f（x）在［a，b］上一定遞增嗎（反例）？任取x1、x2∈（a，b），都有f（x1）lt;f（x2），f（x）在（a，b）上遞增嗎（正例）？”通過辨析，幫助學(xué)生理解“任意”一詞不可或缺，最終用準(zhǔn)確的符號(hào)語言下定義：函數(shù)f（x）在區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1、x2，當(dāng)x1lt;x2時(shí)，均有f（x1）lt;f（x2）（f（x1）gt;f（x2）），則函數(shù)f（x）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（遞減）。

三、結(jié)語

一堂好的概念課，應(yīng)能讓學(xué)生真正走進(jìn)創(chuàng)設(shè)的問題情境中，主動(dòng)參與豐富的課堂活動(dòng)，在教師精心設(shè)置的問題中有充分的時(shí)間自主探究、合作交流，在思想的碰撞中觀察、分析、歸納、提煉出概念的本質(zhì)。課堂氣氛不一定是激情熱烈的，但一定是深沉、有思想的；教師不是在教授知識(shí)，而是在引領(lǐng)學(xué)生探索知識(shí)；學(xué)生不是在聆聽他人，而是在表達(dá)自己。由此，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得以提升，為核心素養(yǎng)的全面發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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