均布荷載下矩形鋼管混凝土上翼緣工字形梁側(cè)扭屈曲研究

摘要 ：為研究均布荷載作用下跨中設(shè)置扭轉(zhuǎn)支撐的矩形鋼管混凝土上翼緣工字形梁的穩(wěn)定性能，通過能量變分法，開展彈性側(cè)扭屈曲分析，求解出該類梁彈性側(cè)扭屈曲臨界彎矩。采用MATLAB軟件編寫不同截面尺寸、跨度、支撐剛度下梁的臨界彎矩計(jì)算程序，獲得大量臨界彎矩，并使用1stOpt軟件對(duì)其進(jìn)行擬合，獲得有支撐和無支撐條件下梁的臨界彎矩計(jì)算公式、支撐剛度達(dá)到門檻剛度時(shí)梁的臨界彎矩計(jì)算公式和門檻剛度計(jì)算公式。最后使用ANSYS軟件驗(yàn)證公式的精度，將分析結(jié)果與公式進(jìn)行對(duì)比。研究表明：在支撐剛度達(dá)到門檻剛度前，隨著支撐剛度增加，臨界彎矩隨之增大。經(jīng)有限元驗(yàn)證，回歸出的公式較為可靠，與有限元的誤差在5%以內(nèi)，可為工程設(shè)計(jì)提供參考。

關(guān)鍵詞 ：矩形管翼緣梁;扭轉(zhuǎn)支撐;側(cè)扭屈曲;能量變分法;有限元法

中圖分類號(hào)：TU398+.9"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A"" 文章編號(hào)：1004-0366（2025）01-0040-07

隨著經(jīng)濟(jì)和技術(shù)的發(fā)展，大跨度、超高層建筑結(jié)構(gòu)日益增多，這對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性提出了更高的要求，其中，鋼管混凝土結(jié)構(gòu)憑借良好的抗震性能、高承載力、便于施工等優(yōu)點(diǎn)逐漸在工程中得到應(yīng)用^［1］。

2005年，由KIM等^［2］提出一種新型的鋼管混凝土翼緣工字形梁（用鋼管混凝土替代工字形鋼梁的翼緣鋼板形成的工字形組合梁）。隨后，國內(nèi)外專家學(xué)者^［3-6］又對(duì)這類工字形組合梁的彎曲和穩(wěn)定性能進(jìn)行深入研究，發(fā)現(xiàn)相比平板翼緣工字形梁，填充混凝土的工字形組合梁的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性顯著提高。而在實(shí)際工程中，工字形組合梁之間常用鋼梁連接，這些鋼梁可看作支撐，能夠提高整個(gè)結(jié)構(gòu)的承載能力^［7］。目前，對(duì)于支撐和梁的共同作用問題逐漸引起人們的重視，如BELAID等^［8］對(duì)不同荷載作用位置的側(cè)向支撐簡(jiǎn)支鋼梁穩(wěn)定性進(jìn)行研究，提出具有支撐的鋼梁側(cè)扭屈曲臨界彎矩計(jì)算公式;BEYER等^［9］、MOHAMMADI等^［10］考慮了離散側(cè)向支撐對(duì)簡(jiǎn)支工字形鋼梁側(cè)扭屈曲的影響;LIU等^［11-12］對(duì)集中荷載下兩種支撐類型的雙管翼緣工字形組合梁穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，回歸出側(cè)扭屈曲臨界彎矩簡(jiǎn)化計(jì)算公式;張文福等^［13-14］對(duì)帶側(cè)向支撐的集中和均布荷載下懸臂梁以及均布荷載下簡(jiǎn)支梁的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，給出了側(cè)扭屈曲臨界彎矩的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。以上研究都表明，考慮支撐對(duì)梁的作用可以充分發(fā)揮材料的性能，提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，達(dá)到經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)的目的。

