探究演繹邏輯之旅

[摘" 要] 研究者通過“數(shù)字藏身何處”的教學(xué)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生逐步掌握單條件演繹推理、關(guān)聯(lián)推理以及復(fù)合推理等。

[關(guān)鍵詞] 推理意識(shí);跨學(xué)科學(xué)習(xí);九宮格活動(dòng)

推理意識(shí)是學(xué)生在生活中對(duì)邏輯推理過程的初步感悟。在小學(xué)低年級(jí)階段，學(xué)生已具備理解基本演繹推理流程的能力，并能夠運(yùn)用推理技巧進(jìn)行思考和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)?，F(xiàn)行教材在“數(shù)學(xué)廣角”單元中只提供了一節(jié)關(guān)于演繹推理的基礎(chǔ)課程，后續(xù)內(nèi)容的拓展并不充分。鑒于此，為了提升學(xué)生演繹推理意識(shí)，筆者以九宮格數(shù)字填充游戲?yàn)楹诵幕顒?dòng)設(shè)計(jì)了一節(jié)拓展課程——“數(shù)字藏身何處”，通過富有吸引力的游戲形式引導(dǎo)學(xué)生參與演繹推理的過程，以此促進(jìn)學(xué)生推理意識(shí)的發(fā)展。

一、教學(xué)過程

1. 規(guī)則認(rèn)識(shí)，共識(shí)構(gòu)建

師：孩子們，如圖1，想象一下，這個(gè)九宮格是一個(gè)夢(mèng)幻城堡，每個(gè)格子都代表一個(gè)舒適的新家?，F(xiàn)在，我們的三個(gè)小勇士——小明、小強(qiáng)和小紅已經(jīng)找到各自新家的位置。小明在上層的第二個(gè)格子，小強(qiáng)在中層的第一個(gè)格子，小紅呢？

生（齊聲答）：她在下層的第三個(gè)格子！

師：沒錯(cuò)，小紅就在那里找到自己的新家。現(xiàn)在，讓我們來幫助數(shù)字寶寶找到屬于它們的新家吧。（出示課題：數(shù)字藏身何處）你們看，如圖2，數(shù)字9和數(shù)字3正在尋找它們的新家位置。它們只能住在有星星標(biāo)記的地方，不能靠近那些有叉叉標(biāo)記的禁地哦。

生1：數(shù)字9一定會(huì)在中層的第二個(gè)格子里！

師：哦？你這么確定嗎？

生1：因?yàn)槟抢锸俏ㄒ挥行切堑母褡?，而且沒有叉叉！

老師：你的眼睛真尖！那數(shù)字3呢？

生2：數(shù)字3有很多選擇，除了叉叉標(biāo)記的地方，它可以住在上層的第三個(gè)格子、中層的第一個(gè)格子，或者下層的第一個(gè)格子里。

師：太棒了！你的思維真是既開闊又靈活。當(dāng)我們表達(dá)想法時(shí)，像生2這樣來連接思路，可以讓我們的表達(dá)更加清晰有力。現(xiàn)在，請(qǐng)仔細(xì)思考，如果只告訴你們數(shù)字4在它所在的那一行的最前面，你們覺得數(shù)字4可能在哪里呢？

生3：我覺得數(shù)字4可能在上層的第一個(gè)格子里！

師：有這種可能性哦！那你為什么不說“一定”呢？

生4：因?yàn)榫艑m格有三層，所以數(shù)字4可能出現(xiàn)在上層的第一個(gè)格子、中層的第一個(gè)格子或下層的第一個(gè)格子里（如圖3）。

學(xué)生小結(jié)：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常需要依據(jù)給定的條件來推斷未知數(shù)的位置。某些條件可以明確指出未知數(shù)的確切位置，而其他條件則只能限定未知數(shù)可能出現(xiàn)的區(qū)域。在后者的情況下，通過細(xì)致的分析和邏輯推理，我們能夠識(shí)別并列舉出所有可能的解決方案。這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和解決問題的能力至關(guān)重要。

師：非常好！你們的分析非常細(xì)致。有時(shí)候，一些信息雖然不能直接告訴我們確切的答案，但能幫助我們縮小搜索范圍。最后，如果我們有兩個(gè)數(shù)字5和9，它們可以選擇的位置各有兩個(gè)，你們能幫它們找到新家嗎？

