從“確定”到“不確定”,發(fā)展符號(hào)意識(shí)

[摘" 要] 為了讓學(xué)生感知從“確定”到“不確定”，發(fā)展符號(hào)意識(shí)，研究者以“用字母表示數(shù)”一課為例，由字母引出數(shù)，讓學(xué)生感知字母的不確定;由字母式引出關(guān)系，讓學(xué)生思辨最佳的表征;用字母式解決問題，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維。

[關(guān)鍵詞] 代數(shù)思維;符號(hào)意識(shí);字母表示數(shù)

“用字母表示數(shù)”這節(jié)課涉及常量和變量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡。本單元的主要內(nèi)容有：用字母表示數(shù)，用含有字母的式子表示數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和公式，求含有字母的式子的值以及代入計(jì)算，為學(xué)生后續(xù)的方程、比例的學(xué)習(xí)奠定知識(shí)基礎(chǔ)。

一、教學(xué)內(nèi)容

“用字母表示數(shù)”。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生初步理解并掌握用字母表示數(shù)，會(huì)用含有字母的式子表示數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和計(jì)算公式。

2.讓學(xué)生經(jīng)歷把實(shí)際問題用含有字母的式子進(jìn)行表達(dá)的抽象過程，體會(huì)用字母表示數(shù)的簡(jiǎn)捷和方便，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，發(fā)展他們的代數(shù)思維。

三、教學(xué)過程

1. 由字母引出數(shù)，感知字母的不確定

師：（出示APPLE）老師給大家?guī)硪粋€(gè)單詞，這是什么意思？

生（齊聲答）：蘋果。

師：（出示APPL）去掉一個(gè)字母，你們知道什么意思嗎？（全班學(xué)生沉默）它表示的是資產(chǎn)管理公司的縮寫。（出示APP）再去掉一個(gè)字母，這是什么意思？

生（齊聲答）：它表示應(yīng)用程序。

師：（出示AP）再去掉一個(gè)字母，剩下A和P，你在哪里見過字母P？

生1：停車場(chǎng)里寫著P。

師：你在哪里見過字母A？

生2：停車場(chǎng)里有A區(qū)和B區(qū)。

生3：有的大樓會(huì)標(biāo)著A1和A2來區(qū)分哪一幢樓。

生4：撲克牌上有紅桃A。

師：停車場(chǎng)上的A、大樓上的A1和A2，這里的A表示一個(gè)特定的含義;紅桃A，它可以表示確定的數(shù)字1。這節(jié)課我們就來研究“用字母表示數(shù)”。

設(shè)計(jì)意圖：教師巧妙地借助英文單詞APPLE開啟數(shù)學(xué)課堂，吸引了學(xué)生的注意力，讓他們饒有興致地猜英文單詞的意思。教師一次次去掉這個(gè)單詞中的字母，讓學(xué)生深刻體會(huì)每個(gè)字母表示特定的含義。當(dāng)最后只留下字母A時(shí)，學(xué)生結(jié)合自己的生活實(shí)際猜測(cè)A所表示的意思，教師智慧地引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到撲克牌中的紅桃A，再根據(jù)紅桃A引出數(shù)字1，與本節(jié)課的課題“用字母表示數(shù)”相呼應(yīng)，自然地揭示本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

2. 由字母式引出關(guān)系，思辨最佳的表征

（1）用字母式表示三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)的關(guān)系

師：擺1個(gè)三角形用3根小棒，擺2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)三角形用多少根小棒？

生5：擺2個(gè)三角形用6根小棒，算式是2×3=6;擺3個(gè)三角形用9根小棒，算式是3×3=9;擺4個(gè)三角形用12根小棒，算式是4×3=12。

師：你還能繼續(xù)往下說嗎？

生5：擺5個(gè)三角形用15根小棒，算式是5×3=15;擺6個(gè)三角形用18根小棒，算式是6×3=18……

師：你這樣一直往下說，能說完嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生5：不能，因?yàn)閿[1個(gè)三角形用3根小棒，擺幾個(gè)三角形就是幾乘3。

師：你們能不能用自己喜歡的方式表示三角形的個(gè)數(shù)和小棒的根數(shù)之間的關(guān)系？把想法記錄在學(xué)習(xí)單上。

有的學(xué)生說“三角形的個(gè)數(shù)×3=小棒的根數(shù)”，有的學(xué)生說“□×3”，有的學(xué)生說“a×3”，有的學(xué)生說“3x”等。

師：請(qǐng)你們想一想，這些表達(dá)方式有什么相同和不同的地方？

生6：相同的地方是擺每個(gè)三角形都要3根小棒;表達(dá)方式不同，有的用文字，有的用圖形，有的用字母。

師：你更愿意選擇哪一種表達(dá)方式，為什么？

生6：我比較喜歡第三種。第一種寫文字太麻煩了，耗時(shí)間;第二種畫方框有時(shí)會(huì)看成圓圈，不容易辨認(rèn);第四種和第三種差不多。

師：如果用字母a表示三角形個(gè)數(shù)，那么3a就是小棒根數(shù)。像這樣含有字母的式子，我們把它稱作字母式。這個(gè)式子中的a和撲克牌上的A一樣嗎？