基于此，本文考慮工字形組合梁和支撐的共同作用，采用理論和數(shù)值模擬方法，對(duì)均布荷載下帶扭轉(zhuǎn)支撐的矩形鋼管混凝土上翼緣工字形梁的彈性側(cè)扭屈曲進(jìn)行研究，回歸出有支撐和無支撐條件下梁的臨界彎矩計(jì)算公式、支撐剛度達(dá)到門檻剛度時(shí)梁的臨界彎矩計(jì)算公式和門檻剛度計(jì)算公式。

1 能量變分法

1.1 基本資料

均布荷載下跨中設(shè)置扭轉(zhuǎn)支撐的矩形鋼管混凝土上翼緣工字形梁（簡(jiǎn)稱“矩形管翼緣梁”）如圖1所示，圖1中 L 為梁的跨長(zhǎng)（m），均布荷載 qy 作用于上翼緣（kN/m），上下翼緣形心距為 h ，扭轉(zhuǎn)支撐布置在跨中剪心處， R 為支撐剛度（kN/rad）。

矩形管翼緣梁截面幾何尺寸如圖2（a）所示，圖2（a）中 bf1、tf1、t 分別為上翼緣鋼管寬度、高度、厚度（mm）; hw、tw 分別為腹板高度和厚度（mm）； bf2、tf2 分別為下翼緣寬度和厚度（mm）； H 為截面高度（mm）； O、S 分別為截面形心和剪心（mm）； hs1、hs2 分別為上下翼緣形心到 S 的距離（mm）； e0為上翼緣形心到O 的距離（mm）。

均布荷載下矩形管翼緣梁的側(cè)扭變形如圖2（b）所示，圖2（b）中 a為S 到荷載作用位置的距離（mm）; u 為剪心的位移（mm）； θ 為截面繞剪心的轉(zhuǎn)角（°）。

1.2 基本假設(shè)

矩形管翼緣梁的側(cè)扭屈曲采用如下假設(shè)^［15］：

（1） 剛周邊假設(shè)，梁側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)時(shí)，其截面形狀不變;

（2） 平面外變形的應(yīng)變能，上翼緣通過Saint-Venant扭轉(zhuǎn)力學(xué)模型確定，腹板和下翼緣通過Kirchhoff板力學(xué)模型確定;

（3） 平面內(nèi)變形的應(yīng)變能都通過Euler梁力學(xué)模型確定;

（4） 鋼管與混凝土之間不發(fā)生相對(duì)滑移。

1.3 總勢(shì)能方程

均布荷載下無支撐矩形管翼緣梁的總勢(shì)能^［14-15］可表達(dá)為

∏u=12∫L0［（EIy） comp u^″2+（EIω） comp θ^″2+

（（GJk） comp +2Mxβx）θ^′2+2Mxu″θ-

qyaθ2］ d z，（1）

其中：（EIy） comp 為梁繞y軸抗彎剛度（ kN·m2 ）;（EIω） comp 為翹曲扭轉(zhuǎn)剛度（ kN·m/rad ）;（GJk） comp 為自由扭轉(zhuǎn)剛度（ kN·m/rad ）;Mx為彎矩（ kN·m ）;βx為截面不對(duì)稱系數(shù)。

由于截面為開閉口組合，截面比較復(fù)雜，傳統(tǒng)理論不能準(zhǔn)確解決這一問題。因此，根據(jù)文獻(xiàn)［15］及張文福教授提出的“板-梁理論”^［16］，該截面的（ EIy ）comp、（ EISymbolwA@ ）comp、（ GJk ）comp、梁繞 x 軸抗彎剛度（ EIx ）comp和 βx 的公式分別表示為

（EIy） comp =Estf1b3f112-tfcb3fc12+Ectfcb3fc12+Es1-μ2shwt3w12+Es1-μ2stf2b3f212，（2）

