化隱為明：數(shù)學(xué)解題中隱含條件的發(fā)掘

摘要：解題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，有利于提升學(xué)生解題能力，鞏固數(shù)學(xué)知識，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在解題過程中，遇到隱藏條件的題目，如果學(xué)生無法發(fā)掘隱藏條件，就難以有效解答問題.因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師需要讓學(xué)生發(fā)掘題目中的隱含條件，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，尋找問題解答方法.本文中對數(shù)學(xué)解題中隱含條件的發(fā)掘進行探究.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)解題;隱含條件;有效策略

在初中數(shù)學(xué)中，課程知識內(nèi)容不僅在數(shù)量上發(fā)生了很大變化，同時在難度的層面也有很大的變化，不僅僅需要學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，同時需要學(xué)生具有較強的思維能力以及抽象能力.在初中數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生很容易忽視題目隱含條件的發(fā)掘.因此，在教學(xué)中，教師要充分利用典型數(shù)學(xué)題目，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘其中的隱含條件，有效解決數(shù)學(xué)問題，鍛煉學(xué)生解題能力，促進學(xué)生全面發(fā)展.

1 利用數(shù)學(xué)概念，發(fā)掘隱含條件

初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念是重要的知識內(nèi)容，是學(xué)生綜合素養(yǎng)培養(yǎng)的基礎(chǔ)，有利于學(xué)生解題能力的培養(yǎng).在數(shù)學(xué)概念中，會涉及到一些限制性或者界定性質(zhì)的條件，為概念的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).根據(jù)數(shù)學(xué)概念相應(yīng)的條件和要求，在一些數(shù)學(xué)問題的解答中，特定的條件與要求是不可忽視的解題條件.如根式、平方等概念，在數(shù)學(xué)問題的解答中，結(jié)合題目中相關(guān)信息，有效發(fā)掘隱含條件，幫助學(xué)生有效解題[1].

例1 已知|x+2|與（y－1）2互為相反數(shù)，求（x+y）2 022的值.

分析：此題主要考查學(xué)生對代數(shù)知識的理解，題目中的條件比較簡單，為了有效解答問題，需要分析題目中涉及到的數(shù)學(xué)概念，即絕對值、相反數(shù)以及平方式.根據(jù)題目中的條件“|x+2|與（y－1）2互為相反數(shù)”，同時對代數(shù)形式進行分析，可以得出，兩個代數(shù)式均是非負(fù)數(shù).結(jié)合對數(shù)學(xué)概念的理解分析進行推算，發(fā)掘題目中的隱含條件，即“兩個數(shù)是非負(fù)數(shù)且互為相反數(shù)”，唯一的情況就是二者為零，即|x+2|=0且（y－1）2=0，求解得出x=－2，y=1.通過隱含條件的發(fā)掘，將x，y代入（x+y）2 022中，快速解答題目，即（x+y）2 022=（－2+1）2 022=1.

例2 關(guān)于x的方程x2+（k－2）x+（k2+3k+5）=0存在兩個實數(shù)根x1，x2，求x21+x22的最大值.

分析：此題主要考查學(xué)生對一元二次方程的理解以及解題方法的掌握.為了幫助學(xué)生尋找解題思路，需引導(dǎo)學(xué)生找出題目中的隱含條件，厘清已知與隱含條件的聯(lián)系，結(jié)合韋達定理，有效解答問題.由x21+x22=（x1+x2）2－2x1x2=（2－k）2－2（k2+3k+5），得x21+x22=-（k+5）2+19，

在此式的基礎(chǔ)上，學(xué)生利用一元二次函數(shù)與方程的知識，解答問題，得出的結(jié)果是不正確的.通過對題目的進一步分析，根據(jù)已知條件發(fā)掘出一元二次方程有兩個實數(shù)根的隱含條件即Δ≥0，之后通過簡化推算，得出參數(shù)k的取值范圍為-4≤k≤-43，再結(jié)合x21+x22的表達式，得到當(dāng)k=-4時，x21+x22取最大值18.完成題目的解答.

2 有效分析代數(shù)公式，發(fā)掘隱含條件

數(shù)學(xué)學(xué)科圍繞“數(shù)”開展教學(xué)，如代數(shù)、有理數(shù)以及無理數(shù)等，代數(shù)知識是中學(xué)階段的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)考試中的熱點內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)知識環(huán)節(jié)有一定的難度.在數(shù)學(xué)問題中，有關(guān)代數(shù)的題目類型比較多，有些問題需要學(xué)生發(fā)掘和分析其中的隱含條件.因此，在日常的練習(xí)中，對于代數(shù)公式應(yīng)用的問題，需要訓(xùn)練學(xué)生發(fā)掘和利用其中的隱含條件，有效解答數(shù)學(xué)問題[2].

例3 已知（a2+b2）2－3（a2+b2）－10=0，其中a，b為實數(shù)，試求a2+b2的值.

