全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題中“圓錐曲線”考點(diǎn)的命題分析研究

摘" 要：

圓錐曲線作為平面解析幾何的重要組成部分，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有十分重要的地位，也是高考和數(shù)學(xué)競賽中的必考內(nèi)容.對2014-2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中關(guān)于圓錐曲線知識(shí)考點(diǎn)進(jìn)行歸納和分析，為參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽競賽的教練和學(xué)生提供一些有益的參考.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽；國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）；中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0088-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：蔣研（1981.9—），男，博士，講師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究;

趙昕衡（1998.6—）男，本科，中學(xué)二級教師，從事高中數(shù)學(xué)競賽研究.

基金項(xiàng)目：湖南師范大學(xué)教師教育改革研究實(shí)踐項(xiàng)目“基于UGS模式的數(shù)學(xué)卓越教師培養(yǎng)”（項(xiàng)目編號(hào)：5022400）.

圓錐曲線是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)之一，對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問題能力具有重要意義，它也是連接解析幾何的橋梁.圓錐曲線是幾何與代數(shù)的結(jié)合體現(xiàn)，它能幫助學(xué)生理解幾何問題背后的代數(shù)性質(zhì)，也為后續(xù)的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

1" 主要競賽概述

1.1" 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

1956年我國開始舉辦各類中學(xué)生數(shù)學(xué)比賽.北京、上海等各大省市都陸續(xù)舉辦過數(shù)學(xué)競賽，到1979年，我國已有29個(gè)省、自治區(qū)、直轄市都舉辦了中學(xué)數(shù)學(xué)競賽.1980年，大連召開了第一屆全國數(shù)學(xué)普及工作會(huì)議，會(huì)議確定了將數(shù)學(xué)競賽作為中國數(shù)學(xué)會(huì)及各省、市、自治區(qū)數(shù)學(xué)會(huì)的一項(xiàng)常規(guī)性的工作，每年9月或10月中旬舉行“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”［1］.

1.2" 中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）

中國數(shù)學(xué)奧林匹克（China Mathematical Olympiad，簡稱CMO）是中國舉辦的一項(xiàng)面向中學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽活動(dòng).CMO通常分為初賽和決賽兩個(gè)階段，參賽學(xué)生需要通過初賽選拔才能晉級到?jīng)Q賽.

1.3" 國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）

國際數(shù)學(xué)奧林匹克（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）是世界上最具權(quán)威性的青少年數(shù)學(xué)競賽之一，該競賽旨在激勵(lì)學(xué)生對數(shù)學(xué)的研究和探索，推廣數(shù)學(xué)學(xué)科，并促進(jìn)世界各國之間的數(shù)學(xué)交流.

國際數(shù)學(xué)奧林匹克始于1959年，每年舉辦一次，由不同國家輪流主辦.每個(gè)參賽國家都派出一支由6名學(xué)生和若干領(lǐng)隊(duì)組成的代表團(tuán)參加比賽.比賽通常持續(xù)兩天，每天解答三道復(fù)雜且富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)問題.

IMO不僅是一項(xiàng)競賽，更是一個(gè)促進(jìn)全球數(shù)學(xué)教育和學(xué)術(shù)交流的平臺(tái)，為年輕數(shù)學(xué)愛好者提供了展示才華和結(jié)交志同道合者的機(jī)會(huì).

1.4" 全國高中競賽流程

圖1" 高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽流程圖

1.5" 競賽內(nèi)容與方式

聯(lián)賽分第一試和第二試.第一試的內(nèi)容符合《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》.其中包括8道填空題（每小題8分）、3道計(jì)算題（第9題16分、第10題20分、第11題20分），卷面滿分120分.二試（加試）與中國數(shù)學(xué)奧林匹克（冬令營）、國際數(shù)學(xué)奧林匹克接軌，在知識(shí)方面有所擴(kuò)展，增加了一些教學(xué)大綱以外的內(nèi)容，試卷包括4道解答題，涉及平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個(gè)方面［2］.

2" 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題中“圓錐曲線”考點(diǎn)的命題分析

為了保證研究內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性、真實(shí)性與時(shí)效性，本文研究內(nèi)容為2014-2023年間的全國聯(lián)賽一試試題.對近10年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試有關(guān)“圓錐曲線”的考點(diǎn)從命題角度、題目類型、所占分值、考試內(nèi)容等進(jìn)行了歸納整理.

2.1" 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽命題統(tǒng)計(jì)由表1可知，圓錐曲線部分在全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽中是必考的考點(diǎn).從近幾年試題結(jié)構(gòu)來看，考題題型結(jié)構(gòu)一般是一個(gè)小題（選擇題或者填空題）和一個(gè)解答題，近幾年分值為28分，由此可以看出圓錐曲線在考試中占有極其重要的分量.總體來說，聯(lián)賽中對于圓錐曲線知識(shí)的考查基本都有覆蓋到，同時(shí)還與不等式、數(shù)列、向量等知識(shí)進(jìn)行綜合考查.

