依托“學(xué)歷案”設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

［摘 要］“三新”背景下，“學(xué)歷案”逐漸成為教師課堂教學(xué)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的一個(gè)新模式。文章以“基本不等式”一課的“學(xué)歷案”為例，分析“學(xué)歷案”的設(shè)計(jì)與應(yīng)用方法，為一線教師設(shè)計(jì)、應(yīng)用“學(xué)歷案”以及進(jìn)行教學(xué)改革與創(chuàng)新提供有益的參考。

［關(guān)鍵詞］學(xué)歷案；設(shè)計(jì)；深度學(xué)習(xí)；基本不等式

［中圖分類號(hào)］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）23-0015-04

一、問(wèn)題提出

在“三新”（新課標(biāo)、新教材、新高考）背景下，課堂教學(xué)更加注重體現(xiàn)學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)與深度學(xué)習(xí)，不斷提升學(xué)生的關(guān)鍵能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。這就要求教師改進(jìn)傳統(tǒng)的教學(xué)方式（如五導(dǎo)四動(dòng)）、教學(xué)方案（如教案、學(xué)案、導(dǎo)學(xué)案），更加注重體現(xiàn)學(xué)生的主體性與提高學(xué)生的參與度。在此背景下，“學(xué)歷案”應(yīng)運(yùn)而生，其巧妙融合了傳統(tǒng)教學(xué)方案的優(yōu)點(diǎn)，創(chuàng)新融入學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，逐漸成為現(xiàn)階段教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)中的一種更加科學(xué)、合理的文本方案，且還在不斷地優(yōu)化與提升。

如何繼承與發(fā)展傳統(tǒng)教學(xué)方案的優(yōu)點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)與深度學(xué)習(xí)的“學(xué)歷案”，成為“學(xué)歷案”設(shè)計(jì)與編寫研究的一個(gè)熱門課題。

本文以“基本不等式”一課的“學(xué)歷案”為例，分析“學(xué)歷案”的設(shè)計(jì)與應(yīng)用方法，為一線教師設(shè)計(jì)、應(yīng)用“學(xué)歷案”以及進(jìn)行教學(xué)改革與創(chuàng)新提供參考。

二、“學(xué)歷案”的設(shè)計(jì)與應(yīng)用

下面筆者以“基本不等式”一課為例闡述“學(xué)歷案”的設(shè)計(jì)與應(yīng)用。

（一）導(dǎo)學(xué)聚焦

在“學(xué)歷案”中，通過(guò)表格（如表1）羅列教材核心知識(shí)、學(xué)習(xí)目標(biāo)、核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。

設(shè)計(jì)意圖：在“導(dǎo)學(xué)聚焦”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中，依托表格，對(duì)教材核心知識(shí)、學(xué)習(xí)目標(biāo)、核心素養(yǎng)進(jìn)行羅列，使得學(xué)習(xí)目標(biāo)更加明確，形成導(dǎo)學(xué)聚焦；讓目標(biāo)主線貫穿整個(gè)“學(xué)歷案”的設(shè)計(jì)與應(yīng)用過(guò)程。

（二）自主學(xué)習(xí)

讓學(xué)生預(yù)習(xí)人教版（A版）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章“一元二次函數(shù)、方程和不等式”第44頁(yè)至第49頁(yè)的內(nèi)容，并思考以下問(wèn)題：

（1）基本不等式的內(nèi)容是什么？包括哪些基本信息？

（2）如何證明基本不等式？你有哪些方法？

（3）基本不等式成立的條件是什么？主要由哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)構(gòu)成？

（4）利用基本不等式求解一些函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí)，應(yīng)該注意哪些基本問(wèn)題？

（5）利用基本不等式解決一些應(yīng)用問(wèn)題與綜合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該注意哪些基本問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：借助“自主學(xué)習(xí)”環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)“課前有預(yù)習(xí)”，構(gòu)建更加完整、和諧的“學(xué)歷案”體系，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。