生5：如果數(shù)字5選擇了上層的第二個(gè)格子，那么數(shù)字9就只能住在上層的第三個(gè)格子里。反之亦然！

師：非常棒！你的邏輯思維能力非常強(qiáng)。當(dāng)我們面對(duì)兩個(gè)選擇時(shí)，只要確定了其中一個(gè)的位置，另一個(gè)也就迎刃而解了。今天的探險(xiǎn)就到這里，希望你們?cè)谖磥淼穆贸讨幸材鼙３诌@種勇敢和智慧，不斷探索未知的世界。

學(xué)生小結(jié)：在數(shù)學(xué)邏輯中，若存在一組條件，規(guī)定兩個(gè)不同的元素必須分別位于兩個(gè)指定的位置之一，則一旦確定其中一個(gè)元素的具體位置，另一個(gè)元素的位置也將自動(dòng)確定。這種邏輯關(guān)系體現(xiàn)了排列組合原理中的互斥性原則，即在給定的約束下，元素間的位置分配是唯一的。因此，在處理此類問題時(shí)，優(yōu)先確定任一元素的位置，即可推導(dǎo)另一元素的位置，確保整個(gè)系統(tǒng)的一致性和完整性。

設(shè)計(jì)意圖：確立共識(shí)對(duì)于明確推理的前提條件至關(guān)重要。在此環(huán)節(jié)，教師旨在與學(xué)生建立共識(shí)：一是關(guān)于位置描述的共識(shí)，采用“上、中、下、1、2、3”等術(shù)語(yǔ)來指代橫向序列的位置，并統(tǒng)一采取先行后列的方式描述數(shù)字所在格子的具體位置，這是后續(xù)有效溝通的基礎(chǔ);二是關(guān)于表達(dá)思考過程的共識(shí)，激勵(lì)學(xué)生運(yùn)用“因?yàn)椤薄八浴薄翱赡堋薄耙欢ā钡仍~匯來闡述思考過程，這不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，也有助于提升他們思維的嚴(yán)密性和嚴(yán)謹(jǐn)性;三是關(guān)于基本邏輯的共識(shí)，符號(hào)“★”用于指示數(shù)字可能所在的確切位置，而“×”則用于排除數(shù)字在特定格子中的存在可能性。根據(jù)所提供的信息，有時(shí)可以直接得出結(jié)論，有時(shí)則可能得到多種潛在的答案;當(dāng)兩個(gè)數(shù)字可選擇A或B兩個(gè)位置時(shí)，一個(gè)數(shù)字的位置被確定，另一個(gè)數(shù)字的位置也隨之確定。

2. 演繹邏輯，體驗(yàn)思維之旅

（1）初試鋒芒

①提出挑戰(zhàn)，激勵(lì)學(xué)生獨(dú)立解題

師：在這個(gè)九宮格的游戲中，我們要巧妙地安排數(shù)字1到9，每個(gè)數(shù)字恰好占用一個(gè)格子，且不允許任何數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)。同時(shí)，我們還要遵守兩項(xiàng)特別的規(guī)則：帶有“★”標(biāo)記的格子是數(shù)字的理想家園，而任何帶有“×”標(biāo)記的格子都是數(shù)字的禁止之地，數(shù)字絕不能踏入這些被標(biāo)記的區(qū)域（如圖4）。

②促進(jìn)對(duì)話，強(qiáng)化學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)

師：小朋友們，你們觀察到了嗎？這些星星好像在給我們引路。誰愿意分享一下，你是如何根據(jù)這些星星的光芒來找到數(shù)字的家？

生6（興奮）：我注意到了！這些帶星標(biāo)的格子就像是數(shù)字的安全港，它們告訴我2，7，4，6，8，5，3這幾個(gè)數(shù)字應(yīng)該去哪里。我就像是一個(gè)偵探，根據(jù)線索，把它們一個(gè)個(gè)放到正確的位置上。我發(fā)現(xiàn)，剩下的1和9就只有一個(gè)合適的地方可以去了。特別是1，它不能躲到下1的位置，所以我就把它放在了上3的家里。這樣一來，9就乖乖地跑到下1的位置上。

