基于浮動(dòng)映射法的動(dòng)力電池包散熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

【摘要】針對(duì)電動(dòng)汽車運(yùn)行過程中，電池溫度呈現(xiàn)中間高、四周低的分布，從而影響電池使用壽命的問題，以幾何平均溫度為目標(biāo)函數(shù)，提出基于浮動(dòng)映射拓?fù)鋬?yōu)化的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，通過算例對(duì)比分析了單工況和多工況動(dòng)力電池包的最高溫度及溫差。分析結(jié)果表明，所得到的拓?fù)錁?gòu)型在多工況時(shí)可以有效降低散熱過程中的最高溫度和溫差，使溫度分布均勻。最后將該方法運(yùn)用到動(dòng)力電池包支撐結(jié)構(gòu)中，結(jié)果表明，該方法在有效降低溫度的同時(shí)，不增加電池包結(jié)構(gòu)的體積，優(yōu)化了材料的分布，實(shí)現(xiàn)了電池包整體結(jié)構(gòu)的輕量化。

主題詞：浮動(dòng)映射法 拓?fù)鋬?yōu)化 動(dòng)力電池包散熱 輕量化

中圖分類號(hào)：TU318 " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A " DOI： 10.19620/j.cnki.1000-3703.20230255

Heat Dissipation Design of Power Battery Pack Structure Based

on FPTO Method

Huang Dengfeng1，2， Zhou Shunshun1，2， Yan Xiaolei1，2， Zha Yunfei1，2

（1. Fujian University of Technology， Fuzhou 350118；2. Fujian Key Laboratory of Automotive Electronics and Electric Drive，F(xiàn)uzhou 350118）

【Abstract】As the battery temperature shows a high distribution in the middle and low distribution around during the operation of electric vehicles， it affects the battery service life. To this end， a steady-state heat conduction structure design method based on Floating Projection Topology Optimization （FPTO） is proposed using the geometric mean temperature as the objective function， and the maximum temperature and temperature difference of the power battery pack under single and multiple operating conditions are comparatively analyzed by means of an arithmetic example， which demonstrates that the obtained topological configuration can effectively reduce the maximum temperature and temperature difference in the heat dissipation process during the multiple operating conditions， so as to make the temperature distribution uniform. Finally， the method is applied to the power battery pack support structure， and the results show that the method effectively reduces the temperature without increasing the volume of the battery pack structure， optimizes the distribution of materials， and realizes lightweight of the overall structure of the battery pack.

Key words： FPTO method， Topology optimization， Power battery pack， Heat dissipation， Light weighting

【引用格式】 黃登峰， 周順順， 閆曉磊， 等. 基于浮動(dòng)映射法的動(dòng)力電池包散熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[J]. 汽車技術(shù)， 2024（7）： 37-43.

HUANG D F， ZHOU S S， YAN X L， et al. Heat Dissipation Design of Power Battery Pack Structure Based on FPTO Method[J]. Automobile Technology， 2024（7）： 37-43.

1 前言

鋰離子電池包作為電動(dòng)汽車的核心部件之一[1]，在放電過程中對(duì)溫度變化敏感，需保證其工作在適當(dāng)?shù)臏囟确秶鷥?nèi)，才能充分發(fā)揮其性能[2]。

利用電池?zé)峁芾硐到y(tǒng)鋪設(shè)散熱片的方法可以對(duì)電池進(jìn)行散熱，但同時(shí)也增大了其體積和質(zhì)量。而采用熱拓?fù)浞椒ǎ粌H節(jié)約材料、降低成本，還能優(yōu)化動(dòng)力電池包的散熱效果。因此，采取拓?fù)鋬?yōu)化方法[3]實(shí)現(xiàn)實(shí)際工程中的熱防護(hù)及輕量化具有重要的研究意義。

