初中數(shù)學(xué)解題反思的幾個著力點(diǎn)

［摘 要］解題反思有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識和掌握解題技巧，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要途徑。教師可引導(dǎo)學(xué)生對題目考查的知識點(diǎn)、解題過程的合理性和便捷性、題目條件與結(jié)論的關(guān)系、題目所考查的數(shù)學(xué)思想方法、題目的問題情境、錯題等進(jìn)行反思，及時總結(jié)解題方法與解題規(guī)律， 使學(xué)生掌握解題思維活動的基本規(guī)律，提升學(xué)生的解題能力和核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］解題反思；初中數(shù)學(xué)；著力點(diǎn)

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）23-0019-04

解題反思是一個重要的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識和掌握解題技巧的重要方法，它有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和問題解決能力。在解題教學(xué)中，就算教師將解題方法與技巧講得清清楚楚、面面俱到，一些學(xué)生自己動手做題時仍然不知從何下手，究其原因主要是缺少解題反思。對此， 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對題目考查的知識點(diǎn)、解題過程的合理性和便捷性、題目條件與結(jié)論的關(guān)系等進(jìn)行反思，使學(xué)生通過反思加深對數(shù)學(xué)知識的理解，掌握解題的規(guī)律與技巧，逐步提高解題能力。具體可從以下幾個方面進(jìn)行解題反思。

一、題目考查的知識點(diǎn)

反思題目考查的知識點(diǎn)是非常重要的。在解題后，教師可讓學(xué)生反思題目考查了哪些概念、公式、定理和推論，然后對比類似的題目和知識點(diǎn)，找出它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，這樣可讓學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)知識，更好地掌握知識點(diǎn)，提高解題效率。

［例1］如圖1，四邊形[ABCD]中，[AD]∥[BC]，點(diǎn)[O]為對角線[BD]的中點(diǎn)，過點(diǎn)[O]的直線[l]分別與[AD]、[BC]所在的直線相交于點(diǎn)[E]、[F]（點(diǎn)[E]不與點(diǎn)[D]重合）。

（1）求證：[△DOE ]≌[△BOF]。

（2）當(dāng)直線[l⊥BD]時，連接[BE]、[DF]，試判斷四邊形[EBFD]的形狀，并說明理由。

解析：（1）由[AD]∥[BC]，利用平行線的性質(zhì)得到[∠ODE=∠OBF]，[∠OED=∠OFB]，由[O]為[AD]的中點(diǎn)得[BO=DO]，可證得[△DOE ]≌[△BOF]。

（2）判斷四邊形[EBFD]為菱形，連接[EB]、[FD]，如圖2所示，由[△DOE ]≌[△BOF]得[ED=BF]，結(jié)合[ED]∥[BF]可由平行四邊形的判定知四邊形[EBFD]為平行四邊形，又直線[l⊥BD]，即[EF⊥BD]，由菱形的判定得四邊形[EBFD]為菱形。

反思：解答此題需要用到三角形全等的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定、平行線的性質(zhì)等相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法。通過逐一回顧這些知識點(diǎn)，學(xué)生清楚圖形的性質(zhì)與判定的核心是邊與角及其關(guān)系，從而加強(qiáng)對問題的認(rèn)識，進(jìn)一步鞏固知識。

二、解題過程的合理性與便捷性

反思解題過程的合理性和便捷性是非常重要的。解題過程的合理性是指解題過程合理、完整，而解題過程的便捷性則是指解題過程簡單、高效。

解題后必須對解題過程進(jìn)行反思。首先，反思解題步驟和方法是否規(guī)范合理，列式是否符合題意，使用的數(shù)學(xué)概念、公式和方法是否正確，檢查和梳理解題過程是否合理、完整；其次，反思解法是否便捷、是否最佳， 思考有無多種解法。有時候，同一個問題可能有多種解法，而不同的解法可能在解題過程的合理性與便捷性上有所不同。通過反思解題過程的合理性和便捷性，可以找到更加高效、簡捷的解法，從而提高解題效率。

［例2］如圖3，點(diǎn)[A]、[D]分別在函數(shù)[y=-3x]和[y=6x]的圖象上，點(diǎn)[B]、[C]在[x]軸上。若四邊形[ABCD]為正方形，點(diǎn)[D]在第一象限，則點(diǎn)[D]的坐標(biāo)是" " " " " " "。

