新工科背景下離散數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實(shí)踐

摘要：離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)和電子信息等專業(yè)培養(yǎng)的基礎(chǔ)課程。隨著新工科建設(shè)在國(guó)家發(fā)展中重要性的突顯，離散數(shù)學(xué)作為理論性、操作性的基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)課程教學(xué)能力提升意義深遠(yuǎn)。針對(duì)在離散數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的具體問題，通過對(duì)離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行探索與研究，對(duì)于人才培養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成具有極其重要的作用。本文根據(jù)科學(xué)記憶法、費(fèi)曼學(xué)習(xí)法等教學(xué)方法的引入，探索出教學(xué)方式、考核方式等方面的教學(xué)改革措施。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；教學(xué)模式改革；課程思政；費(fèi)曼學(xué)習(xí)法

引言

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)、電子信息工程等專業(yè)的基礎(chǔ)核心課程，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，更是新工科發(fā)展的重要組成部分。作為軟件硬件核心課程的前序課程開設(shè)，離散數(shù)學(xué)通常涉及的內(nèi)容在新工科專業(yè)培養(yǎng)過程中得到了廣泛的應(yīng)用。本學(xué)科主要研究具有離散特征的變量、結(jié)構(gòu)及相互關(guān)系，學(xué)科內(nèi)容充實(shí)，描述了信息計(jì)算中數(shù)據(jù)使用離散性的特點(diǎn)。通過對(duì)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)，為學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)后續(xù)課程奠定理論基礎(chǔ)、工具基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰σ约皵?shù)據(jù)使用的創(chuàng)新能力，讓學(xué)生能更好地適應(yīng)軟、硬件應(yīng)用開發(fā)和理論研究需求。

一、離散數(shù)學(xué)在人才培養(yǎng)中的重要性

離散數(shù)學(xué)課程設(shè)置具有高抽象性、強(qiáng)理論性、嚴(yán)邏輯性等特點(diǎn)，本學(xué)科教學(xué)過程中定理、定律和證明等內(nèi)容安排較多，學(xué)生學(xué)習(xí)難度和應(yīng)用難度較高[1]。傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)沿用教師授課的單一模式，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，對(duì)于專業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成存在完成度并不理想。特別是在高?！按笏颊惫こ探ㄔO(shè)的過程中，對(duì)學(xué)生思想政治工作的建設(shè)力度不夠。在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，探索適合當(dāng)下人才培養(yǎng)需求的教學(xué)方法和實(shí)踐路徑，是提升離散數(shù)學(xué)在立德樹人人才培養(yǎng)目標(biāo)中發(fā)揮基礎(chǔ)性專業(yè)學(xué)科重要作用的應(yīng)有之義。作為新工科的重要組成部分，基礎(chǔ)理論知識(shí)的培養(yǎng)是基礎(chǔ)，分析具體問題、解決實(shí)際問題以及理論創(chuàng)新能力也是新時(shí)代大學(xué)生培養(yǎng)的重中之重。因此，通過具體的教學(xué)實(shí)踐，探索和研究出針對(duì)離散數(shù)學(xué)等新工科課程教學(xué)方法的改進(jìn)，對(duì)于提升新工科課程教學(xué)能力有著迫切需求。