設(shè)計(jì)意圖：本設(shè)計(jì)旨在通過多幅圖表的呈現(xiàn)，考查學(xué)生對(duì)先前共識(shí)的理解。盡管看似信息量龐大，但實(shí)際上，通過識(shí)別“★”標(biāo)記的關(guān)鍵位置，學(xué)生可以迅速鎖定特定數(shù)字的放置點(diǎn)。同時(shí)，“×”標(biāo)記的排除法則進(jìn)一步縮小了數(shù)字可能的范圍。此過程不僅鍛煉了學(xué)生快速識(shí)別信息和做出決策的能力，還增強(qiáng)了他們解決問題的自信心。此外，在面對(duì)僅有兩個(gè)可能位置的情形時(shí)，學(xué)生能夠深刻體會(huì)排除法的邏輯推理——即一個(gè)選項(xiàng)被排除，則另一選項(xiàng)為必然之選。這一經(jīng)驗(yàn)的積累對(duì)于學(xué)生未來在更復(fù)雜問題情境中發(fā)展推理意識(shí)具有重要意義。

（2）提升難度

①提出挑戰(zhàn)，激勵(lì)學(xué)生獨(dú)立解題

師：一個(gè)充滿神秘色彩的九宮格迷宮，每個(gè)格子都等待著數(shù)字的到來。你的任務(wù)是將1到9的數(shù)字巧妙地安置進(jìn)去，每個(gè)數(shù)字只能占據(jù)一個(gè)格子，而且不能和其他數(shù)字共享空間?，F(xiàn)在，讓我們一起揭開這個(gè)迷宮的秘密吧！九宮格中，有些格子被閃閃發(fā)光的“★”標(biāo)記所點(diǎn)綴，這些是數(shù)字的首選之地，它們渴望在這些閃耀的位置上安家落戶。然而，有些格子卻被“×”標(biāo)記占據(jù)，那些地方是數(shù)字不能涉足的禁地?，F(xiàn)在，讓我們開始這場(chǎng)數(shù)字的冒險(xiǎn)，探索九宮格的奧秘，尋找每一個(gè)數(shù)字的最佳歸宿（如圖5）。

②促進(jìn)對(duì)話，強(qiáng)化學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)

師（微笑著鼓勵(lì)）：找到答案的同學(xué)，先別急著高興，咱們得做個(gè)小檢驗(yàn)，確保你的答案牢不可破。接下來，想想怎么跟大家分享你那精彩絕倫的解題思路。

生7（興奮）：老師，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)小竅門。你看這9個(gè)數(shù)字，它們周圍的空位就像是它們的領(lǐng)地，領(lǐng)地被列為禁地的有的多、有的少。我就像是個(gè)精明的獵人，瞄準(zhǔn)了那些禁地最多的數(shù)字先下手。比如數(shù)字5，它已經(jīng)被排除了8個(gè)領(lǐng)地，只剩下中1那個(gè)位置是它的安全港。比如數(shù)字2，中1已經(jīng)是5的地盤了，所以2只能乖乖地待在上3那個(gè)角落。這樣一來，答案就像拼圖一樣，一塊塊拼出來了。

生8（躍躍欲試）：這題初看挺嚇人，但其實(shí)它就像是等待我們?nèi)フ鞣谋?。關(guān)鍵是要找到那個(gè)最薄弱的點(diǎn)，也就是只有一個(gè)位置能容納的數(shù)字。一旦找到這個(gè)突破口，其他的數(shù)字就像是多米諾骨牌一樣，一個(gè)接一個(gè)地就都有了自己的位置。真是太有趣了！

設(shè)計(jì)意圖：在本習(xí)題中，學(xué)生需將1至9的數(shù)字填入九宮格中，每個(gè)數(shù)字僅限使用一次。解題過程涉及從單一條件的推理過渡到關(guān)聯(lián)條件的推理。學(xué)生要認(rèn)識(shí)到，只有在一個(gè)數(shù)字存在唯一可能性時(shí)，才能直接確定其位置。盡管某些數(shù)字初看似乎無確定位置，但隨著解題進(jìn)程中某一數(shù)字位置的確認(rèn)，其余數(shù)字的潛在位置將隨之減少，從而提高解題效率。此過程強(qiáng)調(diào)排除法的重要性，即在邏輯推理中，每確定一個(gè)元素的確切位置，就相當(dāng)于為其他元素排除了一種或多種可能性。

（3）巧妙運(yùn)用

師（呈現(xiàn)問題）：想象一下，你面前有一個(gè)精美的九宮格棋盤，棋盤上的格子等待著被賦予生命，即被填上1到9的數(shù)字。但是，這里有一些規(guī)則需要遵守：每個(gè)數(shù)字只能出現(xiàn)在棋盤上一次，絕不能重復(fù);有些格子上閃耀著“★”，這些是你可以放置數(shù)字的地方;而有些格子上則有一個(gè)“×”，那些地方是絕對(duì)不能放數(shù)字的。現(xiàn)在，你需要運(yùn)用智慧和邏輯思維，把這些數(shù)字巧妙地安排在合適的位置上。準(zhǔn)備好了嗎？讓我們開始這個(gè)智力挑戰(zhàn)（如圖6）。