（EIω） comp =Estf1b3f112-tfcb3fc12+Ectfcb3fc12h2s1+

Es1-μ2shwt3w12hw+tf12-hs12+

Es1-μ2sh3wt3w144+Es1-μ2st3f2b3f2144+Es1-μ2sh2s2tf2b3f212，（3）

（GJk） comp =Gst4f1ψ+Gshwt3w3+Gsbf2t3f23，（4）

ψ=0.820 62s2r2（r+s）-0.364 91r2+

3s7+3r4s3+32r2s59mr7+9mrs6+126mr5s2+126mr3s4， （5）

（EIx） comp =

Esbf1t3f112-bfct3fc12+Af1se20+Es1-μ2s

twh3w12+Awhw+tf12-e02+Ecbfct3fc12+Af1ce20+Es1-μ2sbf2t3f212+Af2（h-e0）2，（6）

βx=12（EIx） comp Es1-μ2sAwΩ1（3h2w+t2w+12Ω21）12-

EsAf1Ω2（3t2f1+b2f1+12Ω22）12-

EsAf1cΩ2（3t2fc+b2fc+12Ω22）12+

EcAf1cΩ2（3t2fc+b2fc+12Ω22）12+

Es1-μ2sAf2Ω3（3t2f2+b2f2+12Ω23）12-y0，（7）

其中：bfc、tfc分別為上翼緣鋼管內(nèi)混凝土寬度和高度（ mm ），bfc=bf1-2t，tfc=tf1-2t;r、s分別為上翼緣高度和寬度與鋼管厚度的比值，r=tf1/t，s=bf1/t;Gs、Gc分別為鋼材和混凝土的剪切模量（ MPa ）;m為鋼材與混凝土剪切模量之比，m=Gs/Gc;Af1、Af1s、Af1c、Aw、Af2分別為上翼緣面積、上翼緣鋼管面積、上翼緣內(nèi)混凝土面積、腹板面積、下翼緣面積（ mm2 ），Af1=bf1tf1，Af1s=bf1tf1-bfctfc，Af1c=bfctfc，Aw=hwtw，Af2=bf2tf2;Ω1為腹板和上翼緣高度之和的一半減去上翼緣形心到O的距離（ mm ），Ω1=hw+tf12-e0;Ω2=e0;Ω3為上下翼緣形心距減去上翼緣形心到O的距離（ mm ），Ω3=h-e0;Es和Ec分別為鋼材和混凝土的彈性模量（ MPa ）;μs為鋼材泊松比。

扭轉(zhuǎn)支撐的總勢(shì)能^［14］表示為

UR=12RθL22。 （8）

1.4 模態(tài)試函數(shù)

截面位移u（z）和轉(zhuǎn)角θ（z）分別表示為

u（z）=∑6i=1Aih sin "i π zL，

θ（z）=∑6i=1Bi sin "i π zL， （9）

其中：Ai、Bi為待定系數(shù)。

幾何邊界條件：

u（0）=u（L）=0， u″（0）=u″（L）=0，

θ（0）=θ（L）=0， θ″（0）=θ″（L）=0。（10）

1.5 彎矩表達(dá)式

均布荷載下彎矩Mx表示為

Mx（z）=qyLz2-qyz22， 0≤z≤L （11）

將式（9）～（11）代入式（1），無支撐時(shí)總勢(shì)能可表示為

∏u=12（∏1+∏2+∏3+∏4+∏5），（12）

其中：

∏1=∫L0（EIy） comp u^″2 d z= π 4h2（EIy） comp 2L3∑6i=1i4A2i;

∏2=∫L0（EIω） comp θ^″2 d z= π 4（EIω） comp 2L3∑6i=1i4B2i;

∏3=∫L0（GJk） comp θ^′2 d z= π 2（GJk） comp 2L∑6i=1i2B2i;

∏4=∫L02Mxβxθ^′2 d z+∫L02Mxu″θ d z;