解法一：∵四邊形[ABCD]為正方形，∴設(shè)點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為[m，6m]，則點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[-m2，6m]，∴[m--m2=6m]，解得[m=±2]（負(fù)值舍去），經(jīng)檢驗，[m=2]是方程的解，∴點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為（2，3）。

反思：本題采用的是設(shè)坐標(biāo)法，這一解法是常規(guī)方法，是否還有更簡捷的解法？通過觀察圖形（如正方形）的特征，聯(lián)想面積問題，發(fā)現(xiàn)可利用[k]的幾何意義解題。

解法二：由反比例函數(shù)的比例系數(shù)[k]的幾何意義可得正方形[ABCD]的面積為[3+6=9]，∴[CD=3]，∴[OC=2]，∴點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為（2，3）。

反思：兩種解法都符合數(shù)學(xué)原理，具有合理性，但解法二利用[k]的幾何意義更為簡單快捷，在選擇題和填空題中優(yōu)點(diǎn)尤為突出。

通過解題反思，學(xué)生有了一題多解的意識，并能分析每種解法的優(yōu)劣，學(xué)會去繁取簡、優(yōu)化解題過程。

三、題目條件與結(jié)論的關(guān)系

在解題過程中，學(xué)生對題目的條件與結(jié)論的認(rèn)識和理解可能存在缺漏，造成審題不清或忽視條件與結(jié)論的內(nèi)在關(guān)系，從而導(dǎo)致錯解或無解。因此，反思題目條件與結(jié)論的關(guān)系尤為重要。

首先，反思是否閱讀清楚題目，有沒有遺漏或誤解，是否完全理解所有的條件，并思考這些條件之間的聯(lián)系，以及它們可能會如何影響解題過程；其次，仔細(xì)考慮題目要求的結(jié)論或需要證明的結(jié)論；最后，在了解題目條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上，思考結(jié)論與題目條件之間的關(guān)系，思考為什么這些條件能推出結(jié)論或者為什么結(jié)論是基于這些條件而得出的，嘗試找出連接題目條件和結(jié)論的橋梁。

［例3］如圖4，在[△ABC]中，[AB=AC]，[∠A=30°]，射線[CP]從射線[CA]開始繞點(diǎn)[C]逆時針旋轉(zhuǎn)[α]角（[0°lt;αlt;75°]），與射線[AB]相交于點(diǎn)[D]，將[△ACD]沿射線[CP]翻折至[△ACD]處，射線[CA]與射線[AB]相交于點(diǎn)[E]。若[△ADE]是等腰三角形，則[∠α]的度數(shù)為" " " " " " " 。

解析：由折疊的性質(zhì)知[∠A=∠A=30°]，[∠ACP=∠A′CP=α]，當(dāng)[AD=DE]時，如圖5，若[∠DEA=∠A=30°]，由三角形的外角性質(zhì)得[∠DEA=∠A+∠ACD+∠ACD]，即[30°=30°+2α]，此情況不存在。當(dāng)[AD=AE]時，如圖6，[∠A=30°]，[∠DEA=∠EDA=12×（180°-30°）=75°]，由三角形的外角性質(zhì)得[75°=30°+2α]，解得[α=22.5°]。當(dāng)[EA=DE]時，如圖7，[∠EDA=∠A=30°]，∴[∠DEA=180°-30°-30°=120°]，由三角形的外角性質(zhì)得[120°=30°+2α]，解得[α=45°]。當(dāng)[AD=AE]時，如圖8，[∠ADE=∠AED=15°]，∴[∠ADC=∠ADC=12×（180°-15°）=82.5°]，∴[α=∠ACD=180°-30°-82.5°=67.5°]。

綜上，[∠α]的度數(shù)為[22.5°]或[45°]或[67.5°]。

反思：三角形的外角是解題的關(guān)鍵條件，更是解題的橋梁。當(dāng)條件不明確時就要考慮分類討論；當(dāng)題中提供的圖形不夠用時，可多畫些圖形進(jìn)行分析；當(dāng)題中直接提供的條件不夠用時，應(yīng)挖出隱含條件加以運(yùn)用，從而順利解決問題。

