關(guān)于特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的研究

摘"要：首先，本文介紹矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，進(jìn)一步基于矩陣指數(shù)函數(shù)的定義分析n階對(duì)角型矩陣和m×m若爾當(dāng)塊矩陣這兩種特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式。其次，基于已學(xué)習(xí)的知識(shí)探究使用特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟，通過講解和討論，學(xué)生理解使用特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的重要步驟，即構(gòu)造將方陣轉(zhuǎn)換為對(duì)角型或若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣的方法。最后，通過講解兩個(gè)不同的計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的例子，學(xué)生能夠加強(qiáng)對(duì)該方法的理解與掌握，提升教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：矩陣指數(shù)函數(shù)；特征值；對(duì)角型；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型；教學(xué)效果

矩陣指數(shù)函數(shù)是連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)，在連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析和特征分析中具有重要的作用，也是線性系統(tǒng)理論課程學(xué)習(xí)過程中必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)。

1"矩陣指數(shù)函數(shù)的定義

教師先介紹矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，使學(xué)生理解什么是矩陣指數(shù)函數(shù)，并能夠根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義分析其特征。

設(shè)A是n×n常數(shù)矩陣，則矩陣A的指數(shù)函數(shù)為：

eAt=I+At+12！A2t2+…=∑∞k=01k！Aktk

顯然，矩陣指數(shù)函數(shù)eAt和矩陣A一樣，也是n階方陣，并且該冪級(jí)數(shù)對(duì)所有時(shí)間變量t是絕對(duì)收斂的。

2"兩種特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)

根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，我們可以得到以下兩種特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式。

（1）若矩陣A為n階對(duì)角型常數(shù)矩陣，即A=diag{a1，a2，…，an}，其中diag{}表示對(duì)角型矩陣。根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，將n階對(duì)角型矩陣A帶入矩陣指數(shù)函數(shù)定義式中，可以得到n階對(duì)角型矩陣A的指數(shù)函數(shù)eAt=diag{ea1t，ea2t，…，eant}。

（2）若矩陣A為m×m若爾當(dāng)塊常數(shù)矩陣，即：

A=a1…00

0a…00

00…a1

00…0a。

根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，將m×m若爾當(dāng)塊矩陣A帶入矩陣指數(shù)函數(shù)定義式中，可以得到m×m若爾當(dāng)塊矩陣A的指數(shù)函數(shù)eAt具有如下表達(dá)式：

eAt=eatteatt22！eat…t（m-1）（m-1）！eat

0eatteat…t（m-2）（m-2）！eat

000…teat

000…eat。

通過矩陣指數(shù)函數(shù)的定義式，我們得到了n階對(duì)角型矩陣的指數(shù)函數(shù)eAt的表達(dá)式，也得到了m×m若爾當(dāng)塊矩陣的指數(shù)函數(shù)eAt的表達(dá)式。因此，在計(jì)算矩陣的指數(shù)函數(shù)時(shí)，如果給定的矩陣是n階對(duì)角型矩陣或m×m若爾當(dāng)塊矩陣，我們可以直接寫出對(duì)應(yīng)的矩陣指數(shù)函數(shù)。此外，對(duì)于不具有n階對(duì)角型矩陣或m×m若爾當(dāng)塊矩陣形式的矩陣，我們可以將給定的矩陣轉(zhuǎn)換為n階對(duì)角型矩陣或包含多個(gè)若爾當(dāng)塊矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣，然后計(jì)算出給定矩陣的指數(shù)函數(shù)的數(shù)值。

3"特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)

我們學(xué)習(xí)了矩陣指數(shù)函數(shù)的定義、n階對(duì)角型矩陣的指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式以及m×m若爾當(dāng)塊矩陣的指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式。接下來，我們將進(jìn)一步探究使用特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟。

（1）如果n×n常數(shù)矩陣A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn是兩兩互異的。此時(shí)，存在非奇異變換矩陣p使得A=Pdiag{λ1，λ2，…，λn}P-1。矩陣指數(shù)函數(shù)eAt可以通過計(jì)算等式eAt=Pdiag{eλ1t，eλ2t，…，eλnt}P-1得到。

（2）如果n×n常數(shù)矩陣A有m（mlt;n）個(gè)不同特征值（含重根），矩陣A可轉(zhuǎn)化為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣，存在非奇異變換矩陣Q，使得A=QJQ-1。其中，J=diag{J1，J2，…，Jm}為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣，J1，J2，…，Jm為若爾當(dāng)塊矩陣，矩陣指數(shù)函數(shù)eAt可以通過計(jì)算等式eAt=QeJtQ-1得到。