生9（自信）：我找到了數(shù)字4的藏身之處。你看圖三和圖五，它們都透露了4的蹤跡，而且兩幅圖中的三顆星星里，都有一顆恰好位于中間的第二格。這釋放出數(shù)字4所在位置的強(qiáng)烈信號(hào)。

師（微笑）：那么，為什么你沒有選擇數(shù)字5、8、2或7呢？它們也在這兩幅圖中出現(xiàn)過呀。

生9：那些數(shù)字只是在其中一幅圖中露面，它們并沒有像4那樣，在兩幅圖中都占據(jù)同一個(gè)星星的位置。只有數(shù)字4，在兩個(gè)不同的場(chǎng)景里，都穩(wěn)穩(wěn)地站在了那個(gè)共同的星星上，所以那里就是它的家。

師（稱贊）：非常好，觀察細(xì)致，推理清晰。那么，如果我們用同樣的方法去尋找其他數(shù)字的蹤跡，會(huì)發(fā)現(xiàn)什么呢？快來用你桌面上的小工具，擺一擺，找找看，還有哪些數(shù)字的位置能被我們準(zhǔn)確地鎖定？

學(xué)生小結(jié)：在面對(duì)多幅圖中數(shù)字位置不明確的情形時(shí)應(yīng)采取一種綜合分析的策略。首先，通過比較和整合各幅圖中數(shù)字的分布模式，我們可以識(shí)別出一些共同特征或規(guī)律;然后，應(yīng)用排除法去除那些僅在單一圖中出現(xiàn)的數(shù)字，進(jìn)一步縮小可能性范圍;最后，采用重疊法對(duì)比各圖中的共同點(diǎn)，特別是那些在多幅圖中重合的數(shù)字位置，以確定最終的數(shù)字布局。這種方法不僅提高了解題的準(zhǔn)確性，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)與數(shù)據(jù)意識(shí)。

設(shè)計(jì)意圖：本題目旨在將學(xué)生從單一條件的關(guān)聯(lián)推理引導(dǎo)至復(fù)雜的多條件復(fù)合推理，這對(duì)提升學(xué)生思維能力具有顯著作用。在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)于此類內(nèi)容展現(xiàn)出極高的興趣。他們?cè)讵?dú)立探索與小組協(xié)作的互動(dòng)中逐漸領(lǐng)悟到：當(dāng)單個(gè)條件無法直接導(dǎo)出結(jié)論時(shí)，可通過綜合多個(gè)條件進(jìn)行推理判斷，進(jìn)而準(zhǔn)確鎖定數(shù)字的位置。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生采用“根據(jù)滿足條件A又滿足條件B可以確定答案”的邏輯表述方式，以深化對(duì)推理嚴(yán)謹(jǐn)性的理解。

二、教學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)至關(guān)重要，因?yàn)樗c數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握緊密相連。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)推理意識(shí)的重要性，低年級(jí)是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維和證據(jù)表達(dá)習(xí)慣的關(guān)鍵時(shí)期，因此教師應(yīng)盡早引入演繹推理，以促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的全面發(fā)展。

在教學(xué)中，教師可以通過單一條件推理、關(guān)聯(lián)推理到復(fù)合推理，引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立嘗試，然后在小組合作與交流中學(xué)習(xí)系統(tǒng)表達(dá)推理過程。教師要根據(jù)學(xué)生的具體情況靈活調(diào)整教學(xué)進(jìn)度，確定合適的教學(xué)終點(diǎn)。實(shí)踐證明，低年級(jí)學(xué)生完全有能力接受演繹推理訓(xùn)練。

基金項(xiàng)目：江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十五期課題“指向核心素養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)課堂實(shí)踐和評(píng)價(jià)研究”（2023JY15-L214）。

作者簡(jiǎn)介：張小琪（1980—），本科學(xué)歷，高級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，泰州市小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，曾獲江蘇省微課比賽一等獎(jiǎng)以及泰州市小學(xué)數(shù)學(xué)教師基本功比賽一等獎(jiǎng)、優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)等榮譽(yù)。