拓?fù)鋬?yōu)化是在給定的設(shè)計(jì)域內(nèi)尋求最佳材料分布的方法。應(yīng)用較多的方法包括變密度法[4]、水平集法[5]、進(jìn)化法[6]、均勻化[7]法等。Rodrigues[8]首次將拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用到熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，研究了穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題。Nishiwaki[9]以結(jié)構(gòu)總體勢(shì)能為目標(biāo)函數(shù)，得到了最佳的穩(wěn)態(tài)散熱拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。王定標(biāo)等[10]運(yùn)用熱拓?fù)浞椒?，以平均溫度最低為目?biāo)函數(shù)，對(duì)電子元件散熱結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。喬赫廷等[11]引入幾何平均溫度作為目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了最高溫度最小化。侯麗園等[12]通過比較最優(yōu)構(gòu)型中的溫度指標(biāo)值和散熱弱度值等，總結(jié)出各目標(biāo)函數(shù)對(duì)不同工況的適用性。Xue等[13]將散熱弱度指標(biāo)應(yīng)用于電池包結(jié)構(gòu)散熱中，以溫度作為約束條件，在滿足溫度要求的同時(shí)，使電池包結(jié)構(gòu)強(qiáng)度最大。Kambampati等[14]通過p范數(shù)[15]近似得出電池包結(jié)構(gòu)熱處的最高溫度，采用水平集方法得到最高溫度下的拓?fù)錁?gòu)型。以上熱傳導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化方法得到的結(jié)果未考慮如中間密度單元、邊界不清晰、鋸齒狀、精度差等問題。

浮動(dòng)映射（Floating Projection Topology Optimization，F(xiàn)PTO）法[16]能夠處理得到邊界清晰且光滑的拓?fù)錁?gòu)型。為此本文以FPTO法為基礎(chǔ)，采用幾何平均溫度為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行熱拓?fù)鋬?yōu)化，開展動(dòng)力電池包支撐結(jié)構(gòu)散熱設(shè)計(jì)，以解決動(dòng)力電池放電過程中溫度分布不均及熱集中等問題，獲得便于制造、散熱效率高的結(jié)構(gòu)。

2 FPTO算法原理

2.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型

基于FPTO法的結(jié)構(gòu)散熱設(shè)計(jì)包括確定設(shè)計(jì)變量、確定目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式和確定約束條件。圖1為設(shè)計(jì)域模型，其中[Ω1]為實(shí)材料區(qū)域，[Ω0]為空材料區(qū)域，[?Ω]為邊界區(qū)，[Q]為溫度載荷向量，設(shè)計(jì)域左側(cè)固定。

本文基于浮動(dòng)映射法，通過[p]范數(shù)近似模擬電池包在發(fā)熱過程中的最高溫度，以電池包中幾何平均溫度最小化為目標(biāo)函數(shù)，建立優(yōu)化模型如下：

[find " x=x1，x2，…，xnmin " Tpn=1Ni=1Ntip1p s.t： i=1nxivi≤f?V0 " " " " " " " " " " " K（xi）T=Qxi=1 " " " " " " 當(dāng) "xi∈Ω1 " "xi=xmin " " " " 當(dāng) "xi∈Ω0; "i=1，2，...，nxminlt;xilt;1 當(dāng) "xi∈?Ω] （1）

式中：xi為設(shè)計(jì)變量，取值范圍通常為[xmin，1]，為避免求解矩陣奇異，xmin通常取值為0.001；K為結(jié)構(gòu)的整體傳熱系數(shù)矩陣；Q為溫度載荷向量；T為節(jié)點(diǎn)溫度向量；n為設(shè)計(jì)域內(nèi)單元總數(shù)；vi為單元體積；V0為初始狀態(tài)下總體積；f為設(shè)定的體積分?jǐn)?shù)；ti表示第[i]個(gè)單元節(jié)點(diǎn)的溫度；N為設(shè)計(jì)域內(nèi)單元節(jié)點(diǎn)總數(shù)；T pn為幾何平均溫度；p為凝聚參數(shù)，p取值越大，越接近最高溫度，在實(shí)際問題中較大的p值易引發(fā)迭代振蕩、收斂困難等問題，根據(jù)數(shù)值測(cè)試結(jié)果，本文p取值為16[17]。