分析：本題考查一元二次方程的解法，以及化歸轉(zhuǎn)化思想.根據(jù)題目中的題干內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)題干信息比較簡單，通過字母和符號呈現(xiàn)題意.在解題過程中，若忽略隱含條件，則會造成解題錯誤.如有的學(xué)生在解題時，可能會直接利用換元法，即設(shè)a2+b2=y，根據(jù)題干可以將方程轉(zhuǎn)化為y2－3y－10=0，通過因式分解可以得出y=5，或y=－2，但是，這樣的解題過程是不完善的，結(jié)果也不準(zhǔn)確.因為根據(jù)實數(shù)性質(zhì)可知，a2+b2是非負(fù)數(shù).根據(jù)這個隱含條件，排除a2+b2=-2，得出a2+b2=5.

3 有效分析圖形元素，發(fā)掘隱含條件

數(shù)與形是數(shù)學(xué)知識構(gòu)成的重要形式，在數(shù)學(xué)知識中，不僅是“數(shù)”的問題中有隱含條件，在“形”的問題中同樣也有隱含條件.在一些圖形元素的問題中，題目中的已知條件可能不是解題的關(guān)鍵條件，而在圖形中蘊藏著解題的關(guān)鍵點.因此，在解題教學(xué)中，教師需要指導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘并利用圖形元素中的隱含條件，尋找條件與問題的關(guān)系，有效解決數(shù)學(xué)問題.

例4 如圖1，四邊形ABCD是正方形，內(nèi)部包含四個全等的直角三角形以及正方形EFGH，且AH=12，EF=4，求解AB的值.

分析：此題是平面幾何中較為簡單的題目.在解題中，需要學(xué)生根據(jù)圖形元素進行分析，找出相應(yīng)的隱含條件，即AH=BG=12，EF=HG=4.根據(jù)這些隱含條件，學(xué)生才能快速解決問題.對于本題目，可利用三角形全等知識，得出AH=BG=12，利用正方形性質(zhì)，可得出EF=HG=4，HB=16.在直角三角形AHB中，利用勾股定理求解AB的值，即AB=AH2+BH2=122+162=20.

對于平面幾何問題，需要有效利用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)與形進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合隱含條件的發(fā)掘與利用，簡化問題解答過程，有效解決圖形類問題.

4 結(jié)合關(guān)鍵詞句分析，發(fā)掘隱含條件

在初中數(shù)學(xué)解題中，需要學(xué)生認(rèn)真審題，找出題干中的關(guān)鍵詞句，通過關(guān)鍵詞的分析，發(fā)掘題目中的隱含條件，從而順利解答問題.如語義沖突內(nèi)容等，是學(xué)生需要把握的重要內(nèi)容，以提高學(xué)生解題能力[3].

例5 已知函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（-1，7），與x軸相交后，得到的線段長度為3，且其對稱軸是直線x=1，求二次函數(shù)的解析式.

分析：通過對題目的分析，可以找出其中的已知條件，即“截取x軸上長度為3的線段”“對稱軸是直線x=1”.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，有效利用已知條件對題目進行分析，得出函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)是-12，0，52，0.利用此隱含條件，可設(shè)二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax－52x+12，將點（-1，7）代入函數(shù)解析式，可以得出a=4.

所以y=4x-52x+12，即y=4x2-8x-5，順利得出函數(shù)解析式.

5 結(jié)合結(jié)構(gòu)特點，發(fā)掘隱含條件

在初中數(shù)學(xué)解題中，發(fā)現(xiàn)不少數(shù)學(xué)問題的已知條件是通過一定的關(guān)系呈現(xiàn)的，這些關(guān)系具有其自身的結(jié)構(gòu)特點，通常在結(jié)構(gòu)特征中隱含一些條件.在解題中，需要分析結(jié)構(gòu)特點，找出其中的隱藏關(guān)系，以順利完成問題的解答.

例6 已知方程（x2+5x+4）2+（x2+5x+4）－8=0，則x2+5x+4=.

分析：在求解此題時，需要學(xué)生閱讀和分析題干信息，若從整體上觀察，可以看出求解部分的式子結(jié)構(gòu)與條件中的部分內(nèi)容一致，結(jié)構(gòu)中都是一元二次形式.因此，在解題過程中，指導(dǎo)學(xué)生采取整體代換的方式，對問題進行簡化求解，將（x2+5x+4）看作整體t，那么題目條件可以轉(zhuǎn)化成t2+t－8=0.同時，需要結(jié)合（x2+5x+4）≥-94的隱含條件，引導(dǎo)學(xué)生快速簡化，完成問題解答.

初中數(shù)學(xué)解題中，隱含條件是重要的解題信息，確保數(shù)學(xué)問題解答的準(zhǔn)確性與高效性.作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)結(jié)合典型例題，幫助學(xué)生掌握發(fā)掘隱含條件的方法，利用隱含條件解題.在具體教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、圖形元素以及題目關(guān)鍵詞句等，發(fā)掘隱含條件，簡化解題過程，提高解題有效性.

參考文獻：

[1]王志軍.發(fā)掘隱含條件 助力數(shù)學(xué)解題——初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2021（32）：6-7.

[2]朱穎.探討初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2021（2）：7-8.

[3]楊冬花.關(guān)于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2019（3）：73.