高中數(shù)學(xué)軌跡方程的解法研究

摘" 要：軌跡方程屬于高考數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)必考內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的解題能力與基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況均有著較高要求.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師可圍繞軌跡方程安排專(zhuān)題訓(xùn)練，帶領(lǐng)學(xué)生反復(fù)練習(xí)，讓他們能根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇解題方法，掌握解題竅門(mén).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；軌跡方程；解法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0094-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：戴立先（1979.9—），江蘇省昆山人，教育碩士，中小學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

軌跡方程即為同幾何軌跡相對(duì)應(yīng)的代數(shù)描述方式，是符合既定條件的動(dòng)點(diǎn)所組成的一類(lèi)圖形，也可以說(shuō)是符合一定條件下點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合，這就是滿(mǎn)足該條件下點(diǎn)的軌跡.在高中數(shù)學(xué)軌跡方程類(lèi)試題中，不僅考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)性知識(shí)的掌握程度，還考查他們的運(yùn)算能力、邏輯思維能力，以及分析與處理問(wèn)題能力.教師應(yīng)給予高度重視，通過(guò)解題訓(xùn)練幫助學(xué)生學(xué)會(huì)解答軌跡方程問(wèn)題的方法，有效提高他們的數(shù)學(xué)解題水平.

1" 直接法在高中數(shù)學(xué)軌跡方程中的應(yīng)用

直接法，顧名思義就是一種很直接的解題方法，當(dāng)處理高中數(shù)學(xué)軌跡方程類(lèi)試題時(shí)，假如題目中的動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的幾何條件本身就是部分幾何量之間的等量關(guān)系，或者這些幾何條件明了簡(jiǎn)單，還易于表達(dá)，這時(shí)只需把此種關(guān)系以含有x，y的等式來(lái)表示，由此求出相應(yīng)的軌跡方程［1］.

例1" 已知定點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-3，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（3，0），有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）距定點(diǎn)M，N之間距離的比值是2，也就是|QM||QN|＝2，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是什么？

解析" 因?yàn)閨QM|＝（x+3）2+y2，

|QN|＝（x-3）2+y2，|QM||QN|＝2，

所以|QM||QN|＝（x+3）2+y2（x-3）2+y2＝2.

所以（x＋3）2＋y2＝4（x-3）2＋4y2.

整理、化簡(jiǎn)，得（x-5）2＋y2＝16.

所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是（x-5）2＋y2＝16.

2" 定義法在高中數(shù)學(xué)軌跡方程中的應(yīng)用

定義法即為使用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的一些定義把所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程給直接求出來(lái)，通常適用于難度不大、條件清晰簡(jiǎn)單的試題.具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)遇到題設(shè)里面存在定點(diǎn)和定直線(xiàn)以及兩個(gè)定點(diǎn)之和或者差是定值的條件，或者借助平面幾何知識(shí)的分析能找出這些條件時(shí)，便可采用定義法.

例2" 已知Q為圓x2＋y2＝4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），線(xiàn)段AQ的垂直平分線(xiàn)l與圓的半徑OQ相交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)Q進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程是什么？

解析" 連接PA，根據(jù)線(xiàn)段AQ的垂直平分線(xiàn)l交半徑OQ于點(diǎn)P，故|PA|＝|PQ|.

因?yàn)辄c(diǎn)P位于圓的半徑OQ上，

所以|PO|＋|PQ|＝2.所以|PO|＋|PA|＝2，且2＞3＝|OA|.

結(jié)合橢圓的定義可以判定出點(diǎn)P的軌跡就是以O(shè)，A兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓.

因?yàn)?a＝2，2c＝3，

所以a＝1，c＝32.

則b＝12.

所以點(diǎn)P的軌跡方程是（x-32）2＋4y2＝1.

3" 代入法在高中數(shù)學(xué)軌跡方程中的應(yīng)用

如果動(dòng)點(diǎn)P（x，y）隨著已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)Q（x0，y0）的變化而發(fā)生變化，而且“x0，y0”能夠使用“x，y”進(jìn)行表示，那么可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)表達(dá)式代入到已知曲線(xiàn)方程，便能求出點(diǎn)P的軌跡方程，這就是代入法［2］.

例3" 在圖1中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0），其位于圓x2＋y2＝36內(nèi)，A，B兩點(diǎn)均是圓上動(dòng)點(diǎn)，其中∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.

圖1" 例3題圖

解析" 設(shè)AB的中點(diǎn)是R（x0，y0），在Rt△ABP中，|AR|＝|BR|＝|PR|.

由于R是弦AB上的中點(diǎn)，由垂徑定理，

在Rt△OAR中，

|AR|2＝|AO|2-|OR|2＝36-（x20＋y20）.

又因?yàn)閨AR|＝|PR|＝（x0-4）2+y20，

由此得到（x0-4）2＋y20＝36-（x20＋y20）.

即x20＋y20-4x0-10＝0.

所以點(diǎn)R位于圓上，當(dāng)點(diǎn)R在這個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q就在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).

設(shè)Q（x，y），由于R為PQ的中點(diǎn)，

故x0＝x+42，y0＝y(tǒng)+02.

代入到方程x20＋y20-4x0-10＝0，得

（x+42）2＋（y2）2-4×x+42-10＝0.