（三）新知初探

1.重要不等式與基本不等式

展示重要不等式與基本不等式的相關(guān)內(nèi)容（如圖1）。

【思考】（1）重要不等式[a2+b2≥2ab]和基本不等式[ab≤a+b2]成立的條件是否相同？

提示：重要不等式[a2+b2≥2ab]和基本不等式[ab≤a+b2]成立的條件是不同的。前者要求[a]，[b]是實(shí)數(shù)，而后者要求[a]，[b]都是正實(shí)數(shù)（即[agt;0]，[bgt;0]）。

（2）基本不等式中的[a]，[b]只能是具體的某個(gè)數(shù)嗎？

提示：不完全是?；静坏仁街械腫a]，[b]既可以是具體的某個(gè)數(shù)，也可以是某個(gè)相應(yīng)的代數(shù)式。

（3）基本不等式成立的條件“[agt;0]，[bgt;0]”能省略嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

提示：不能。例如，[（-3）+（-4）2≥（-3）×（-4）]是不成立的。

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合重要不等式與基本不等式的基本內(nèi)容、相互聯(lián)系設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，并深入探究?jī)煞N不等式的成立條件、變量的取值范圍等，進(jìn)而理解與把握兩種不等式的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，為接下來(lái)的基本不等式的應(yīng)用打好基礎(chǔ)。

2.基本不等式與最值

已知[agt;0]，[bgt;0]，則有：

（1）若[a+b=S]（和為定值），則當(dāng)[a=b]時(shí)，積[ab]取得最大值[S24]。

（2）若[ab=P]（積為定值），則當(dāng)[a=b]時(shí)，和[a+b]取得最小值[2P]。

可以借助口訣“兩正數(shù)的和定積最大，兩正數(shù)的積定和最小”來(lái)輔助記憶。

【思考】通過(guò)以上基本不等式與最值之間的結(jié)論，你認(rèn)為利用基本不等式求解一些函數(shù)或代數(shù)式的最值要注意哪些基本問(wèn)題？

提示：利用基本不等式求解一些函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí)，必須按照“一正”“二定”“三相等”這三個(gè)基本原則來(lái)分析與處理。“一正”即符合基本不等式[ab≤a+b2]成立的前提條件：對(duì)應(yīng)的[a]，[b]均為正數(shù)；“二定”即符合基本不等式[ab≤a+b2]中的[a]，[b]和為定值或積為定值的條件；“三相等”即只有當(dāng)[a=b]，才符合基本不等式取“=”號(hào)的條件。在實(shí)際運(yùn)用基本不等式解決問(wèn)題時(shí)，以上三個(gè)原則缺一不可。

設(shè)計(jì)意圖：深入探究利用基本不等式解決最值問(wèn)題的兩種基本類型，為實(shí)際操作與應(yīng)用指明方向。

設(shè)置“新知初探”環(huán)節(jié)，依托學(xué)生的課前預(yù)習(xí)，以及教師的課堂教學(xué)，合理引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)與自主學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)師生雙邊互動(dòng)。

（四）講練互動(dòng)

探究點(diǎn)1：對(duì)基本不等式的理解

［例1］（多選題）下列條件中，能使[ba+ab≥2]成立的是（ ）。

A. [abgt;0]" " " " " " " " " " B. [ablt;0]

C. [agt;0]，[bgt;0]" " " " " "D. [alt;0]，[blt;0]

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生注意運(yùn)用基本不等式時(shí)的三個(gè)基本原則：

探究點(diǎn)2：利用基本不等式直接求解最值

［例2］（1）已知[tgt;0]，求[y=t3-4t+1t]的最小值。

（2）若正實(shí)數(shù)[x]，[y]滿足[2x+y=1]，求[xy]的最大值。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生去尋找題設(shè)的定值條件，若[a+b=S]（和為定值），則當(dāng)[a=b]時(shí)，積[ab]有最大值[S24]，可以用基本不等式[ab≤a+b2]求得；若[ab=P]（積為定值），則當(dāng)[a=b]時(shí)，和[a+b]有最小值[2P]，可以用基本不等式[a+b≥2ab]求得。不論是哪種情況都要注意取得等號(hào)的條件是否成立。