∏5=-∫L0qyaθ2 d z=-12qyaL∑6i=1B2i。

將式（9）代入式（8），則支撐勢(shì)能可表示為

UR=12R（B1-B3+B5）2。 （13）

因此，矩形管翼緣梁的總勢(shì)能表達(dá)式為

∏=∏u+UR。 （14）

1.6 無量綱屈曲方程

根據(jù)最小勢(shì)能駐值原理^［16］，有

∏Ai=0， i=1，2，3，4，5，6

∏Bi=0， i=1，2，3，4，5，6 （15）

引入無量綱參數(shù)可得

cr=Mcr π 2（EIy） comp L2h， x=βxh， =ah，

qy=8McrL2，

K= π 2（EIω） comp （GJk） comp L2，

S=（EIy） comp h2（EIω） comp ， = π RL3（EIy） comp h2，（16）

其中：Mcr為矩形管翼緣梁彈性側(cè)扭屈曲臨界彎矩（ kN·m ）;cr、x、分別為無量綱的Mcr、βx、a;K為扭轉(zhuǎn)剛度參數(shù);S為引入表示EIy與EISymbolwA@關(guān)系的參數(shù);為無量綱的R。

將式（15）乘以L3（EIy） comp h2，再將式（16）代入式（15）可得無量綱屈曲方程，并用分塊矩陣形式表示為

0R0S0T0QAB=cr1R1S1T1QAB。（17）

由式（17）可求得無量綱臨界彎矩cr。

通過上述推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，改變梁截面尺寸、跨度、支撐剛度就能得到不同的、S、x、、K，從而獲得大量的cr，用于回歸無量綱臨界彎矩公式。

2 無量綱臨界彎矩公式

選出515個(gè)不同截面尺寸和跨度的梁。利用MATLAB軟件編寫 cr的計(jì)算程序。cr隨的變化曲線如圖3所示。圖3中門檻剛度T對(duì)應(yīng)最大的cr值，即crT。將 的跨度取200得到90 000多組數(shù)據(jù)。

采用1stOpt軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，得到矩形管翼緣梁無量綱臨界彎矩計(jì)算公式為

cr=c1cr0+c2（crT-cr0）T^0.71×

1+c3T+c4T2+c5， 0lt;lt;T（18）

無支撐無量綱臨界彎矩cr0的計(jì)算公式為

cr0=β1β2+β3x+（β2+β3x）2+S^-1（1+K^-2），（19）

無量綱臨界彎矩crT的計(jì)算公式為

crT=2β1Tβ2T+β3Tx+（β2T+β3Tx）2+S^-11+14K^-2，（20）

T的計(jì)算公式為

T=2 π （8+α1）4+α2α3， （21）

其中：

α1=γ1K^-4+γ2K^-1S^-1+x（γ3S+γ4K^-2），

α2=m1K^-4+m2K^-1S^-1+x（m3S+m4K^-2），

α3=n1K^-4+n2K^-1S^-1+n3xS。

公式（18）～（21）中參數(shù)值見表1～4，公式回歸的相關(guān)系數(shù)見表5。

3 有限元驗(yàn)證

3.1 有限元模型的建立

利用ANSYS軟件和文獻(xiàn)［17］中分析方法，選用SHELL181單元建立上翼緣鋼管、腹板和下翼緣，SOLID65單元建立混凝土。上翼緣鋼管和混凝土之間通過CONTA173單元和TARGE170單元建立接觸對(duì)實(shí)現(xiàn)接觸，用彈簧單元COMBIN14模擬扭轉(zhuǎn)支撐，并設(shè)置在跨中截面剪心處，用實(shí)常數(shù)定義扭轉(zhuǎn)剛度^［18］。同時(shí)，為防止局部屈曲，在梁跨中和兩端各設(shè)置一道加勁肋。

用CERIG命令沿梁長(zhǎng)建立繞 z軸的約束，形成剛性區(qū)域。在兩端支座，在截面上各節(jié)點(diǎn)設(shè)置x、y向的位移約束和繞z向的轉(zhuǎn)動(dòng)約束;對(duì)于一端支座，在截面形心點(diǎn)設(shè)置z 向位移約束。建立的有限元模型如圖4所示，剛性區(qū)域沿梁長(zhǎng)分布如圖5所示。

