汽車盤式制動器尖叫聲仿真研究

【摘要】針對某乘用車前制動器低頻尖叫問題，建立了制動系統(tǒng)穩(wěn)定性分析有限元模型及多工況矩陣，利用復(fù)模態(tài)分析方法對該制動系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，系統(tǒng)在1 830 Hz頻率下出現(xiàn)不穩(wěn)定模態(tài)，與實(shí)車制動尖叫試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。采用組件貢獻(xiàn)和模態(tài)貢獻(xiàn)分析方法對不穩(wěn)定模態(tài)進(jìn)行了分析，結(jié)果顯示，制動鉗的一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)和摩擦片的一階彎曲模態(tài)貢獻(xiàn)顯著，并對制動鉗和摩擦片進(jìn)行了優(yōu)化，仿真結(jié)果表明，制動鉗結(jié)構(gòu)加強(qiáng)后系統(tǒng)1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)趨于穩(wěn)定，摩擦片材料及結(jié)構(gòu)調(diào)整后，系統(tǒng)穩(wěn)定性得到改善，但仍處于不穩(wěn)定區(qū)間，噪聲難以消除，與試驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果一致，主觀評價結(jié)果為可接受。

主題詞：盤式制動器 制動尖叫 復(fù)模態(tài)分析 穩(wěn)定性分析 貢獻(xiàn)分析

中圖分類號：TB535 " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A " DOI： 10.19620/j.cnki.1000-3703.20221195

Research on Simulation of Automotive Disc Brake Squeal

Yang Shukai1，2， Deng Jianjiao1，2， Hou Hangsheng1，2， Liu Tao1， Shen Yuanhang1

（1. Global Ramp;D Center， China FAW Corporation Limited， Changchun 130013; 2. National Key Laboratory of Advanced Vehicle Integration and Control， Changchun 130013）

【Abstract】To address the issue of front brake low-frequency squeal of passenger car， a mathematical model and multi-condition matrix of stability analysis of braking system were established， and stability of the braking system was analyzed with complex mode simulation. The results show that the unstable mode appears in the system under 1 830 Hz， which is in good agreement with the vehicle brake squeal test results. Components and their modal contribution analysis method were used to analyze the unstable mode. The results show that the first torsional mode of the caliper and the first bending mode of the pad are the biggest contributors to the unstable mode. The brake caliper and pad were optimized. The results show that the 1 830 Hz unstable mode becomes stable after the caliper structure is strengthened， the system stability is improved after the pad material and structure adjustment， whereas it is still in the unstable interval， and the squeal is difficult to remove， which is consistent with the experimental results， and the subjective evaluation result is acceptable.

Key words： Disc brake system， Brake squeal， Complex modes simulation， Stability analysis， Contribution analysis

【引用格式】 楊樹凱， 鄧建交， 侯杭生， 等. 汽車盤式制動器尖叫聲仿真研究[J]. 汽車技術(shù)， 2024（7）： 55-62.

YANG S K， DENG J J， HOU H S， et al. Research on Simulation of Automotive Disc Brake Squeal[J]. Automobile Technology， 2024（7）： 55-62.

1 前言

盤式制動器的制動尖叫是一種單頻噪聲，頻率范圍為1.5～20.0 kHz，聲壓級幅值可高達(dá)100 dB（A）以上，且聲品質(zhì)很差，發(fā)生機(jī)理復(fù)雜。一般認(rèn)為低于4 kHz的制動尖叫為低頻尖叫，高于4 kHz的尖叫為高頻尖叫。低頻尖叫聲壓級大，分析和改進(jìn)難度高，是行業(yè)研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對制動尖叫聲發(fā)生機(jī)理及分析方法進(jìn)行了深入研究[1-7]。模擬分析是制動尖叫問題優(yōu)化的重要手段，包括頻域穩(wěn)定性分析和時域非線性響應(yīng)分析。時域分析法在摩擦激勵的建模方面研究不夠，計算精度難以滿足工程應(yīng)用需求。頻域分析方法是對摩擦耦合引起的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題進(jìn)行分析，目前應(yīng)用較多，國內(nèi)對穩(wěn)定性分析的理論和有限元建模方法展開了較多研究，但在關(guān)鍵組件模態(tài)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響方面研究不夠。

