應(yīng)用求導(dǎo)運(yùn)算，探究抽象函數(shù)性質(zhì)

摘" 要：抽象函數(shù)的原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間具有特殊關(guān)系，特別是相互之間的函數(shù)性質(zhì)可以加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.本文依托抽象函數(shù)場(chǎng)景，借助求導(dǎo)運(yùn)算，針對(duì)抽象函數(shù)中的對(duì)稱性、周期性等基本性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合實(shí)例加以剖析，歸納問題類型與技巧策略，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；原函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)

抽象函數(shù)的原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)，是一對(duì)具有獨(dú)立性質(zhì)又相互聯(lián)系的函數(shù).在研究相關(guān)抽象函數(shù)的基本性質(zhì)問題時(shí)，經(jīng)常借助求導(dǎo)運(yùn)算及其應(yīng)用，巧妙轉(zhuǎn)化抽象函數(shù)的原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，為深入研究相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)提供條件.本文結(jié)合抽象函數(shù)的對(duì)稱性、周期性等基本性質(zhì)的應(yīng)用，實(shí)例剖析，歸納技巧，總結(jié)規(guī)律.

1" 抽象函數(shù)的對(duì)稱性問題

抽象函數(shù)的原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)，其圖象具有對(duì)應(yīng)的關(guān)于點(diǎn)與關(guān)于直線之間對(duì)稱的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)抽象函數(shù)的對(duì)稱性問題.

例1" （2023年湖北省武漢市武昌區(qū)高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（三模））（多選題）已知非常數(shù)函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，若f（1-2x）為奇函數(shù)，f（2x-1）為偶函數(shù)，則（" ）.

A. f（0）=0

B. f（-2021）=-f（2023）

C. f′（2x-1）=f′（2x+7）

D. f′（-2021）=f′（2023）

解析：因?yàn)榉浅?shù)函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，若f（1-2x）為奇函數(shù)，則f（1-2x）=-f（1+2x），則函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，且f（1）=0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

因?yàn)閒（1-2x）=-f（1+2x），令x=1011，則f（-2021）=-f（2023），故選項(xiàng)B正確.

因?yàn)閒（1-2x）=-f（1+2x），即f（1+x）=-f（1-x），兩邊同時(shí)求導(dǎo)，則有f′（1+x）=f′（1-x），所以函數(shù)f′（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)f（2x-1）為偶函數(shù)，所以f（-2x-1）=f（2x-1），即f（-1-x）=f（-1+x），兩邊同時(shí)求導(dǎo)，則有-f′（-1-x）=f′（-1+x），所以f′（x）關(guān)于（-1，0）成中心對(duì)稱，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）的周期為4×（1+1）=8，所以f′（2x-1）=f′（2x+7），故選項(xiàng)C正確.

因?yàn)楹瘮?shù)f′（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且-2021+20232=1，所以f′（-2021）=f′（2023），故D正確.

故選擇答案BCD.

例2" （2023年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)二模試卷）（多選題）已知函數(shù)f（x）與g（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）與g′（x）的定義域均為R，f（x）是偶函數(shù)，g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則（" ）.

A. g［f（-1）］=g［f（1）］

B. f［g（3）］=f［g（-1）］

C. f［g′（3）］=f［g′（-1）］

D. g［f′（-1）］=g［f′（1）］

解析：由f（x）是偶函數(shù)，g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則有f（-x）=f（x），g（x）=-g（2-x），則f′（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，所以f′（-x）=-f′（x），g′（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，所以g′（x）=g′（2-x）.

對(duì)于選項(xiàng)A，令x=1，則f（-1）=f（1），所以g［f（-1）］=g［f（1）］，故選項(xiàng)A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B，令x=3，則g（3）=-g（-1），所以f［g（3）］=f［-g（-1）］=f［g（-1）］，故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C，令x=3，則g′（3）=g′（-1），所以f［g′（3）］=f［g′（-1）］，故選項(xiàng)C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D，令x=1，則f′（-1）=-f′（1），所以g［f′（-1）］=g［-f′（1）］，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選擇答案ABC.