3.2 結(jié)果驗(yàn)證

選取4種矩形管翼緣梁（RTFB，rectangular tubular flange beam），其幾何尺寸見表6。鋼材為Q355，混凝土為C40。將公式（18）的結(jié)果（ Mcr=cr ×π2 EIyh/L2 ）與ANSYS分析結(jié)果（FEM）進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。

從圖6可以看出，對(duì)于矩形管翼緣梁，有限元（FEM）分析結(jié)果與公式（18）計(jì)算結(jié)果接近，誤差均小于5%，說明公式的精度較高。

4 結(jié)論

（1） 采用理論推導(dǎo)的研究方法，對(duì)均布荷載下帶扭轉(zhuǎn)支撐矩形管翼緣梁進(jìn)行彈性側(cè)扭屈曲分析，并利用1stOpt軟件擬合出該類梁有支撐和無支撐條件下梁的臨界彎矩計(jì)算公式、支撐剛度達(dá)到門檻剛度時(shí)梁的臨界彎矩計(jì)算公式和門檻剛度計(jì)算公式。最后通過ANSYS有限元建模分析驗(yàn)證了公式的正確性，經(jīng)驗(yàn)證公式（18）的精度較高，可為工程設(shè)計(jì)提供參考。

（2） 扭轉(zhuǎn)支撐對(duì)梁的穩(wěn)定性做出了不可忽視的貢獻(xiàn)，有扭轉(zhuǎn)支撐的梁比無扭轉(zhuǎn)支撐的梁側(cè)扭屈曲臨界彎矩更高。但扭轉(zhuǎn)支撐的作用有限，側(cè)扭屈曲臨界彎矩隨著扭轉(zhuǎn)支撐剛度增大而增大，當(dāng)支撐剛度達(dá)到門檻剛度，其臨界彎矩趨于一個(gè)穩(wěn)定值。在實(shí)際工程中，應(yīng)綜合考慮扭轉(zhuǎn)支撐對(duì)梁穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)，以達(dá)到經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)的目的。

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Lateral-torsional buckling study of concrete-filled rectangular steel

tubular top flange I-shaped beams under uniform load

LIU Yingchun1，HU Zhifeng1，JI Jing1，ZHANG Wenfu2，JIANG Liangqin1

（1.Heilongjiang Key Lab of Disaster Prevention Mitigation and Protection Engineering，

Northeast Petroleum University，Daqing 163318，China;

2.School of Architecture Engineering，Nanjing Institute of Technology，Nanjing 211167，China）

Abstract

To investigate the stability performance of concrete-filled rectangular steel tubular top flange I-shaped beams with torsional bracing in the middle of the span under uniform load，the elastic lateral-torsional buckling analysis is carried out by using the energy variational method，and the critical moments of elastic lateral-torsional buckling are solved for this type of beams.The critical moment calculation program of beams with different section sizes，spans，and bracing stiffness is written by MATLAB software，and a large number of critical moments are obtained.The critical moment calculation formula of beams with bracing and without bracing，the critical moment calculation formula of beams when the bracing stiffness reaches the threshold stiffness，and the threshold stiffness calculation formula are obtained by fitting them with 1stOpt software.Finally，the accuracy of the formulas is verified by ANSYS software，and the analysis results are compared with the formula.The study shows that before the bracing stiffness reaches the threshold stiffness，the critical moment increases with the increase of bracing stiffness.After the finite element verification，the regressed formulas are more reliable，and the error with the finite element is within 5%，which can provide a reference for engineering design.

Key words

Rectangular tubular flange beam;Torsional bracing;Lateral-torsional buckling;Energy variational method;Finite element method

（本文責(zé)編：毛鴻艷）