二、離散數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的痛點(diǎn)分析

（一）教學(xué)內(nèi)容枯燥

當(dāng)前在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，高校教師能夠選用的教材數(shù)量較少，可選擇空間不大。真正具有影響力的國(guó)內(nèi)教材甚少，大多為純數(shù)學(xué)教材，總體上不利于學(xué)生學(xué)習(xí)[2]。就貴州大學(xué)人民武裝學(xué)院選用的高等教育出版社的《離散數(shù)學(xué)》一書，還是2008年出版、2015年再版教材，其更新速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)趕不上當(dāng)下計(jì)算機(jī)相關(guān)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展速度。如今互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)飛速發(fā)展，相關(guān)的應(yīng)用知識(shí)也不斷迭代更新，雖然離散數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容沒有迅速更新，但是教學(xué)內(nèi)容中較多的知識(shí)點(diǎn)、較強(qiáng)的理論性、較高的抽象性會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，學(xué)生常常會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)到底有什么用？到底對(duì)他們的專業(yè)有什么幫助？等問題；其次，教材中理論知識(shí)的學(xué)習(xí)較多，對(duì)于課本例題和課后習(xí)題也通常是將所學(xué)知識(shí)用于解答理論問題，很少有用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的設(shè)計(jì)，對(duì)于解決當(dāng)下科學(xué)技術(shù)發(fā)展現(xiàn)實(shí)問題的探討較少。大部分的教學(xué)內(nèi)容為單一的理論知識(shí)講解，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱忱，加重了教師教學(xué)過程中的難度。教學(xué)內(nèi)容上還存在著前沿理論研究和前沿應(yīng)用欠缺的問題。例如，在離散數(shù)學(xué)的圖與樹的章節(jié)里，本應(yīng)有著非常豐富的應(yīng)用實(shí)例。在計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的前沿應(yīng)用里，很廣泛地使用了圖和樹的基礎(chǔ)理論知識(shí)，可以設(shè)計(jì)應(yīng)用圖和樹的知識(shí)解決很多計(jì)算機(jī)算法里的問題。在以往的教學(xué)內(nèi)容中，并沒有精心設(shè)計(jì)讓同學(xué)們應(yīng)用圖和樹的理論去解決實(shí)際問題，從而導(dǎo)致了前沿理論研究和前沿應(yīng)用的欠缺。

（二）教學(xué)方法單一

離散數(shù)學(xué)作為專業(yè)核心課程的前序必修課，通常在為大學(xué)低年級(jí)學(xué)生開設(shè)。此階段的學(xué)生還存在熟悉傳統(tǒng)填鴨式教課方式的問題。學(xué)習(xí)思維還停留在認(rèn)真聽教師講，被動(dòng)學(xué)的慣性中。缺乏自主學(xué)習(xí)的興趣和能力，通常將考試及格作為目標(biāo)。這與離散數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生自主思考、嚴(yán)格邏輯思維、獨(dú)立解決問題和創(chuàng)新意識(shí)等目標(biāo)相悖。

離散數(shù)學(xué)作為傳統(tǒng)的理工科課程，其教學(xué)方式通常也是采用填鴨式的教授方式，教師以多媒體和板書方式進(jìn)行授課，注重理論定律的推導(dǎo)和證明，對(duì)學(xué)生理論聯(lián)系專業(yè)領(lǐng)域?qū)嶋H應(yīng)用的培養(yǎng)相對(duì)欠缺，輕視概念的背景理解[3]。這種教學(xué)方式對(duì)于學(xué)生而言屬于被動(dòng)學(xué)習(xí)，導(dǎo)致難以較好地發(fā)揮離散數(shù)學(xué)前序課程的作用。在這種教學(xué)方法下，大學(xué)生通常又面臨著每學(xué)期所學(xué)課程多、難度大、時(shí)間少等難題。學(xué)生無法體會(huì)離散數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要意義，導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性不高[4]。部分學(xué)生為了考試通過，選擇機(jī)械性的刷題策略。很多情況下，針對(duì)特定題型背下解題步驟，則能應(yīng)付最后的期末考試。在這種疲于應(yīng)付的狀態(tài)下，學(xué)生很難深入學(xué)習(xí)知識(shí)，明白重點(diǎn)理論背后的知識(shí)，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力的目標(biāo)很難以達(dá)成。本次教改的重要措施就是改變教學(xué)方法，讓學(xué)生從曾經(jīng)的被動(dòng)學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)，從而達(dá)到人才培養(yǎng)的目標(biāo)。