本文結(jié)合某乘用車前制動系統(tǒng)低頻尖叫聲問題，在對制動系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上建立該制動系統(tǒng)的有限元模型，基于復(fù)模態(tài)分析方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，采用組件貢獻(xiàn)分析方法研究系統(tǒng)特定頻率下不穩(wěn)定模態(tài)的形成原因和優(yōu)化方法，并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

2 制動系統(tǒng)穩(wěn)定性分析數(shù)學(xué)模型

帶有粘性阻尼的N自由度線性振動系統(tǒng)的動力學(xué)方程表達(dá)式為：

M[u]（t）+C[u]（t）+Ku（t）=q（t） （1）

式中：u為系統(tǒng)位移向量，M為質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣，q為系統(tǒng)所受外力。

為研究系統(tǒng)自身的固有屬性，設(shè)外力q為0，則系統(tǒng)動力學(xué)表達(dá)式為：

M[u]（t）+C[u]（t）+Ku（t）=0 （2）

在阻尼矩陣為一般阻尼矩陣、剛度矩陣不對稱的情況下，上述方程在實(shí)數(shù)域內(nèi)無法進(jìn)行模態(tài)分析，需在復(fù)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行復(fù)特征值分析，研究其穩(wěn)定性。

此時設(shè)方程存在諧波解，并設(shè)解的形式為：

u（t）=φeλt （3）

式中：φ為復(fù)數(shù)特征向量，λ為復(fù)特征值。

代入式（2）整理得到2N個特征值λi=α±jω， i=1，2，…，2N，其中α、ω分別為特征值的實(shí)部和虛部，相應(yīng)得到2N個特征向量φi，其中共軛的特征值和特征向量引起系統(tǒng)的振動具有實(shí)際意義：

[u（t）=φieλit+φi+1eλi+1t=2φeαtcosωt] （4）

可見，α表征了系統(tǒng)振動的衰減程度：αlt;0時，共軛的復(fù)模態(tài)會引起系統(tǒng)的減幅振動，是一種穩(wěn)定的減幅振動模式；α=0時，共軛的復(fù)模態(tài)會引起系統(tǒng)的等幅振動，是一種臨界穩(wěn)定的振動模式；αgt;0時，共軛的復(fù)模態(tài)會引起系統(tǒng)的增幅振動，是一種不穩(wěn)定的振動模式。

制動系統(tǒng)是否會產(chǎn)生不穩(wěn)定模態(tài)取決于系統(tǒng)剛度和阻尼矩陣。應(yīng)用有限元方法對制動系統(tǒng)進(jìn)行離散可得到制動系統(tǒng)的動力學(xué)方程，在摩擦片與制動盤等接觸摩擦處進(jìn)行離散得到摩擦阻尼矩陣Cf和摩擦剛度矩陣Kf，制動系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的動力學(xué)方程變?yōu)椋?/p>

M[u]（t）+（C+Cf）[u]（t）+（K+Kf）u（t）=0 （5）

其中，Kf和Cf是使系統(tǒng)產(chǎn)生不穩(wěn)定模態(tài)的原因。制動系統(tǒng)接觸摩擦模型如圖1所示。

對制動盤與摩擦片的接觸摩擦面進(jìn)行有限元離散得到制動盤上的節(jié)點(diǎn)i和摩擦片上節(jié)點(diǎn)j，設(shè)單元坐標(biāo)系為UOV、摩擦因數(shù)為μ、接觸剛度為Kfij，兩節(jié)點(diǎn)間垂向力和切向摩擦力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的矩陣表達(dá)式為：