總結(jié)提煉：涉及抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的對(duì)稱性問題，可歸納總結(jié)得到以下結(jié)論：①若函數(shù)f（x）是連續(xù)且可導(dǎo)的，原函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱；②若函數(shù)f（x）是連續(xù)且可導(dǎo)的，原函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（a，f（a））對(duì)稱，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

2" 抽象函數(shù)的周期性問題

依托抽象函數(shù)的原函數(shù)，通過求導(dǎo)運(yùn)算，可以得以確定對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的圖象具有對(duì)應(yīng)的周期性問題，實(shí)現(xiàn)抽象函數(shù)的原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的周期性轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

例3" （2023年浙江省Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）（多選題）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f（2x+1）-2x與g（x+2）均為偶函數(shù)，則（" ）.

A. g（1）=1

B. 函數(shù)f（x+1）x的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱

C. 函數(shù)g（x）的周期為2

D. 2024k=1［g（k）-1］［g（k+1）+1］=0

解析：對(duì)于選項(xiàng)A，若f（2x+1）-2x為偶函數(shù)，則f（2x+1）-2x關(guān)于直線x=0對(duì)稱，將f（2x+1）-2x縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得f（x+1）-x，則函數(shù)f（x+1）-x關(guān)于直線x=0對(duì)稱，即f（x+1）-x為偶函數(shù)，所以f（x+1）-x=f（-x+1）+x，則f（x+1）=f（-x+1）+2x，所以f′（x+1）=-f′（-x+1）+2，即g（x+1）=-g（-x+1）+2，令x=0，可得g（1）=-g（1）+2，所以g（1）=1，故選項(xiàng)A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B，由f（x+1）=f（-x+1）+2x，可得當(dāng)x≠0時(shí)，f（x+1）x=f（-x+1）x+2，即f（x+1）x+f（-x+1）-x=2，令h（x）=f（x+1）x，則h（-x）=f（-x+1）-x，所以h（x）+h（-x）=2，所以函數(shù)h（x）=f（x+1）x的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)間（x+2）為偶函數(shù)，則g（x+2）=g（-x+2），又g（x+1）=-g（-x+1）+2，所以g（x+2）=g［（x+1）+1］=-g［-（x+1）+1］+2=-g（-x）+2，則g（x+4）=g［（x+2）+2］=g［-（x+2）+2］=g（-x），所以g（x+2）+g（x+4）=2，即g（x）+g（x+2）=2，則g（x+4）=g［（x+2）+2］=2-g（x+2）=2-［2-g（x）］=g（x），所以函數(shù)g（x）的周期為4，故選項(xiàng)C不正確.

對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)g（x）的周期為4，則函數(shù)g（k）g（k+1）的周期也為4，由g（x）+g（x+2）=2，可得g（1）+g（3）=2，g（2）+g（4）=2.

則2024k=1［g（k）-1］［g（k+1）+1］=2024k=1［g（k）·g（k+1）-g（k+1）+g（k）-1］=2024k=1［g（k）g（k+1）］-2024k=1g（k+1）+2024k=1g（k）-2024=2024k=1［g（k）g（k+1）］-g（2025）+g（1）-2024=2024k=1［g（k）g（k+1）］-g（506×4+1）+g（1）-2024=2024k=1［g（k）g（k+1）］-2024=506×［g（1）g（2）+g（2）g（3）+g（3）g（4）+g（4）g（5）］-2024=506×［g（2）+g（4）］［g（1）+g（3）］-2024=0，故選項(xiàng)D正確.

故選ABD.

總結(jié)提煉：涉及抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的周期性問題，經(jīng)常是對(duì)應(yīng)原函數(shù)的關(guān)系式中看不出函數(shù)的周期性，結(jié)合原函數(shù)的關(guān)系式的求導(dǎo)運(yùn)算，凸現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)中的表達(dá)式，為進(jìn)一步確定導(dǎo)函數(shù)的周期性打下基礎(chǔ).

基于此，借助函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算及其應(yīng)用，合理構(gòu)建抽象函數(shù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的聯(lián)系，為深入研究抽象函數(shù)的對(duì)稱性、周期性等基本性質(zhì)提供條件，使問題的分析與解決更加直接、有效，結(jié)合合理的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，成為問題解決的突破口，對(duì)于優(yōu)化數(shù)學(xué)“四基”，提高“四能”，以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面都有益處.