2.2 線性材料插值模型及靈敏度分析

采用浮動(dòng)映射法求解散熱問題時(shí)，單元材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)與單元密度之間采用無懲罰的線性插值模型，存在如下關(guān)系：

[Ei=xiE0] （2）

式中：E0為材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)，[Ei]為插值后的單元熱傳導(dǎo)系數(shù)。

求解以幾何平均溫度為目標(biāo)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度時(shí)，由于存在隱式項(xiàng)，無法直接求解，故構(gòu)造拉格朗日向量伴隨方程，其目標(biāo)函數(shù)如下：

[f=Tpn+λTQ-KT] （3）

式中：[λ]為任意值，故引入拉格朗日向量構(gòu)造出的新目標(biāo)函數(shù)與原來的目標(biāo)函數(shù)值是等價(jià)的。

對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)得：

[?f?xi=?Tpn?xi+?λT（Q-KT）?xi] （4）

其中：

[?Tpn?xi=?Tpn?ti?ti?xi=1Ni=1Ntip1p-11Ntip-1LTi?T?xi] " " （5）

式中：[ti=LTiT]，[Li]為索引矩陣。故有：

[?f?xi=?Tpn?xiLTi?T?xi+λT?Q?xi-?K?xiT-K?T?xi " " =?Tpn?xiLTi-λTK?T?xi-λT?K?xiT] " " " "（6）

由于溫度對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù)是隱式項(xiàng)，不能直接計(jì)算得到，故采用伴隨法求解靈敏度，令其為零可得：

[Kλ=?Tpn?xiLi=1Ni=1Ntip1p-11Ntip-1Li] " " " " " （7）

故以幾何平均溫度為目標(biāo)的靈敏度表達(dá)式為：

[?f?xi=-λT?K?xiT] （8）

求得目標(biāo)函數(shù)的靈敏度后，根據(jù)熱拓?fù)鋬?yōu)化模型，在優(yōu)化迭代的過程中需滿足體積約束，故靈敏度表達(dá)式為：

[?Vf?xi=vii=1nvi] （9）

式中：Vf為全局的單元體積。

2.3 變量更新及浮動(dòng)映射約束施加

求得目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度后，浮動(dòng)映射采用的單元求解方法為無阻尼最優(yōu)性標(biāo)準(zhǔn)（Optimality Criteria，OC）法，其更新公式如下：

[xki=1， xk-1iBi≥1xmin， xk-1iBi≤xminxk-1iBi， xmin≤xk-1iBi≤1] （10）

式中：[Bi=-?C/?xiλ?Vf/?xi]；[λ]為體積約束下的拉格朗日乘子；k為迭代次數(shù)，通過二分法計(jì)算得到。

在迭代的過程中更新單元設(shè)計(jì)變量后，由于數(shù)值不穩(wěn)定，會(huì)造成棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性等問題。FPTO法采用無懲罰的線性插值模型，通過Heaviside函數(shù)，刪除中間密度單元，使材料中的設(shè)計(jì)變量xi趨于0/1分布，即：

[xki=tanhβ·?+tanhβxi-?tanhβ·?+tanhβ1-?] （11）

式中：[?]為投影函數(shù)的映射閾值，可以通過確保投影前后體積保持不變來確定；β值控制映射函數(shù)的陡峭程度，其初始值通常設(shè)定為趨于0的正數(shù)，本文中的取值為10-6，“浮動(dòng)”映射即表示在迭代過程中β的變化過程，β取值越大，設(shè)計(jì)變量的值越趨向0/1分布。