（三）課程思政內(nèi)容較少

過去的離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式僅僅是理論知識(shí)的單一教授，很少有學(xué)科之外內(nèi)容的涉及，特別是思政元素的引入，因此，理工科學(xué)生在進(jìn)入社會(huì)之后，給人一種只懂理論知識(shí)，缺少人文修養(yǎng)的刻板印象。在當(dāng)下的教育理論中，要培養(yǎng)社會(huì)主義建設(shè)的接班人和建設(shè)者，要五育并進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生德、智、體、美、勞全方位發(fā)展的素質(zhì)要求。在本文中，課程的教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)如何潤(rùn)物細(xì)無聲地引入思政元素，巧妙地進(jìn)行學(xué)生思想政治教育工作顯得尤為重要。從而讓學(xué)生從基礎(chǔ)理論知識(shí)學(xué)習(xí)到社會(huì)現(xiàn)實(shí)的理論推廣中，去培養(yǎng)學(xué)生的正確世界觀、人生觀和價(jià)值觀[5]。在科學(xué)理論知識(shí)中引入思政元素，將抽象的知識(shí)和現(xiàn)實(shí)情況相結(jié)合，適當(dāng)引入工匠精神、愛國(guó)主義情懷等帶有思政元素的正能量勵(lì)志故事，不僅能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充實(shí)和豐富理論學(xué)習(xí)中枯燥乏味的教學(xué)內(nèi)容，還能激發(fā)學(xué)生為中華之崛起而讀書的動(dòng)力和決心，實(shí)現(xiàn)在教學(xué)過程中立德樹人的目標(biāo)。

三、離散數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐改進(jìn)措施

（一）合理規(guī)劃學(xué)習(xí)模式

本學(xué)科內(nèi)容多為理論知識(shí)講解，內(nèi)容較為枯燥，容易造成學(xué)生記憶困難。人類的記憶是一個(gè)復(fù)雜的過程，通過對(duì)記憶的研究，有助于掌握記憶規(guī)律，更好更牢的記住重點(diǎn)知識(shí)。德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯對(duì)記憶力進(jìn)行大量的試驗(yàn)，并根據(jù)人類長(zhǎng)時(shí)間和短時(shí)間的記憶特征，發(fā)現(xiàn)了記憶遺忘的規(guī)律，總結(jié)得到了艾賓浩斯遺忘曲線，此曲線簡(jiǎn)單而言就是描述完成及以后，回答記憶內(nèi)容正確概率隨時(shí)間變化的曲線。他的著作Memory：AContributiontoExperimentalPsychology提到，在他所做的實(shí)驗(yàn)中，記憶完成后的一小時(shí)后，大約有一半的內(nèi)容還能被記住，24小時(shí)后，大約有1/3的記憶會(huì)被記??；6天后，大約只剩1/4的記憶會(huì)被記住。想要長(zhǎng)久地記住知識(shí)，不僅需要對(duì)知識(shí)點(diǎn)有深刻的理解，還要有反復(fù)的復(fù)習(xí)與回顧，多練習(xí)與多記憶。對(duì)于離散數(shù)學(xué)的課程安排而言，高校一般的課程設(shè)置為48學(xué)時(shí)，平均一周有3學(xué)時(shí)。有記憶針對(duì)性地布置作業(yè)，讓學(xué)生能復(fù)習(xí)本堂內(nèi)容的同時(shí)還能復(fù)習(xí)上兩堂課的重點(diǎn)。將遺忘曲線規(guī)律與費(fèi)曼學(xué)習(xí)法結(jié)合，在每次課后布置作業(yè)，作業(yè)分為學(xué)生復(fù)述總結(jié)的準(zhǔn)備環(huán)節(jié)與習(xí)題環(huán)節(jié)。對(duì)于課后習(xí)題的布置，要選擇具有代表性、實(shí)用性、操作性的習(xí)題，數(shù)量不要多，難度要有所提升。這個(gè)環(huán)節(jié)具體措施是，本次的習(xí)題不局限于當(dāng)天所學(xué)的內(nèi)容，還要包括前兩次課所學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題，起到對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)鞏固訓(xùn)練、加深理論理解和知識(shí)靈活運(yùn)用的輔助作用。這一教學(xué)模式的改革，有效提高了學(xué)生對(duì)于枯燥理論知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣。