四、題目所考查的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識。在解題過程中，不僅要關(guān)注題目的答案，還要關(guān)注解題過程所涉及的數(shù)學(xué)方法和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。反思題目考查的數(shù)學(xué)思想方法是一個非常重要的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生通過總結(jié)題目考查的數(shù)學(xué)思想方法，形成自己的解題經(jīng)驗和策略，并將這些解題經(jīng)驗和策略應(yīng)用到其他類似的題目中，檢驗其有效性，從而達(dá)到對數(shù)學(xué)思想方法的再認(rèn)識，加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解，提升解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［例4］如圖9，一次函數(shù)[y=kx+b（kgt;0）]的圖象過點(diǎn)[（-1，0）]，則不等式[k（x-1）+bgt;0]的解集是（ ）。

A. [xgt;-2] B. [xgt;-1]

C. [xgt;0] " D. [xgt;1]

解法一：∵一次函數(shù)[y=kx+b（kgt;0）]的圖象過點(diǎn)（-1，0），∴[-k+b=0]，∴[b=k]，∴不等式化為[kx-k+bgt;0]，即[kxgt;0]，∵[kgt;0]，∴[xgt;0]，故選C。

反思：函數(shù)圖象經(jīng)過某一點(diǎn)，把該點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式是一種常用方法（直接法），但既然有圖象，而不等式與函數(shù)圖象之間又有密切的關(guān)系，能否用圖象法求解？由[kx+b]與[k（x-1）+b]對應(yīng)成[y=kx+b]與[y=k（x-1）+b]，能體現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形變換的關(guān)系，因此可以利用數(shù)形結(jié)合方法求解。

解法二：如圖10，將直線[y=kx+b（kgt;0）]向右平移1個單位得到[y=k（x-1）+b（kgt;0）]，該圖象經(jīng)過原點(diǎn)，由圖象可知，在[y]軸右側(cè)，直線位于[x]軸上方，即[ygt;0]，因此，當(dāng)[xgt;0]時，[k（x-1）+bgt;0]，故選C。

反思：本題利用一次函數(shù)的圖象與一元一次不等式之間的關(guān)系求解，通過觀察圖象，從圖象中得到對應(yīng)部分的解集，把求答案化成看答案（圖象法），體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。通過解題反思，學(xué)生了解到除了一般的常規(guī)解題方法，還可以利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解，既簡便又快捷，進(jìn)一步拓展了解題思路與拓寬了解題視野，提升了解題能力。

五、題目中的問題情境

通過反思題目中的問題情境，學(xué)生可感受到數(shù)學(xué)在解決生活問題的作用，從而增強(qiáng)學(xué)生的知識應(yīng)用意識，提高學(xué)生解決實際問題的能力。在反思題目的問題情境時，要弄清楚題目的背景信息，理解所描述的實際情境，理解題目要求，確定解題方向。在理解題目背景和要求的基礎(chǔ)上，挖掘題目的隱含條件。有時候題目會間接給出一些關(guān)鍵信息，需要仔細(xì)分析和推斷，在得到解后，還要檢查解是否符合題目背景和要求。同時，還應(yīng)將問題與其他知識關(guān)聯(lián)起來。例如，如果問題涉及方程，那么可以考慮這個方程與哪些方程有關(guān)聯(lián)，或者這個方程在實際生活中的應(yīng)用場景等。

通過以上反思，學(xué)生可以更好地理解和掌握數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)思維能力和解題能力。

［例5］任務(wù)：某校八年級同學(xué)想測量旗桿的高度 h（m），他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子長度未知，如圖11所示。

工具： 一把皮尺（測量長度略小于繩子長）。

小明利用皮尺測量，求出了旗桿[BC]的高度 [h（m）]，其測量及求解過程如下：

測量出繩子垂直落地后還剩余[a]（m），把繩子拉直，繩子末端A點(diǎn)在地面上離旗桿底部C點(diǎn)[b]（m），即[AC=b]（m），如圖12所示。

由測量得[AC=b]，[BC=h]，[AB=h+a]，在 Rt[△ABC]中，[∠ACB=90°]，∴[BC2+AC2=AB2]， 即[h2+b2=（h+a）2]，∴[h=]" " " " " " "（m）。