生7：不一樣，撲克牌上的A表示一個(gè)固定的數(shù)，這里的a表示的數(shù)是不固定的。

設(shè)計(jì)意圖：從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度看，學(xué)生學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”包括以下三個(gè)階段：第一個(gè)階段是用字母表示未知數(shù)，第二個(gè)階段是用字母和字母式表示變化量，第三個(gè)階段是用字母式表示數(shù)量關(guān)系。學(xué)生在第一學(xué)段接觸到較多的“用字母表示未知數(shù)”的題目，這為學(xué)習(xí)第二階段的“用字母和字母式表示變化量”提供了理解的基礎(chǔ)。當(dāng)學(xué)生在解決三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)的數(shù)量關(guān)系時(shí)，很多學(xué)生自然想到用字母表示三角形個(gè)數(shù)這一變量，在類比中用乘法算式表示不同個(gè)數(shù)的三角形和小棒根數(shù)之間的關(guān)系。然后，教師啟發(fā)學(xué)生思考“你這樣一直往下說，能說完嗎”，引導(dǎo)學(xué)生用字母式表示兩者之間的數(shù)量關(guān)系，并在不同表達(dá)式的比較中讓學(xué)生體會(huì)字母式的簡(jiǎn)捷與方便，并思考字母式中字母的取值范圍。

（2）用字母式表示爸爸和小紅的年齡關(guān)系

教師出示情境：爸爸比小紅大30歲。

師：當(dāng)小紅1歲時(shí)，爸爸的年齡是多少歲？當(dāng)小紅10歲時(shí)，爸爸的年齡是多少歲？當(dāng)小紅15歲時(shí)，爸爸的年齡是多少歲？

生8：當(dāng)小紅1歲時(shí)，爸爸的年齡是1+30=31歲;當(dāng)小紅10歲時(shí)，爸爸的年齡是10+30=40歲;當(dāng)小紅15歲時(shí)，爸爸的年齡是15+30=45歲。

師：這些式子，每個(gè)都只能表示某一年爸爸的年齡。你們能用一個(gè)式子簡(jiǎn)明地表示任何一年爸爸的年齡嗎？

生9：如果小紅的年齡是b，那么爸爸的年齡是b+30。

師：想一想，如果當(dāng)b=6時(shí)，你們能算出爸爸的年齡嗎？

生10：b+30=6+30=36。

師：當(dāng)字母b有一個(gè)具體的數(shù)時(shí)，我們就可以算出字母式的結(jié)果。我們來回顧一下：a和b分別表示什么樣的數(shù)？

生11：這里的a表示三角形的個(gè)數(shù)，大于0的整數(shù);這里的b表示小紅的年齡，一般是小于100但大于0的整數(shù)。

師：字母在表示數(shù)的時(shí)候是不確定的，這些數(shù)是有范圍的。

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)學(xué)生初步體驗(yàn)用字母式表示乘法的數(shù)量關(guān)系后，這個(gè)環(huán)節(jié)中教師讓學(xué)生用字母式表示加法的數(shù)量關(guān)系。教師先引導(dǎo)學(xué)生用字母和字母式表示變化量，寫出當(dāng)小紅1歲、10歲和15歲時(shí)，爸爸年齡的算式;然后，引導(dǎo)學(xué)生用字母式表示數(shù)量關(guān)系，用字母b表示爸爸和小紅年齡之間的數(shù)量關(guān)系;最后，讓學(xué)生嘗試求含有字母的式子的值以及代入計(jì)算，用代入的方法計(jì)算當(dāng)b=6時(shí)爸爸的年齡。在這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，又從抽象到具體的過程，為學(xué)習(xí)方程奠定了基礎(chǔ)。

3. 用字母式解決問題，培養(yǎng)代數(shù)思維

（1）化簡(jiǎn)字母表達(dá)式

師：你們?cè)谀睦镆娺^字母式？

有的學(xué)生說在學(xué)習(xí)加法和乘法運(yùn)算定律時(shí)見過，有的學(xué)生說在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)和面積公式時(shí)見過。

師：如果用a表示正方形的邊長(zhǎng)，C表示周長(zhǎng)，S表示面積，你們能寫出正方形的周長(zhǎng)和面積公式嗎？

生12：正方形的周長(zhǎng)公式是C=4×a，正方形的面積公式是S=a×a。

師：像這樣的字母式還有更簡(jiǎn)單的寫法，請(qǐng)大家自學(xué)課本第100頁。

生13：正方形的周長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)后是4a，即可以把乘號(hào)省略，數(shù)字寫在前面，字母寫在后面。正方形的面積公式化簡(jiǎn)后是S=a2。