2.4 收斂準(zhǔn)則

為了便于實(shí)際工程中的應(yīng)用與可制造性，浮動(dòng)映射法通過構(gòu)造水平集函數(shù)，以獲得清晰、光滑的拓?fù)溥吔鏪18]。水平集函數(shù)的表達(dá)式為：

[φk=xks，t-?gt;0， 當(dāng) xks，t∈Ω1φk=xks，t-?=0， 當(dāng) xks，t∈?Ωφk=xks，t-?lt;0， 當(dāng) xks，t∈Ω0] （12）

針對(duì)映射后的設(shè)計(jì)變量，通過線性插值，得到整個(gè)設(shè)計(jì)域中任一點(diǎn)（s，t）處的設(shè)計(jì)變量xk（s，t）。

定義拓?fù)湔`差[τ]表示由水平集函數(shù)通過插值得到的光滑拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與實(shí)際拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的差值，其表達(dá)式為：

[τ=Cvki-CxkiCvki] （13）

式中：[Cvki]為光滑設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，通過細(xì)化變量xk（s，t）的體積加權(quán)求得；[Cxki]為單元設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)。

在更新迭代過程中，通過定義的拓?fù)湔`差，控制[β]的更新，當(dāng)[τ]達(dá)到設(shè)定值時(shí)，可認(rèn)為拓?fù)涞臉?gòu)型邊界清晰、光滑，則停止增大[β]值。

3 算例分析

本文列舉單工況多熱源算例和多工況多熱源算例[19]。單工況多熱源是指集中熱源的工況相同、數(shù)值相同、無權(quán)值系數(shù)；多工況多熱源是指集中熱源的工況不同、數(shù)值相同、權(quán)值系數(shù)相同?；诟?dòng)映射熱拓?fù)浞椒?，以幾何平均溫度最小化為目?biāo)，通過二維算例、三維算例得到的拓?fù)錁?gòu)型及結(jié)果，得出所提出的目標(biāo)函數(shù)降低最高溫度、溫差的有效性，并將其應(yīng)用到動(dòng)力電池包支撐結(jié)構(gòu)中。

3.1 二維算例

圖2a為單工況多熱源算例，設(shè)計(jì)域尺寸為0.05 m×0.05 m。設(shè)計(jì)域內(nèi)同時(shí)設(shè)置5個(gè)數(shù)值相同的集中熱源q=100 W/m3，設(shè)定溫度T=0℃，導(dǎo)熱系數(shù)K0=200 W/m℃，體積約束為40%，濾波半徑rmin=2 mm。

圖2b所示為多工況多熱源算例，設(shè)計(jì)域內(nèi)設(shè)置5個(gè)數(shù)值相同的集中熱源，q1、q2、q3、q4、q5代表5個(gè)不同工況的熱源線性疊加工況，設(shè)定四角點(diǎn)溫度T=0 ℃，其余參數(shù)同圖2a。

二維算例最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型及溫度指標(biāo)如表1所示。單工況多熱源以及多工況多熱源的情況下，拓?fù)錁?gòu)型及溫度指標(biāo)有著顯著區(qū)別。單工況多熱源算例中，各熱源處的溫度分別向四周進(jìn)行擴(kuò)散，導(dǎo)致中心點(diǎn)處溫度較高；在多工況多熱源算例中，各熱源處的溫度彼此相連后向四角低溫區(qū)擴(kuò)散，導(dǎo)致中心點(diǎn)處的熱源溫度較低，四周溫度較高。圖2a的熱源處溫差較小，為0.09 ℃；圖2b最低溫度在中心熱源處，由此可驗(yàn)證浮動(dòng)映射熱拓?fù)浞椒ǖ挠行浴６喙r多熱源的情況下得到的拓?fù)錁?gòu)型可以有效解決基于人工經(jīng)驗(yàn)鋪設(shè)散熱片的方法造成的熱量集中分布在中心處的現(xiàn)象。在此基礎(chǔ)上，將二維算例拓展到三維，以進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性。