[FUiFViFUjFVj=-K0K0μK0-μK0K0-K0-μK0μK0UiViUjVj] （6）

式中：Ui、Vi分別為節(jié)點(diǎn)i的法向位移、切向位移，F(xiàn)Ui、FVi分別為節(jié)點(diǎn)i的法向力、切向力。

顯然，所有接觸摩擦面上離散后產(chǎn)生的剛度矩陣Kf是非對稱的，從而（K+Kf）是非對稱的。剛度矩陣不對稱意味著在一定條件下特征矩陣不對稱，其特征根實(shí)部可能為正，系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定模態(tài)。

Cf是由摩擦引起的系統(tǒng)阻尼矩陣，其是否正定取決于摩擦力與切向相對滑動速度的關(guān)系，圖2所示的斯特里貝克（Stribeck）模型表征了摩擦力-相對速度的關(guān)系特性[7-8]。

該模型全面表達(dá)了摩擦力與相對滑動速度的關(guān)系，設(shè)節(jié)點(diǎn)間切向位移為ut，則摩擦力Ff為：

Ff=a1（?ut/?t） （7）

式中：?ut/?t為相對滑動速度，a1為斜率。

如前文所述，應(yīng)用有限元法對制動盤與摩擦片的接觸摩擦面進(jìn)行離散，則節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j相對滑動產(chǎn)生的摩擦阻尼系數(shù)為a1。當(dāng)滑動發(fā)生在動、靜摩擦切換階段時，a1為負(fù)值，即摩擦力和相對滑動呈負(fù)斜率特性。這樣，所有接觸摩擦面上離散后產(chǎn)生的摩擦阻尼矩陣Cf為負(fù)，從而系統(tǒng)阻尼矩陣（C+Cf）可能為負(fù)，意味著系統(tǒng)可能出現(xiàn)不穩(wěn)定模態(tài)。

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析有限元模型

3.1 制動系統(tǒng)有限元模型

本文結(jié)合某乘用車前制動系統(tǒng)開發(fā)過程中出現(xiàn)的1 830 Hz低頻尖叫問題展開建模與分析。前懸架系統(tǒng)的約束及其組件模態(tài)對制動系統(tǒng)低頻模態(tài)具有影響，有限元模型除制動盤、制動鉗、摩擦片等制動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組件外，還包括懸架組件。

為保證模型精度，各組件和摩擦片材料參數(shù)、各接觸摩擦處摩擦因數(shù)及懸架各連接襯套動剛度均通過試驗(yàn)獲取，制動盤、鉗體、摩擦片等組件的關(guān)鍵模態(tài)均進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。所建立的制動系統(tǒng)穩(wěn)定性分析有限元模型如圖3所示。

模型中實(shí)體單元共251 269個，單元節(jié)點(diǎn)共359 192個，摩擦片、制動盤及制動鉗之間的接觸摩擦對共12處，其他接觸摩擦對共5處，彈性連接單元共11處。

3.2 摩擦片建模與材料特性修正

摩擦材料為各向異性材料，其參數(shù)對摩擦片模態(tài)和系統(tǒng)穩(wěn)定性有重要影響，因此摩擦片模型的模態(tài)分析結(jié)果需要較高的精度。本文通過超聲波法測取摩擦材料的各向材料參數(shù)[8-9]。超聲波法能方便地測取各向異性材料的參數(shù)，其為動彈性模量法，測試結(jié)果通常比實(shí)際彈性模量大，會存在系統(tǒng)偏差[10]。本文以超聲波法測得的材料參數(shù)為初始值，以試驗(yàn)測試的摩擦片自由模態(tài)為參照，反復(fù)調(diào)整摩擦材料法向和切向參數(shù)，使計算模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)趨于一致，從而得到修正的摩擦片各向材料特性。