表1" 2014-2023年全國聯(lián)賽一試“圓錐曲線”總體命題情況表

2.2" 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽分值、圓錐曲線考查類型

圖2" 2014-2023年全國聯(lián)賽一試圓錐曲線考查分值圖

從圖2中可以看到，從2016年以來考查分值大多數(shù)都是28分（2021年除外），導(dǎo)致這個(gè)總分值變化的一個(gè)原因就是從2009年起題型開始改變，沒有選擇題，并且從近幾年考查趨勢來看，對圓錐曲線的考查分值在28分左右，題型是一個(gè)8分的填空題和一個(gè)20分解答題.

圖3" 2014-2023年全國聯(lián)賽一試圓錐曲線類型考查分值表

從圖3可知，考查頻率最高的是橢圓，最少的是雙曲線，和高考考查情況類似.

2.3" 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考點(diǎn)分析圓錐曲線考點(diǎn)大致可分為五類，分別是基本性質(zhì)問題、軌跡問題、存在性問題、定點(diǎn)定值問題、最值與參數(shù)范圍問題［3］.

圖4" 2014-2023年全國聯(lián)賽一試圓錐曲線考點(diǎn)考查頻率表

從圖4可以看到，2014年至2023年，全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽圓錐曲線部分考點(diǎn)出現(xiàn)頻率最高的問題是基本性質(zhì)問題，頻率占比37％；其次是最值與參數(shù)范圍問題，考查頻率占比34％.其實(shí)我們在解答圓錐曲線問題時(shí)，總會(huì)用到它的基本性質(zhì)，所以總體來說，考點(diǎn)最頻繁的是最值與參數(shù)范圍問題.

3" 結(jié)論

3.1" 五類考點(diǎn)分析總結(jié)

（1）基本性質(zhì)問題.這一考點(diǎn)是最?？嫉目键c(diǎn)，主要考查考生的基本知識(shí)掌握和運(yùn)用程度.主要內(nèi)容有：定義、對稱性、焦點(diǎn)弦、離心率、準(zhǔn)線、漸近線方程等.

（2）軌跡問題.在聯(lián)賽中考查頻率不是很高，但是在解析幾何大類考查中常考.解題的常用方法有：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、交軌法.

（3）存在性問題.考查頻率也不是特別高，但

題目難度會(huì)比較大，主要分為：點(diǎn)存在問題、直線存在問題、實(shí)數(shù)存在問題、曲線存在問題.

（4）定點(diǎn)定值問題.在2014-2023年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽中考查頻率很低，但是仍舊是一個(gè)重要的考點(diǎn).主要問題分為：定點(diǎn)在某定直線（定曲線）上、直線（曲線）過某定點(diǎn)、定值證明問題及求定值問題.

（5）關(guān)于最值與參數(shù)范圍問題.從統(tǒng)計(jì)情況來看，其在解答題中是考查頻率最高的考點(diǎn)，同時(shí)在選擇題、填空題中考查頻率也很高，因?yàn)樵谶@個(gè)問題下，很容易結(jié)合不等式或者函數(shù)等知識(shí)來綜合考查，對學(xué)生能力考核要求較高.

3.2" 應(yīng)對策略

本文研究的目的是希望研究結(jié)果能給競賽的教練和學(xué)生提供一定的參考價(jià)值，并依據(jù)以上的分析結(jié)果對競賽教練和學(xué)生提出以下幾點(diǎn)建議.

首先，聯(lián)賽題目中圓錐曲線意在考查“四基”“四能”，真正落實(shí)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).所以對于教練來說，需要仔細(xì)研讀新課程標(biāo)準(zhǔn)，明確課標(biāo)要求，認(rèn)真落實(shí)教材中圓錐曲線部分的內(nèi)容分析和教學(xué)引導(dǎo)，緊緊圍繞課標(biāo)要求展開教學(xué)，在面對圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)的訓(xùn)練準(zhǔn)備時(shí)，關(guān)注歷年來各問題考點(diǎn)的考查頻率，

有針對性地去復(fù)習(xí).

其次，對于參賽學(xué)生來說，應(yīng)該認(rèn)真分析歷年真題，在解題過程中，面對圓錐曲線多變的問題，要會(huì)運(yùn)用一題多解.這就要求學(xué)生在訓(xùn)練時(shí)要學(xué)會(huì)舉一反三，熟練運(yùn)用，對于各種解法都要能夠形成體系.

4" 結(jié)束語

新高考試題命題規(guī)律產(chǎn)生變化，知識(shí)理論不斷完善拓展，新的教學(xué)大綱也將會(huì)隨之改變，那么全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽考查內(nèi)容和側(cè)重點(diǎn)也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生轉(zhuǎn)變，未來圓錐曲線的考查也將變得綜合性更高，思維和能力要求也將變得更高.對于這種情況，對圓錐曲線的研究仍然需要與時(shí)俱進(jìn)，并將其運(yùn)用到實(shí)踐當(dāng)中.

參考文獻(xiàn)：

［1］

劉園園.贏家通吃視角下的奧數(shù)競賽及其管制分析［D］.大連：東北財(cái)經(jīng)大學(xué)，2010.

［2］ 張靜.高中教學(xué)聯(lián)賽“圓錐曲線”問題研究［D］.西安：西北大學(xué)，2018.

［3］ 呂玉懷.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略分析［J］.考試周刊，2021（94）：85-87.

［責(zé)任編輯：李" 璟］