3.2 三維算例

三維多工況多熱源算例示意如圖3所示。設(shè)計(jì)域尺寸為0.06 m×0.06 m×0.01 m，設(shè)計(jì)域四邊溫度T=0 ℃，熱源q1、q2、q3、q4數(shù)值同為100 W/m3，且對(duì)稱分布在正方體內(nèi)部，q1～q4分別代表4種熱源工況，導(dǎo)熱系數(shù)K0=200 W/m℃，體積約束為40%，濾波半徑rmin=1.2 mm。

三維算例最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型及溫度指標(biāo)如表2所示。熱源處的溫度相等，溫差為零，這是由于該算例的拓?fù)錁?gòu)型具有對(duì)稱性且各熱源與散熱邊界處的距離相等。在多工況多熱源情況下，各熱源處的溫度未直接向低溫區(qū)的4個(gè)散熱邊界擴(kuò)散，而是各熱源在彼此相連后向散熱邊界處擴(kuò)散，此時(shí)降低最高溫度及減小溫差的效果最佳。三維算例可以得到和二維算例相同的結(jié)論，因此以幾何平均溫度為目標(biāo)函數(shù)在降低最高溫度的同時(shí)，也降低了溫差，使溫度分布更均勻。故將此方法運(yùn)用到新能源動(dòng)力電池包支撐結(jié)構(gòu)中。

4 動(dòng)力電池包支架設(shè)計(jì)

根據(jù)二維、三維算例得到的結(jié)果，考慮以多工況多熱源幾何平均溫度最小化為目標(biāo)，采用浮動(dòng)映射熱拓?fù)浞椒ㄔO(shè)計(jì)新型的電池包散熱結(jié)構(gòu)。

4.1 二維動(dòng)力電池支撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

電池模型采用型號(hào)為18650的三元鋰電池，根據(jù)出廠參數(shù)，將其簡化為高度為65 mm、半徑為9 mm的圓柱體。電池半徑為10.5 mm（包含密封圈尺寸）。在理想狀態(tài)下，電池作為非設(shè)計(jì)域，被看作一種特殊材料制作而成的均勻發(fā)熱體。傳統(tǒng)的電池模組支架通常是注塑件，起到固定電池包的作用，并不具備良好的散熱能力。為提高電池的使用壽命，降低電池最高溫度及溫差，本文采用浮動(dòng)映射方法設(shè)計(jì)出散熱性能良好的新型支撐結(jié)構(gòu)。

由于電池包具有高度的對(duì)稱性，本文以3×3的模型為例，設(shè)計(jì)域尺寸為0.12 m×0.12 m。設(shè)計(jì)域內(nèi)設(shè)置9個(gè)50 W/m3的多工況多熱源，設(shè)定四周溫度T=0 ℃，假設(shè)材料的導(dǎo)熱系數(shù)K0=200 W/m℃，電池的導(dǎo)熱系數(shù)K1=10 W/m℃，體積約束為50%，濾波半徑rmin=3 mm。電池支架如圖4所示。

將本文所提出的浮動(dòng)映射方法與傳統(tǒng)固體各向同性材料懲罰模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）法進(jìn)行對(duì)比。圖5a為SIMP法多工況多熱源下的最優(yōu)散熱拓?fù)錁?gòu)型，其中，紅色代表電池材料、深藍(lán)色表示空材料、淺綠色代表拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)材料。圖5b為熱源擴(kuò)散示意圖，其中紅色部分為熱源的高溫區(qū)，藍(lán)色部分為低溫區(qū)。圖6a和圖6b為FPTO法多工況多熱源下的最優(yōu)散熱拓?fù)錁?gòu)型和溫度擴(kuò)散示意圖，其顏色分布與SIMP法相同。由圖7可知SIMP法目標(biāo)函數(shù)迭代曲線最終收斂值為22.62，F(xiàn)PTO法目標(biāo)函數(shù)迭代曲線最終收斂值為22.61，降低了0.01。表3、表4所示分別為SIMP法和FPTO法得到的9個(gè)熱源處的溫度值。通過表5中對(duì)比結(jié)果可得：熱源處最高溫、熱源處最低溫度、溫度差、全域的幾何平均溫度與傳統(tǒng)多工況多熱源SIMP方法相比，多工況多熱源的FPTO方法的溫度指標(biāo)值更小，故散熱效果更好。因此，在多工況多熱源時(shí)采用浮動(dòng)映射法以幾何平均溫度最小化為目標(biāo)得到的電池包支撐結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型，有效降低了中心熱源處的最高溫度，顯著降低了溫差，使溫度分布更均勻。