影響系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的主要因素是摩擦片的第一階和第二階彎扭自由模態(tài)，其中對低頻不穩(wěn)定模態(tài)產(chǎn)生影響的主要是第一階彎扭自由模態(tài)。本文采用超聲波法和摩擦片模態(tài)試驗(yàn)相結(jié)合得到修正材料參數(shù)，計算獲得的摩擦片前四階模態(tài)與試驗(yàn)?zāi)B(tài)的頻率誤差均小于2%。修正前、后的材料參數(shù)如表1所示，修正后摩擦片一階彎曲和扭轉(zhuǎn)自由模態(tài)的計算和試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。表1中，E1、E2分別為徑向和切向彈性模量，E3為法向彈性模量，G12、G13、G23為剪切模量，U12、U13、U23為泊松比。

4 系統(tǒng)穩(wěn)定性模擬分析

4.1 模擬計算工況

制動尖叫聲是在特定的制動壓力、速度、行車方向和接觸摩擦狀態(tài)下發(fā)生的。制動系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析也需在相應(yīng)的制動壓力、摩擦因數(shù)、轉(zhuǎn)速和行車方向等具體工況下進(jìn)行。本文根據(jù)制動噪聲典型發(fā)生工況及實(shí)際制動工況建立系統(tǒng)穩(wěn)定性分析多工況矩陣，如表2所示。該矩陣包括制動系統(tǒng)發(fā)生噪聲的35個典型工況，系統(tǒng)穩(wěn)定性分析在這些工況下進(jìn)行。

4.2 系統(tǒng)復(fù)模態(tài)穩(wěn)定性評判

系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)是否能在摩擦激勵下產(chǎn)生噪聲與系統(tǒng)阻尼和模態(tài)頻率相關(guān)[11]。本文采用阻尼線來評判系統(tǒng)模態(tài)的穩(wěn)定性，阻尼線即系統(tǒng)的負(fù)阻尼系數(shù)函數(shù)，定義為：

ci=-2αi/ωi （8）

式中：αi、ωi分別為系統(tǒng)第i階特征值的實(shí)部和虛部，ci為負(fù)阻尼系數(shù)。

在阻尼系數(shù)一定的情況下，特征值實(shí)部隨頻率線性增加?？梢?，采用阻尼線評判系統(tǒng)的穩(wěn)定性，允許系統(tǒng)高頻模態(tài)具有較大的發(fā)散性，這與系統(tǒng)高頻振動易被系統(tǒng)阻尼消耗的實(shí)際情況相符。

系統(tǒng)負(fù)阻尼系數(shù)小于0的模態(tài)為不穩(wěn)定模態(tài)，系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼系數(shù)越小，表明系統(tǒng)穩(wěn)定性越差，越容易產(chǎn)生噪聲。通常，系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼系數(shù)小于-0.01，則需要優(yōu)化。部分整車制造商將這一臨界值設(shè)定為-0.005。

4.3 模擬分析結(jié)果

通過表2確定的多工況矩陣對所建立的制動系統(tǒng)模型進(jìn)行了35輪復(fù)模態(tài)分析，這里僅給出行車和倒車工況摩擦因數(shù)為0.5和0.6的計算結(jié)果，如圖5所示。

由圖5a、圖5b可知，2種摩擦因數(shù)條件下均出現(xiàn)1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)，該不穩(wěn)定模態(tài)隨制動壓力的減小而變差，在摩擦因數(shù)為0.6和壓力為0.3 MPa的工況下負(fù)阻尼系數(shù)達(dá)最小值-0.036。由圖5c、圖5d可知，倒車工況也出現(xiàn)1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)，該不穩(wěn)定模態(tài)在壓力為0.3 MPa時負(fù)阻尼系數(shù)達(dá)到最小值-0.033，2種摩擦因數(shù)下相差不大。

行車和倒車工況出現(xiàn)的1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼系數(shù)最小值達(dá)-0.036，穩(wěn)定性差，需要優(yōu)化。該不穩(wěn)定模態(tài)的模態(tài)振型如圖6所示。