探究點(diǎn)3：利用基本不等式變形求解最值

［例3］（1）已知[xgt;2]，則[y=x+4x-2]的最小值為" " " " " " " " " " 。

（2）若[0lt;xlt;12]，則函數(shù)[y=12x（1-2x）]的最大值是" " " " " " " " " " 。

（3）若[x]，[y∈（0，+∞）]，且[x+4y=1]，則[1x+1y]的最小值為" " " " " " " " " " 。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注利用基本不等式求最值的策略以及拼湊法求解最值應(yīng)注意的問(wèn)題：（1）以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做好等價(jià)變形；（2）通過(guò)代數(shù)式的變形拼湊出和或積的定值；（3）拆項(xiàng)、添項(xiàng)時(shí)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提條件。

探究點(diǎn)4：利用基本不等式證明不等式

［例4］已知[a]，[b]，[c∈（0，+∞）]，且[a+b+c=1]。求證：[1a-11b-11c-1≥8]。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生掌握利用基本不等式證明不等式的思路與方法技巧，即利用基本不等式證明不等式時(shí)，要先觀察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接利用基本不等式證明，則應(yīng)考慮對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之變?yōu)槟芾没静坏仁絹?lái)證明；若題目中有已知條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，要注意“1”的代換。另外，解題時(shí)要時(shí)刻注意等號(hào)成立的條件。

探究點(diǎn)5：利用基本不等式解決應(yīng)用問(wèn)題

［例5］某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)[y]（單位：萬(wàn)元）與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間[x]（單位：年）的關(guān)系為[y=-x2+18x-25（x∈N*）]，則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)" " " " " 年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值是" " " " " " " " " 萬(wàn)元。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)利用基本不等式解決應(yīng)用問(wèn)題的思路，讓學(xué)生知道利用基本不等式解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是建構(gòu)模型。在解題過(guò)程中應(yīng)盡量向模型[ax+bx≥2ab（agt;0，bgt;0，xgt;0）]靠攏。

探究點(diǎn)6：利用基本不等式解決綜合問(wèn)題

［例6］若不等式[9x+a2x≥a+1]（常數(shù)[agt;0]）對(duì)一切正實(shí)數(shù)[x]成立，則常數(shù)[a]的取值范圍為" " " " " "。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白解決一些不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)求對(duì)應(yīng)函數(shù)值的最值來(lái)合理轉(zhuǎn)化：（1）[a≤f（x）]恒成立[?]求[f（x）]的最小值；（2）[a≥f（x）]恒成立?求[f（x）]的最大值。這里[f（x）]表示有關(guān)[x]的代數(shù)值。

在“講練互動(dòng)”環(huán)節(jié)，教師可以根據(jù)不同班級(jí)學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性與教師的主導(dǎo)性，使教師的講與學(xué)生的練能更好地結(jié)合與轉(zhuǎn)化。

三、教學(xué)啟示

（一）圍繞“以學(xué)生為中心”這一基本理念來(lái)設(shè)計(jì)與編寫

“學(xué)歷案”應(yīng)圍繞“以學(xué)生為中心”這一基本理念來(lái)設(shè)計(jì)和編寫。這就要求教師基于高視角與高觀點(diǎn)，充分把握學(xué)生的認(rèn)知水平與知識(shí)能力等，并依托學(xué)生的能力水平設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷、學(xué)習(xí)過(guò)程與學(xué)習(xí)體驗(yàn)，使得“學(xué)歷案”更加契合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，從而讓學(xué)生能夠更好地進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、自主探究、自主創(chuàng)新、深度學(xué)習(xí)。