4.2 三維動(dòng)力電池支撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

基于FPTO法設(shè)計(jì)三維動(dòng)力電池支撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型如圖8所示。設(shè)計(jì)域尺寸為0.12 m×0.12 m×0.008 m。設(shè)計(jì)域內(nèi)設(shè)置9個(gè)集中熱源q=50 W/m3，設(shè)定4面綠色部分為動(dòng)力電池包支撐結(jié)構(gòu)散熱區(qū)域，溫度為T=0 ℃。假設(shè)材料的導(dǎo)熱系數(shù)K0=200 W/m℃，電池的導(dǎo)熱系數(shù)K1=10 W/m℃，體積約束為50%，濾波半徑rmin=3 mm。

在圖8所示新能源電池包的支撐模型的基礎(chǔ)上，采用幾何平均溫度最小化為目標(biāo)函數(shù)的浮動(dòng)映射拓?fù)鋬?yōu)化方法得到的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型如圖9a所示。根據(jù)圖9a得到的最優(yōu)散熱拓?fù)錁?gòu)型并將其導(dǎo)入三維軟件CATIA中進(jìn)行后處理，得到整個(gè)單體電池包支撐結(jié)構(gòu)如圖9b所示。

5 結(jié)束語

本文利用浮動(dòng)映射拓?fù)鋬?yōu)化方法以幾何平均溫度最小化為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行電動(dòng)汽車電池包散熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。二維、三維算例及動(dòng)力電池包支撐結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果表明：單工況多熱源、多工況多熱源的情況下，以幾何平均溫度為目標(biāo)的熱拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，降低了散熱過程中的最高溫度和溫差，使溫度分布更加均勻，散熱性更好。

將此方法運(yùn)用在新能源動(dòng)力電池包支撐結(jié)構(gòu)，通過SIMP法和FPTO法的對(duì)比，可以得出：所提出的FPTO方法降低了動(dòng)力電池的最高溫度，使溫度分布更均勻，提高了電池的使用壽命和安全性，有效地解決了傳統(tǒng)電池?zé)峁芾矸椒ㄔ黾与姵匕Y(jié)構(gòu)體積和質(zhì)量的缺陷及根據(jù)人工經(jīng)驗(yàn)鋪設(shè)散熱片，散熱慢、溫度集中分布等問題，能夠在合理分配材料的同時(shí)，減輕了電池包整體的質(zhì)量。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 蔡揚(yáng)揚(yáng)， 殷莎， 趙海斌， 等. 新能源汽車電池包箱體結(jié)構(gòu)的輕量化研究現(xiàn)狀[J]. 汽車技術(shù)， 2022（2）： 55-62.

CAI Y Y， YIN S， ZHAO H B， et al. Research Status of Lightweight on Battery Pack Box Structure for New Energy Vehicles[J]. Automobile Technology， 2022（2）： 55-62.

[2] CHEN F， WANG J， YANG X L. Topology Optimization Design and Numerical Analysis on Cold Plates for Lithium-Ion Battery Thermal Management[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer， 2022， 183.

[3] 閆曉磊， 謝露， 陳佳文， 等. 一種密度約束的拓?fù)鋬?yōu)化方法[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù)， 2021， 40（3）： 350-355.