閱讀下列材料，回答問題。

（1）直接寫出小明求得的旗桿高度h（m）的值;

（2）小明求得h所用到的幾何知識是" " " " " " ;

（3）小明僅用皮尺，通過２次測量，求得h（m），請你利用皮尺另外設(shè)計一個測量方案，并利用直角三角形的知識求旗桿的高度h（m），寫出你的測量及求解過程。（測量得到的長度用字母m，n表示）

反思：測量長度和高度問題是常見的問題，但回歸到實際生活情境的應(yīng)用不多見，因此如何把所學(xué)知識應(yīng)用于解決生活實際問題至關(guān)重要。很多學(xué)生可能想到了方法，但不會表達(dá)，而還有學(xué)生是看不懂題目中的表述在數(shù)學(xué)中的含義。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)實際情境問題進(jìn)行思考、反思、總結(jié)，從而提高學(xué)生解決實際情境問題的能力，同時讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)知識在解決實際問題中的作用。

六、錯題

反思錯題有助于學(xué)生找到問題所在，避免再犯同樣的錯誤，提高數(shù)學(xué)解題能力。具體做法如下：

1.明確錯誤原因。仔細(xì)分析錯題，找出錯誤的原因，如概念理解不清、計算錯誤、方法不當(dāng)?shù)取Ｃ鞔_錯誤原因，有助于針對性地解決問題。

2.回顧相關(guān)知識點(diǎn)?；仡櫯c錯題相關(guān)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，確保自己對這些知識點(diǎn)有清晰的理解。如果遇到不熟悉的知識點(diǎn)，應(yīng)及時查閱課本或請教老師、同學(xué)。

3.訂正錯題。在找到錯誤原因后，嘗試自己訂正錯題。訂正錯題有助于把握正確的解題思路和方法，同時提升解題能力。

4.舉一反三。在訂正錯題后，嘗試舉一反三，找出類似的問題并進(jìn)行練習(xí)。舉一反三有助于更好地掌握相關(guān)知識點(diǎn)，提高解題的熟練度。

5.尋求幫助。如果在反思過程中遇到困難，可向老師、同學(xué)請教，或者參加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，與其他小組成員共同討論、解決問題。

通過明確錯誤原因、回顧相關(guān)知識點(diǎn)、訂正錯題、舉一反三、尋求幫助等，學(xué)生可以更好地掌握數(shù)學(xué)知識，提高解題能力。

［例6］在[△ABC]中，[AB=AC]，[AB]的垂直平分線與[AC]所在的直線相交所得到的銳角為50°，則[∠B=]" " " " " " " 。

解析：此題根據(jù)[△ABC]中[∠A]為銳角與鈍角進(jìn)行分類討論。當(dāng)[∠A]為銳角時，如圖13，[∠B=70°]；當(dāng)[∠A]為鈍角時，如圖14，[∠B=20°]。

反思：很多學(xué)生按通常的認(rèn)識習(xí)慣畫出了銳角三角形，沒有注意到題中的等腰三角形并未畫出，即條件不明確，因此應(yīng)分類討論，還存在是鈍角三角形的情況，所以答案應(yīng)是70°或20°。當(dāng)題中無具體化條件或是幾何題沒有畫圖，尤其是等腰三角形等有多種可能的圖形時，應(yīng)進(jìn)行分類討論，以避免出現(xiàn)漏解。

總之，從以上六個著力點(diǎn)進(jìn)行解題反思，能夠幫助學(xué)生更好地鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識和習(xí)得數(shù)學(xué)技能，掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，體悟數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用價值，進(jìn)一步領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法、完善思維過程，促使解題過程更加合理與解題方法更加便捷，提高解題能力。初中數(shù)學(xué)解題反思是一個持續(xù)的過程，需要不斷地思考、總結(jié)和改進(jìn)。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

[1]" 史寧中.數(shù)學(xué)基本思想與教學(xué)[M].北京：商務(wù)印書館，2018.

[2]" 白小紅.新課程背景下提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的策略分析[J].考試周刊，2021（92）：55-57.

（責(zé)任編輯 黃春香）