4.4 模型驗(yàn)證

采用國際通用標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)方法SAE J2521[12]對該制動系統(tǒng)進(jìn)行臺架試驗(yàn)分析。臺架試驗(yàn)發(fā)生尖叫聲的結(jié)果及評分情況分別如圖7和圖8所示，圖8中，前后制動為行車和倒車減速制動工況，拖拽制動指小制動壓力的恒速制動工況。

由圖7可知，行車和倒車制動均出現(xiàn)了1 840 Hz的尖叫聲，最大噪聲聲壓級接近105 dB（A）。由圖8可知，前后制動和拖拽制動工況下制動尖叫聲試驗(yàn)結(jié)果評分分別達(dá)到5分和低于5分，噪聲表現(xiàn)均不可接受。模擬分析中1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)與試驗(yàn)結(jié)果一致性良好。

5 不穩(wěn)定模態(tài)的貢獻(xiàn)分析

為分析各組件對系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的貢獻(xiàn)，本文采用組件貢獻(xiàn)和組件模態(tài)貢獻(xiàn)分析方法，對系統(tǒng)1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)進(jìn)行分析，以找到貢獻(xiàn)大的組件及其模態(tài)，從而有針對性地進(jìn)行穩(wěn)定性優(yōu)化。

各組件對系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的貢獻(xiàn)量、各組件自由模態(tài)對系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的貢獻(xiàn)量分別為：

[CF=wcφkc2c=1Nwcφkc2] （9）

CM=|φcjφck|2/（|φcj|2|φck|2） （10）

式中：CF為組件貢獻(xiàn)量，φck為組件c在系統(tǒng)第k階不穩(wěn)定模態(tài)向量中的向量子集，wc為組件c的權(quán)重系數(shù)，N為所有參與計算的組件數(shù)量，CM為組件模態(tài)貢獻(xiàn)量，φcj為組件c的第j階歸一化自由模態(tài)向量。

為分析各組件及其自由模態(tài)對系統(tǒng)1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)的貢獻(xiàn)，分別計算制動鉗、制動盤、支架、摩擦片和轉(zhuǎn)向節(jié)的自由模態(tài)，并根據(jù)式（9）和式（10）求取各組件對該系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的貢獻(xiàn)，結(jié)果如圖9、圖10所示。

由圖9可知，各組件對系統(tǒng)1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)的貢獻(xiàn)由大到小依次為制動鉗、摩擦片和制動盤。由圖10可知：制動鉗第一階模態(tài)對該不穩(wěn)定模態(tài)貢獻(xiàn)最大，貢獻(xiàn)占83%；內(nèi)、外制動摩擦片第一階模態(tài)對該不穩(wěn)定模態(tài)貢獻(xiàn)居第2位，貢獻(xiàn)占72%；制動盤的第四階和第五階模態(tài)對該不穩(wěn)定模態(tài)的貢獻(xiàn)分別占45%和30%。因此，改進(jìn)制動鉗和制動摩擦片第一階模態(tài)對優(yōu)化該不穩(wěn)定模態(tài)最有效。

6 制動鉗結(jié)構(gòu)模態(tài)的優(yōu)化分析

6.1 制動鉗的改進(jìn)分析

原制動鉗的第一階自由模態(tài)為一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，振型主要為腹部扭轉(zhuǎn)變形，模態(tài)頻率為1 960 Hz，其有限元模型及一階扭轉(zhuǎn)自由模態(tài)如圖11所示。

為提高制動鉗抗扭能力，將原制動鉗腹部進(jìn)行了加強(qiáng)設(shè)計，改進(jìn)后制動鉗結(jié)構(gòu)及其一階扭轉(zhuǎn)自由模態(tài)振型如圖12所示。改進(jìn)后制動鉗的一階扭轉(zhuǎn)自由模態(tài)頻率達(dá)到2 600 Hz，提升顯著。

圖13所示為制動鉗改進(jìn)后系統(tǒng)穩(wěn)定性計算結(jié)果。裝配改進(jìn)制動鉗后，系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的最小負(fù)阻尼系數(shù)得到顯著增加，行車和倒車制動工況的最小負(fù)阻尼系數(shù)均大于-0.005，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，改進(jìn)效果良好。