師：剛才的a×3和b+30可以化簡(jiǎn)嗎？

生14：a×3=3a，b+30不能化簡(jiǎn)。

師：4×b，5+x，a×c，y×1，a-6，c×c，c+c，c×2，請(qǐng)化簡(jiǎn)這些字母表達(dá)式。

生15：4×b=4b，a×c=ac，y×1=y，c×c=c2，c+c=2c，c×2=2c。

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶字母式在以前學(xué)習(xí)中的應(yīng)用;然后讓學(xué)生用字母式表示正方形的周長(zhǎng)公式和面積公式，在自學(xué)和閱讀課本中掌握含有字母的乘法式子的簡(jiǎn)便寫法;最后讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固乘法字母式的化簡(jiǎn)，尤其是比較c×c、c+c、c×2這三道題的異同。

（2）用字母式解決問題

師：甲、乙、丙、丁四地在一條直線上依次排開，甲地在前，丁地在后，乙地和丙地在中間，甲、乙兩地之間的公路長(zhǎng)185千米，乙、丙兩地之間的公路長(zhǎng)x千米，丙、丁兩地之間的公路長(zhǎng)y千米。甲、丙兩地之間的公路長(zhǎng)（" "）千米，乙、丁兩地之間的公路長(zhǎng)（" "）千米。

生16：甲、丙兩地之間的公路長(zhǎng)（185+x）千米，乙、丁兩地之間的公路長(zhǎng)（x+y）千米。

師：假如聰聰從甲地坐車到丙地，汽車每小時(shí)行駛100千米，2小時(shí)到達(dá)，甲、丙兩地的公路長(zhǎng)（" "）千米。

生17：甲、丙兩地的公路長(zhǎng)是100×2。

師：（出示185+x=100×2）同學(xué)們，甲、丙兩地的公路長(zhǎng)有兩種不同的表達(dá)式，我們可以用等號(hào)連接，這就是含有字母的等式。

設(shè)計(jì)意圖：第1題和第2題是檢驗(yàn)學(xué)生用字母式表示數(shù)量關(guān)系，第3題是檢驗(yàn)學(xué)生用字母和字母式表示變化量，讓學(xué)生再次感受用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)捷。同時(shí)，教師巧妙地讓學(xué)生用不同的算式表征甲、丙兩地之間的公路長(zhǎng)，并用等號(hào)將兩個(gè)算式連接起來，為后續(xù)學(xué)習(xí)含有未知數(shù)的等式做好鋪墊。

四、教學(xué)反思

“用字母表示數(shù)”這節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷從“一個(gè)式子表示一種圖形的三角形個(gè)數(shù)”到“一個(gè)式子表示任何圖形的三角形個(gè)數(shù)”、從“一個(gè)式子表示某一年爸爸的年齡”到“一個(gè)式子表示任意年爸爸的年齡”等過程，體會(huì)從特殊到一般的歸納過程。

1. 用字母表示數(shù)，發(fā)展符號(hào)化思想

符號(hào)意識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，主要是指能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能?！坝米帜副硎緮?shù)”一課讓學(xué)生使用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和掌握用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律的方法，不斷加深學(xué)生理解用字母表示數(shù)的意義，體會(huì)用字母表示從確定量到不確定量，有利于發(fā)展學(xué)生的抽象能力和推理能力。

2. 從關(guān)系到等式，代數(shù)思維的啟蒙

第一學(xué)段，學(xué)生基本是用算術(shù)思維解決數(shù)學(xué)問題;第二學(xué)段和第三學(xué)段，學(xué)生開始嘗試用代數(shù)思維解決數(shù)學(xué)問題，尤其是“用字母表示數(shù)”這節(jié)課標(biāo)志著小學(xué)生正式學(xué)習(xí)代數(shù)的開始。用字母表示數(shù)、用字母式表示數(shù)量和關(guān)系不僅簡(jiǎn)便直觀，還能抽象地概括數(shù)量關(guān)系中的一般規(guī)律。在用含有未知數(shù)的等式解決問題時(shí)，學(xué)生根據(jù)題意順向思考，已知數(shù)和未知數(shù)共同參與運(yùn)算，能為解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題帶來方便。同時(shí)，代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，小學(xué)階段學(xué)生初步感知有利于打通小學(xué)與中學(xué)的銜接。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)教師要打破零散的知識(shí)結(jié)構(gòu)，重構(gòu)用字母表示數(shù)的單元結(jié)構(gòu)，使之順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展，讓學(xué)生經(jīng)歷從含有未知數(shù)的字母式到含有未知數(shù)的等式的過程，在豐富的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中積累方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

作者簡(jiǎn)介：徐海燕（1982—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲蘇州市吳江區(qū)“教學(xué)能手”稱號(hào)。