整理、化簡(jiǎn)，得x2＋y2＝56.

所以矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程是x2＋

y2＝56.

4" 參數(shù)法在高中數(shù)學(xué)軌跡方程中的應(yīng)用

有的題目中，求動(dòng)點(diǎn)需滿(mǎn)足的幾何條件難以直接、順暢地求出來(lái)，也沒(méi)有明顯的相關(guān)點(diǎn)，不過(guò)卻是能夠容易發(fā)現(xiàn)該動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)受到其他變量的影響，如時(shí)間、截距、比值、斜率、角度等，或者動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中的“x，y”會(huì)分別跟隨另外一個(gè)變量的變化發(fā)生改變，該變量即為參數(shù).這時(shí)可根據(jù)這個(gè)變量建立關(guān)于軌跡的參數(shù)方程，通過(guò)解方程順利求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例4" A，B兩點(diǎn)是拋物線(xiàn)y2＝4px（p＞0）上除原點(diǎn)以外

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，且說(shuō)明所表示的是什么曲線(xiàn).

解析" 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），且x≠0，

直線(xiàn)AB的方程是x＝my＋a.

因?yàn)镺M⊥AB，

所以m＝-yx.

由y2=4px及x=my+a，消去x，得

y2-4pmy-4pa＝0.

則y1y2＝-4pa，x1x2＝（y1y2）2（4p）2＝a2.

又因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2＝-y1y2.

故a2＝4pa，即a＝4p.

在x＝my＋4p中，根據(jù)m＝-yx，得

x2＋y2-4px＝0，x≠0.

所以點(diǎn)M的軌跡方程是x2＋y2-4px＝0，x≠0，表示的是以（2p，0）為圓心，半徑是2p的圓，且不含坐標(biāo)原點(diǎn).

5" 待定系數(shù)法在數(shù)學(xué)軌跡方程中的應(yīng)用

待定系數(shù)法作為一種求未知數(shù)的有效方法，就是把一個(gè)多項(xiàng)式表示為另外一種含有待定系數(shù)的新形式，由此獲得一個(gè)恒等式，再結(jié)合恒等式的性質(zhì)確定系數(shù)需滿(mǎn)足的方程或者方程組，然后通過(guò)解方程或者方程組就能夠把待定系數(shù)給求出來(lái).

例5" 已知△PMN的面積是1，tan∠PMN＝12，tan∠PNM＝-2，構(gòu)建合適的平面直角坐標(biāo)系，求以M，N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方程.

解析" 構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系時(shí)，可以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)，M，N所處的直線(xiàn)為x軸，設(shè)|MN|＝2c，則M（-c，0），N（c，0）.

設(shè)橢圓方程是x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0），

根據(jù)題意可知直線(xiàn)MP，NP的方程分別是

y＝12（x＋c），y＝2（x-c）.

聯(lián)立得P（5c3，4c3）.

所以2a＝|PM|＋|PN|

=（5c3+c）2+（4c3）2+（5c3-c）2+（4c3）2=25c.

又因?yàn)镾△PMN=12×2c×4c3=1，

所以c＝32，a＝152.

故橢圓的方程是4x215+y23=1.

6" 交軌法在高中數(shù)學(xué)軌跡方程中的應(yīng)用

當(dāng)求兩條動(dòng)曲線(xiàn)的交點(diǎn)軌跡問(wèn)題時(shí)，可以利用方程直接消去參數(shù)，這一方法需要引入相關(guān)參數(shù)建立這些曲線(xiàn)之間的聯(lián)系，然后消去參數(shù)以后即可得到軌跡方程［3］.

例6" 點(diǎn)A1和A2是橢圓4x29+y24=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)P1和P2為垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線(xiàn)A1P1和A2P2的交點(diǎn)P的軌跡方程是什么？

解析" 根據(jù)題意可設(shè)交點(diǎn)P，P1，P2的坐標(biāo)分別是（x，y），（x0，y0），（x0，-y0），

當(dāng)A1，P1，P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，得

y-y0x-x0=yx+3，①

當(dāng)A2 P2 P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，得

y+y0x-x0=yx-3.②聯(lián)立①②解得x0，y0x0＝9x，y0＝3y.

代入到x209+y204=1中，得x29-y24=1.

所以點(diǎn)P的軌跡方程是x29-y24=1.

7" 結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)軌跡方程解題教學(xué)中，教師需指引學(xué)生全方位、多層次分析動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的所有條件，尤其要關(guān)注同動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的隱性條件，以免縮小或者擴(kuò)大點(diǎn)的范圍.引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體條件與題目實(shí)際情況靈活應(yīng)用以上各種不同的解題方法，選擇最為恰當(dāng)?shù)囊环N解法，高效率地求得結(jié)果，加快解題速度與準(zhǔn)確度，為將來(lái)應(yīng)對(duì)高考做好準(zhǔn)備.

參考文獻(xiàn)：

［1］

褚玉霞.例析軌跡方程的幾種求法 ［J］.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版

），2023（01）：47-48.

［2］ 王錦繡.淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中解析幾何的解題技巧 ［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（19）：33-35.

［3］ 常建偉，常海波.例析軌跡方程的幾種求法 ［J］.語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版），2023（05）：53-54.

［責(zé)任編輯：李" 璟］