6.2 摩擦片的改進(jìn)分析

由前文可知，摩擦片對系統(tǒng)1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)的貢獻(xiàn)主要是第一階彎曲自由模態(tài)，其模態(tài)頻率為2 296 Hz。原摩擦片結(jié)構(gòu)及其一階彎曲自由模態(tài)振型如圖14所示。同時對摩擦片材料和結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計：材料由低金屬材料改為非金屬材料，其修正前、后材料特性參數(shù)如表3所示；對原摩擦片進(jìn)行了開槽和倒角，如圖14所示。改進(jìn)后摩擦片的一階彎曲自由模態(tài)頻率為1 590 Hz。

圖15所示為采用改進(jìn)后摩擦片對系統(tǒng)穩(wěn)定性計算的結(jié)果?？梢?，摩擦片改進(jìn)后，在行車和倒車工況下，系統(tǒng)1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)的負(fù)阻尼系數(shù)均較大幅度增加，穩(wěn)定性得到明顯改善，但在摩擦因數(shù)為0.6時行車和倒車的最小負(fù)阻尼系數(shù)仍為-0.024，沒有達(dá)到可接受的穩(wěn)定區(qū)，改善效果不夠理想。

7 改進(jìn)措施的試驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)上述模擬分析結(jié)果，制動鉗和摩擦片的優(yōu)化方案對系統(tǒng)1 830 Hz不穩(wěn)定模態(tài)均有優(yōu)化效果，由于制動鉗結(jié)構(gòu)修改對設(shè)計和布置變動很大，實(shí)現(xiàn)難度大，僅試制了改進(jìn)方案摩擦片樣件，并進(jìn)行了SAE J2521臺架試驗(yàn)分析。

圖16所示為摩擦片改進(jìn)后的臺架試驗(yàn)結(jié)果，與原摩擦片方案試驗(yàn)結(jié)果對比可知，改進(jìn)方案尖叫聲的大小和概率均有較大幅度降低。拖拽工況評分的最差點(diǎn)也在6.5分以上區(qū)域，行車和倒車工況評分均達(dá)到8～10分區(qū)域，且噪聲聲壓級最大值減小10 dB（A）以上。整車試驗(yàn)結(jié)果表明，該噪聲在低車速低壓制動時噪聲仍然存在，但噪聲發(fā)生概率和強(qiáng)度明顯改善，主觀評價可以接受。

8 結(jié)束語

本文基于某乘用車前制動系統(tǒng)低頻尖叫噪聲問題，建立了制動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和有限元模型，對系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行了模擬分析，應(yīng)用多工況分析矩陣、阻尼線法及貢獻(xiàn)分析方法對系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)進(jìn)行了研究，分析了不穩(wěn)定模態(tài)產(chǎn)生的原因，給出改進(jìn)措施，并進(jìn)行了驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

a.制動系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析應(yīng)考慮典型制動工況，本文建立的復(fù)模態(tài)分析35工況矩陣，包含了典型的制動工況，適用于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。

b.評價制動系統(tǒng)模態(tài)的穩(wěn)定可以采用復(fù)特征值實(shí)部，也可以采用負(fù)阻尼系數(shù)。負(fù)阻尼系數(shù)包含了特征值實(shí)部和虛部對系統(tǒng)穩(wěn)定性的共同影響，更適合工程應(yīng)用。

c.組件貢獻(xiàn)量及組件模態(tài)貢獻(xiàn)量分析方法可以定量分析關(guān)鍵組件及其關(guān)鍵模態(tài)對系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的影響，用于量化研究不穩(wěn)定模態(tài)的成因，指導(dǎo)不穩(wěn)定模態(tài)的改進(jìn)分析。

參 考 文 獻(xiàn)

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（責(zé)任編輯 斛 畔）

修改稿收到日期為2024年2月22日。