在“學(xué)歷案”的實(shí)際設(shè)計(jì)與編寫過(guò)程中，教師可以在一些具體細(xì)節(jié)上體現(xiàn)“以學(xué)生為中心”這一基本理念。如在具體實(shí)例的應(yīng)用中，通過(guò)合理變式，創(chuàng)設(shè)變式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在掌握應(yīng)用實(shí)例的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行深入探究與創(chuàng)新應(yīng)用，從而有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。對(duì)于變式問(wèn)題，教師可結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況與教學(xué)需求加以創(chuàng)新設(shè)計(jì)。例如，教師結(jié)合學(xué)生對(duì)應(yīng)用案例相關(guān)知識(shí)的理解與掌握情況，合理設(shè)置以上幾個(gè)典型變式。

［變式1］（變條件）已知[xlt;2]，則[y=x+4x-2]的最大值為" " " " " " " "。

［變式2］（變?cè)O(shè)問(wèn)）已知[0lt;xlt;1]，則[x（3-3x）]取得最大值時(shí)[x]的值為" " " " " " " " 。

［變式3］（變形式）已知[xgt;0]，[ygt;0]，且[1x+9y=1]，則[x+y]的最小值為" " " " " " " "。

“以學(xué)生為中心”的基本理念要貫穿“學(xué)歷案”的整個(gè)設(shè)計(jì)與編寫過(guò)程，深入到學(xué)生的各個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)（括課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)與課后學(xué)習(xí)等）。教師應(yīng)創(chuàng)新設(shè)計(jì)“學(xué)歷案”，有效引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)與深度學(xué)習(xí)，凸顯學(xué)生的主體地位。

（二）抓住“教學(xué)根本”來(lái)設(shè)計(jì)與編寫

“學(xué)歷案”的編寫與設(shè)計(jì)不能脫離教學(xué)根本?！皩W(xué)歷案”必須牢牢抓住教學(xué)實(shí)質(zhì)來(lái)合理設(shè)計(jì)。

在具體設(shè)計(jì)與編寫對(duì)應(yīng)課時(shí)的“學(xué)歷案”時(shí)，教師必須厘清課時(shí)內(nèi)容在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位，進(jìn)而圍繞教學(xué)任務(wù)與教學(xué)根本，合理確定教學(xué)內(nèi)容、知識(shí)點(diǎn)的難易程度以及學(xué)習(xí)深度與寬度等，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，合理分層設(shè)計(jì)，巧妙調(diào)控與創(chuàng)設(shè)。

例如上述“講練互動(dòng)”環(huán)節(jié)，圍繞“基本不等式”的教學(xué)任務(wù)與教學(xué)根本，通過(guò)基本不等式的概念理解、基本不等式的直接運(yùn)用、基本不等式的變形運(yùn)用以及基本不等式的綜合運(yùn)用（包括證明、實(shí)際應(yīng)用與綜合應(yīng)用等），層層遞進(jìn)，體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷與思維過(guò)程。而對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題，則根據(jù)班級(jí)學(xué)生的具體情況合理分層，以契合各層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

（三）根據(jù)“核心素養(yǎng)”這一基本目標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)與編寫

“學(xué)歷案”有別于傳統(tǒng)教學(xué)方案的地方是更加關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，合理設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程及引導(dǎo)學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與掌握學(xué)習(xí)技能，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

例如上面所述的例3，對(duì)于基本不等式的變形應(yīng)用問(wèn)題，是基于基本不等式的“三原則”引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，并通過(guò)拼湊法來(lái)解決問(wèn)題的，而拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，這充分體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力的訓(xùn)練與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

綜上，“學(xué)歷案”的設(shè)計(jì)與編寫應(yīng)貫徹“以學(xué)生為中心”的基本理念，為學(xué)生設(shè)計(jì)合理有效的學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生把握“四基”與提升“四能”，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（責(zé)任編輯 黃春香）