（二）調(diào)整教與學(xué)的比例

傳統(tǒng)理論知識(shí)的教授方式，多為教師單一的理論講解，屬于填鴨式的教學(xué)方法。在整個(gè)教學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)，學(xué)生的參與度不高。知識(shí)的學(xué)習(xí)通?？梢苑譃橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)和被動(dòng)學(xué)習(xí)，被動(dòng)學(xué)習(xí)主要由聽講、閱讀、聲音圖譜、示范演示等構(gòu)成。主動(dòng)學(xué)習(xí)主要由討論、實(shí)踐、復(fù)述組成。傳統(tǒng)教育模式下，學(xué)生們主要通過被動(dòng)學(xué)習(xí)來接受知識(shí)，面臨著時(shí)間短、課程多、壓力大等難題，學(xué)生參與教學(xué)實(shí)踐的積極性不高。本文教學(xué)模式改革借鑒費(fèi)曼學(xué)習(xí)法中的復(fù)述將被動(dòng)學(xué)習(xí)化為主動(dòng)學(xué)習(xí)。費(fèi)曼學(xué)習(xí)法由諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主理查德·費(fèi)曼的教學(xué)理念和教育方法啟發(fā)并經(jīng)他人總結(jié)而來，費(fèi)曼學(xué)習(xí)法包括5個(gè)步驟：（1）理解和掌握基本概念；（2）定期回顧所學(xué)內(nèi)容；（3）將復(fù)雜的知識(shí)簡(jiǎn)化便于自我記憶；（4）將簡(jiǎn)化的知識(shí)講授給他人；（5）進(jìn)行自我評(píng)估，評(píng)估在將簡(jiǎn)化的知識(shí)講授給他人的過程中是否流暢，是否產(chǎn)生新的疑問。如果不夠流暢或者產(chǎn)生新的疑問，則重新回到相關(guān)知識(shí)點(diǎn)去理解和學(xué)習(xí)，直到能夠很流暢精準(zhǔn)地將學(xué)習(xí)內(nèi)容完整地闡述出來。費(fèi)曼學(xué)習(xí)法的本質(zhì)就是將復(fù)雜的知識(shí)化簡(jiǎn)后，講授給他人。從另外一個(gè)角度來理解其中的內(nèi)涵，可以認(rèn)為是“如果一個(gè)人不能將知識(shí)解釋清楚，就說明他還未完全明白”。費(fèi)曼學(xué)習(xí)法是一種高效而深入的學(xué)習(xí)辦法，當(dāng)一個(gè)人能運(yùn)用自己的語言去簡(jiǎn)化地描述清楚某個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，說明他進(jìn)行了深入的理解而且簡(jiǎn)化的記憶在大腦中，這種記憶通常能保存更長(zhǎng)的時(shí)間。

本次教改中第一個(gè)重要的環(huán)節(jié)是要求在每堂課開始時(shí)，隨機(jī)挑選一名學(xué)生，完成10分鐘前置重點(diǎn)內(nèi)容的總結(jié)和概述，并根據(jù)這名學(xué)生的表現(xiàn)，給出平時(shí)成績(jī)。以此來提升學(xué)生在教學(xué)實(shí)踐過程中參與度。通常，學(xué)生們?yōu)榱颂岣咂綍r(shí)成績(jī)，課前認(rèn)真復(fù)習(xí)、努力學(xué)習(xí)前置知識(shí)，從而促進(jìn)學(xué)生復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識(shí)并進(jìn)行深入理解和總結(jié)歸納的目的。

（三）離散數(shù)學(xué)的課程思政融入

將思政元素融入離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中，潛移默化地在教授專業(yè)知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生正確的三觀。在講述蘊(yùn)含式關(guān)系時(shí)，引入梁?jiǎn)⒊壬凇渡倌曛袊?guó)說》中的一句話：“少年強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)”。表達(dá)的意思是青少年強(qiáng)盛，國(guó)家則興旺強(qiáng)盛。此篇散文作于1900年，在八國(guó)聯(lián)軍侵華、民族危機(jī)空前嚴(yán)重的背景下。這句話表達(dá)了作者對(duì)少年的盼望和對(duì)中國(guó)的熱愛，強(qiáng)調(diào)了少年在中國(guó)發(fā)展和進(jìn)步中的重要作用。以此為例，教導(dǎo)同學(xué)們要熱愛祖國(guó)，努力學(xué)習(xí)，奮發(fā)圖強(qiáng)，掌握建設(shè)祖國(guó)的知識(shí)和本領(lǐng)，將愛國(guó)之志變成報(bào)國(guó)之行。教導(dǎo)同學(xué)們要樹立民族自尊心和自信心，自覺承擔(dān)建設(shè)強(qiáng)大的現(xiàn)代化國(guó)家的責(zé)任。