YAN X L， XIE L， CHEN J W， et al. A Density-Constrained Topological Optimization Method[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2021， 40（3）： 350-355.

[4] SIGMUND O. A 99 Line Topology Optimization Code Written in Matlab[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2001， 21： 120-127.

[5] XIA Q， SHI T L， XIA L. Topology Optimization for Heat Conduction by Combining Level Set Method and BESO Method[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer， 2018， 127： 200-209.

[6] HUANG X， XIE Y M. Bi-Directional Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures with One or Multiple Materials[J]. Computational Mechanics， 2009， 43： 393-401.

[7] XIA L， BREITKOPF P. Design of Materials Using Topology Optimization and Energy-Based Homogenization Approach in Matlab[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2015， 52（6）： 1229-1241.

[8] RODRIGUES H， FERNANDES P. Topology Optimal Design of Thermoelastic Structures Using A Homogenization Method[J]. Control and Cybernetics， 1994， 23（3）： 553-563.

[9] NISHIWAKI A S， IZUI K， YOSHIMURA M. Topology Optimization for Thermal Problems Based on Assumed Continuous Approximation of Material Distributions[J]. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers Series C， 2007， 19（9）： 2426-2433.

[10] 王定標(biāo)， 李昂， 吳淇濤， 等.電子元件散熱結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 低溫與超導(dǎo)， 2023， 51（5）： 37-42.

WANG D B， LI A， WU Q T， et al. Topology Optimization Design of Heat Dissipation Structures for Electronic Components[J]. Low Temperature and Superconductivity， 2023，51（5）： 37-42.

[11] 喬赫廷， 張永存， 劉書田. 散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)的討論[J]. 中國機(jī)械工程， 2011， 22（9）： 1112-1117+1122.

QIAO H T， ZHANG Y C， LIU S T. Discussion of Objective Functions in Heat Conduction Topology Optimization[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2011， 22（9）： 1112-1117+1122.

[12] 侯麗園， 丁曉紅. 散熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)適用性討論[J]. 半導(dǎo)體光電， 2016， 37（2）： 202-206+212.

HOU L Y， DING X H. Design Objectives of Heat Channel Layout Optimization[J]. Semiconductor Optoelectronics， 2016， 37（2）： 202-206+212.

[13] ZHU X F， ZHAO C， WANG X， et al. Temperature-Constrained Topology Optimization of Thermo-Mechanical Coupled Problems[J]. Engineering Optimization， 2019， 51（10）： 1687-1709.

[14] KAMBAMPATI S， GRAY J S， KIM H A. Level Set Topology Optimization of Structures Under Stress and Temperature Constraints[J]. Computers amp; Structures， 2020， 235.

[15] KIYONO C Y， VATANABE S L， SILVA E C N， et al. A New Multi-P-Norm Formulation Approach for Stress-Based Topology Optimization Design[J]. Composite Structures， 2016， 156： 10-19.

[16] HUANG X D. Smooth Topological Design of Structures Using the Floating Projection[J]. Engineering Structures， 2020， 208： 110330.

[17] 張永存， 劉書田. 最優(yōu)傳熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型[J]. 自然科學(xué)進(jìn)展， 2008（6）： 680-685.

ZHANG Y C， LIU S T. Mathematical Model of Optimal Heat Transfer Structure Design Problem[J]. Progress in Natural Science： Materials International， 2008（6）： 680-685.

[18] YAN X L， CHEN J W， HUA H Y， et al. Smooth Topological Design of Structures with Minimum Length Scale and Chamfer/Round Controls[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2021， 383.

[19] ZHUANG C G， XIONG Z H， DING H. A level Set Method for Topology Optimization of Heat Conduction Problem Under Multiple Load Cases[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2007， 196（4/5/6）： 1074-1084.

（責(zé)任編輯 王 一）

修改稿收到日期為2023年5月30日。