需要注意的是，只有在n×n常數(shù)矩陣A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn是兩兩互異的情況下，才能夠找到非奇異變換矩陣P，使得常數(shù)矩陣A表示為非奇異變換矩陣P、以n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn為對(duì)角線元素的對(duì)角型矩陣與非奇異變換矩陣P的逆的乘積。根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，將表示為非奇異變換矩陣P、以特征值λ1，λ2，…，λn為對(duì)角線元素的對(duì)角型矩陣與非奇異變換矩陣p的逆的乘積表達(dá)式的矩陣A帶入矩陣指數(shù)函數(shù)定義式中，可以得到矩陣A的指數(shù)函數(shù)為Pdiag{eλ1t，eλ2t，…，eλnt}P-1，也就是eAt=Pdiag{eλ1t，eλ2t，…，eλnt}P-1。此外，在n×n常數(shù)矩陣A的特征值不是兩兩互異的情況下，可以找到非奇異變換矩陣Q，使得常數(shù)矩陣A表示為非奇異變換矩陣Q、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣J與非奇異變換矩陣Q的逆的乘積。根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義，將表示為非奇異變換矩陣Q、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣J與非奇異變換矩陣Q的逆的乘積表達(dá)式的矩陣A帶入矩陣指數(shù)函數(shù)定義式中，可以得到矩陣A的指數(shù)函數(shù)為QeJtQ-1。若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣J由多個(gè)若爾當(dāng)塊矩陣構(gòu)成，所以可以根據(jù)m×m若爾當(dāng)塊矩陣的指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式很容易地得到eJt。

通過探究理解使用特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟，我們知道在求解矩陣指數(shù)函數(shù)時(shí)，其中重要的步驟是構(gòu)造能夠?qū)⒎疥囖D(zhuǎn)換為對(duì)角型或若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣P或Q。為了簡便，我們學(xué)習(xí)一種使用特征向量構(gòu)造非奇異變換矩陣P或Q的方法。

（1）若n×n常數(shù)矩陣A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn兩兩互異，假設(shè)v1，v2，…，vn分別為矩陣A的屬于特征值λ1，λ2，…，λn的特征向量。令由屬于各個(gè)特征值的特征向量為列所構(gòu)成的矩陣為P，即P=［v1"v2"…"vn］，則矩陣A可轉(zhuǎn)換為如下對(duì)角型矩陣：

P-1AP=λ10…0

0λ2…0

00…λn。

（2）若n×n常數(shù)矩陣A有l(wèi)個(gè)不同的特征值λi，i=1，2，…l，l≤n，λi的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)分別為αi、βi，其中βi≤αi且α1+α2+…+αl=n。令由屬于各個(gè)特征值的廣義特征向量為列所構(gòu)成的矩陣為Q，則矩陣A可轉(zhuǎn)換為如下若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣：

Q-1AQ=J10…0

0J2…0

00…Jn。

其中Ji為相應(yīng)于特征值λi的若爾當(dāng)塊，Ji可表示為由βi個(gè)若爾當(dāng)塊所組成的對(duì)角分塊矩陣，即：

（Ji）αi×αi=Ji10…0

0Ji2…0

00…Jiβi（i=1，2，…，l），

（Jik）rik×rik=λi1…00

0λi…00

00…λi1

00…0λi（k=1，2，…，βi，ri1+ri2+…+riβi=αi）。

上述給出了使用特征向量構(gòu)造將n×n常數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)換為對(duì)角型矩陣的非奇異變換矩陣P的方法，也給出了使用特征向量構(gòu)造將n×n常數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)換為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的非奇異變換矩陣Q的方法。對(duì)于初學(xué)者來說，需要注意熟練掌握計(jì)算n×n常數(shù)矩陣A的特征值的方法，在計(jì)算特征值的時(shí)候，要注意判斷矩陣A的特征值是否是兩兩互異的。在矩陣A的特征值是兩兩互異的情況下，令屬于各個(gè)特征值的特征向量為列能夠構(gòu)造出使n×n常數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)換為對(duì)角型矩陣的非奇異變換矩陣P。在矩陣A的特征值不是兩兩互異而是有重特征值的情況下，令屬于各個(gè)特征值的廣義特征向量為列能夠構(gòu)造出使n×n常數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)換為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的非奇異變換矩陣Q。在構(gòu)造好能夠使n×n常數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)換為對(duì)角型矩陣或者若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的非奇異變換矩陣之后，通過左乘非奇異變換矩陣，右乘非奇異變換矩陣的逆，可以得到n×n常數(shù)矩陣A表示為非奇異變換矩陣、對(duì)角型矩陣或者若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣、非奇異變換矩陣的逆的乘積的等式。進(jìn)一步可以根據(jù)特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟、n階對(duì)角型矩陣的指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式，以及m×m若爾當(dāng)塊矩陣的指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式，計(jì)算出所要求解的矩陣指數(shù)函數(shù)的數(shù)值。