對(duì)于化簡(jiǎn)邏輯電路的例題引入思政元素，可以巧妙地和同學(xué)們探討中國(guó)芯片發(fā)展過程中遇到的技術(shù)難題，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)斗志，增加愛國(guó)主義情懷?；?jiǎn)邏輯電路，見圖1。

圖1"邏輯電路示意圖

解：設(shè)P：輸入端P為高電位，Q：輸入端Q為高電位，R：輸入端R為高電位；

則原電路根據(jù)德摩根率可以化簡(jiǎn)為：（P∧Q）∨（P∧R））∧（Q∨R）lt;=gt;（P∧（Q∨R））∧（Q∨R）lt;=gt;P∧（Q∨R）。

此例題的講解可以讓同學(xué)們從枯燥的離散數(shù)學(xué)命題邏輯化簡(jiǎn)到了有實(shí)際意義的電路化簡(jiǎn)設(shè)計(jì)。此時(shí)用芯片設(shè)計(jì)作為引入，告訴同學(xué)們芯片設(shè)計(jì)課程的開始就是從最簡(jiǎn)單的邏輯電路開始，由各種邏輯設(shè)計(jì)最基本的單元就是與、或、非等基礎(chǔ)電路，再介紹芯片從設(shè)計(jì)到制作整個(gè)流程。（1）芯片功能的設(shè)計(jì)；（2）用CAD等工具進(jìn)行電路與物理設(shè)計(jì)；（3）掩膜的制造；（4）芯片的制造；（5）封裝與測(cè)試。在此過程中融入思政元素，告訴同學(xué)們我國(guó)芯片制造工藝的發(fā)展現(xiàn)狀、技術(shù)難點(diǎn)以及芯片產(chǎn)業(yè)受到限制。以此激勵(lì)同學(xué)們使命感，社會(huì)責(zé)任感，讓同學(xué)們?yōu)橹腥A崛起而努力學(xué)習(xí)，為自主研發(fā)高性能芯片而努力。

結(jié)語

離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)和電子信息等專業(yè)基礎(chǔ)核心課程，課程教學(xué)實(shí)施過程中注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、問題解決能力和理論創(chuàng)新能力。通過合理地轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，融入前沿科技知識(shí)，科學(xué)合理地融入課程融入，提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果才能更好地完成人才培養(yǎng)方案的要求。本文采用新的教學(xué)思路和新方法幫助學(xué)生更輕松、更深入、更科學(xué)地學(xué)習(xí)知識(shí)。通過上述教學(xué)實(shí)踐的探索與研究，力求真正實(shí)現(xiàn)為國(guó)家培養(yǎng)、德、智、體、美、勞全面發(fā)展的人才，為中國(guó)特色社會(huì)主義事業(yè)培養(yǎng)合格的建設(shè)者和可靠的接班人的教育目標(biāo)。

本文系2023年貴州大學(xué)人民武裝學(xué)院課程思政項(xiàng)目《離散數(shù)學(xué)》（課題編號(hào)：YJJG2023013）的研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1]賈經(jīng)冬，李衛(wèi)國(guó).基于計(jì)算思維面向能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革[J].計(jì)算機(jī)教育，2021，（09）：152-155.

[2]趙青杉，孟國(guó)艷.關(guān)于離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革的思考[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，（05）：69-72.

[3]斯日古楞，趙海春.“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)改革探索[J].計(jì)算機(jī)時(shí)代，2022，（04）：80-82.

[4]王霞，顧勛梅，潘祝山.離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革及課程建設(shè)研究[J].計(jì)算機(jī)教育，2011，（06）：8-10.

[5]張昆朋，陳媛媛.離散數(shù)學(xué)的課程思政建設(shè)與實(shí)踐[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2023，42（02）：89-91.

（作者單位：貴州大學(xué)人民武裝學(xué)院）

（責(zé)任編輯：袁麗娜）