4"特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的例子

我們已經(jīng)分析理解了使用特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟，并掌握了兩種特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式，也學(xué)習(xí)了方陣轉(zhuǎn)換為對(duì)角型或若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的方法。下面我們將通過講解兩個(gè)計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的例子，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)使用特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟的理解與掌握。

例1"已知矩陣A=01

-23，試求矩陣A的指數(shù)函數(shù)eAt。

解：第一步，計(jì)算矩陣A的特征值。根據(jù)矩陣A的特征方程λI-A=λ-1

2λ-3=λ（λ-3）+2=（λ-1）（λ-2）=0，可得矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=2。

第二步，計(jì)算非奇異變換矩陣P。首先，計(jì)算特征值λ1對(duì)應(yīng)的特征向量v1，求解方程（λ1I-A）v1=0，可得v1=1

1。然后，計(jì)算特征值λ2對(duì)應(yīng)的特征向量v2，求解方程（λ2I-A）v2=0，可得v2=1

2。由此可以構(gòu)造使矩陣A轉(zhuǎn)換為以特征值λ1、λ2為對(duì)角線元素的對(duì)角型矩陣的非奇異變換矩陣P=11

12，計(jì)算可得P-1=2-1

-11，P-1AP=10

02。因此，矩陣A可表示為A=P10

02P-1。

第三步，計(jì)算矩陣A的指數(shù)函數(shù)eAt。

eAt=Peλ1t0

0eλ2tP-1=11

12et0

0e2t2-1

-11=2et-e2t-et+e2t

2et-2e2t-et+2e2t。

例2"已知矩陣A=010

001

2-54，試求矩陣A的指數(shù)函數(shù)eAt。

解：第一步，計(jì)算矩陣A的特征值。根據(jù)矩陣A的特征方程λI-A=λ-10

0λ-1

-25λ-4=（λ-1）2（λ-2）=0，可得矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=2。

第二步，計(jì)算非奇異變換矩陣Q。首先，計(jì)算特征值λ1對(duì)應(yīng)的特征向量v1，求解方程（λ1I-A）v1=0，可得v1=1

1

1。然后，計(jì)算屬于λ1=λ2=1的廣義特征向量v2，求解方程（A-λ1I）v2=v1，可得v2=0

1

2。其后，計(jì)算特征值λ3對(duì)應(yīng)的特征向量v3，求解方程（λ3I-A）v3=0，可得v3=1

2

4。由此可以構(gòu)造使矩陣A轉(zhuǎn)換為若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣J的非奇異變換矩陣Q=101

112

124，計(jì)算可得Q-1=02-1

-23-1

1-21，Q-1AQ=J=110

010

002。因此，矩陣A可表示為A=QJQ-1。

第三步，計(jì)算矩陣A的指數(shù)函數(shù)eAt。

eAt=QeJtQ-1

=101

112

124ettet0

0et0

00e2t02-1

-23-1

1-21

=-2tet+e2t3tet+2et-2e2t-tet-et+e2t

-2tet-2et+2e2t3tet+5et-4e2t-tet-2et+2e2t

-2tet-4et+4e2t3tet+8et-8e2t-tet-3et+4e2t。

5"結(jié)論

連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)中普遍存在，其基本結(jié)論和分析方法是運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)，因此連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析是線性系統(tǒng)理論課程學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)。求解系統(tǒng)矩陣指數(shù)函數(shù)是連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)，也是一個(gè)難點(diǎn)。當(dāng)已知系統(tǒng)矩陣A時(shí)，求解其指數(shù)函數(shù)可以選擇特征值法，這種方法步驟簡單，學(xué)生容易理解且易于使用。在使用特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)時(shí)，首先計(jì)算矩陣A的特征值；其次根據(jù)特征值是兩兩互異還是含有重特征值這兩種情形，進(jìn)一步計(jì)算使矩陣A轉(zhuǎn)換為對(duì)角型或若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣；最后根據(jù)已學(xué)習(xí)的兩種特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式計(jì)算矩陣A的指數(shù)函數(shù)。在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生使用特征值法求解矩陣指數(shù)函數(shù)，使學(xué)生能夠熟練使用該方法。

參考文獻(xiàn)：

［1］鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002.

［2］周武能，童東兵，代安定，等.線性系統(tǒng)基礎(chǔ)理論［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2014.

［3］姜長生，吳慶憲，江駒，等.線性系統(tǒng)理論與設(shè)計(jì)［M］.北京：科學(xué)出版社，2008.

［4］張俊祖，姜根明，馮復(fù)科.矩陣指數(shù)函數(shù)的一種計(jì)算［J］.長安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，26（01）：108110.

項(xiàng)目基金：安徽工程大學(xué)教研項(xiàng)目（2024szyzk62，2022jyxm88，2022szyzk14）

作者簡介：劉鈺妃（1995—"），女，漢族，河南登封人，博士，講師，研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)建模。