挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì) 合理等價(jià)轉(zhuǎn)化 提升學(xué)科素養(yǎng)

摘" 要：四點(diǎn)共圓是初中平面幾何中的一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，如今它已悄然走進(jìn)高中解析幾何，出現(xiàn)在?？己透呖嫉脑囶}中，不少學(xué)生對它望而生畏.本文以高三復(fù)習(xí)中遇到的一道?？碱}為例，從不同角度逐層深入去思考探究問題的解決方案，過程中滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想和方法，通過靈活等價(jià)轉(zhuǎn)換逐步降低證明難度，在潛移默化中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：解析幾何；四點(diǎn)共圓；等價(jià)轉(zhuǎn)換

關(guān)于平面解析幾何學(xué)業(yè)要求的闡述中，有兩點(diǎn)需要我們特別予以關(guān)注：①能夠通過代數(shù)語言把幾何問題代數(shù)化；

②在對幾何問題（圖形）的分析中，探索解題方向和思路.那么，在高三數(shù)學(xué)的教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)這一要求呢？本文以高三復(fù)習(xí)中遇到的一道?？碱}四點(diǎn)共圓的證明為載體，多角度逐層漸進(jìn)對其解法進(jìn)行深度思考與探究.

1" 試題呈現(xiàn)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），短軸長為22，離心率為22.過右焦點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M，交直線x=22于點(diǎn)N.

（1）求橢圓C的方程.

（2）證明A，M，B，N四點(diǎn)共圓.

這是一道結(jié)構(gòu)典型的解析幾何題，第（1）問求圓錐曲線方程.第（2）問是四點(diǎn)共圓證明問題，這是解析幾何中的一個(gè)難點(diǎn)問題，有一定的難度和區(qū)分度.證明時(shí)需要學(xué)生有較好的識圖能力和計(jì)算功底，更需要具備較強(qiáng)的靈活轉(zhuǎn)化、合理聯(lián)想的能力.

2" 解法探究

第（1）問的解答學(xué)生沒有困難，橢圓C的方程為x24+y22=1，下面重點(diǎn)探究第（2）問.大部分學(xué)生會以“設(shè)直線l方程以及A（x1，y1），B（x2，y2）并聯(lián)立直線與橢圓方程”這一常規(guī)操作入手.由于l過x軸上的定點(diǎn)F（2，0）且與坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)直線AB方程為x=my+2（m≠0）這一形式可以簡化計(jì)算.將直線與橢圓C方程聯(lián)立消去y，得（m2+2）y2+22my-2=0，y1+y2=-22mm2+2，y1y2=-2m2+2.求證四點(diǎn)共圓，學(xué)生比較容易想到求M，N兩點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)AB中點(diǎn)為T，則T為22m2+2，-2mm2+2，所以AB的中垂線方程為y+2mm2+2=-mx-22m2+2，可求得M為2m2+2，0，N為22，-22m3-32mm2+2.分析可知A，B，M，N這四個(gè)點(diǎn)沒有一個(gè)是確定的點(diǎn)且坐標(biāo)復(fù)雜，許多學(xué)生會陷入困境，不知從何下手.那么應(yīng)該從哪里突破呢？

思考1：既然求證四點(diǎn)共圓，那么這四個(gè)點(diǎn)只是圓上的普通點(diǎn)嗎？會不會是具有某些特性的點(diǎn)？這四點(diǎn)之間有無關(guān)聯(lián)？帶著疑問再細(xì)讀題，MN垂直平分AB，突破口躍然紙上，如果這四點(diǎn)共圓，那MN不就是圓的直徑嗎.因此可設(shè)出圓的直徑式方程，證明A點(diǎn)在這個(gè)圓上，由于A，B兩點(diǎn)地位一致，同理可得B點(diǎn)也在這個(gè)圓上，即可證明四點(diǎn)共圓.證明過程如下.

證法1：設(shè)以MN為直徑的圓方程為x-2m2+2（x-22）+yy+22m3+32mm2+2=0①，帶入A（x1，y1），因?yàn)閤1=my1+2，（m2+2）y21+22my1-2=0，則①式左邊=my1+2-2m2+2（my1-2）+y1y1+22m3+32mm2+2=（m2+1）y21+22m3y1+22my1+2m2+2-2=（m2+1）·2-22my1m2+2+22m3y1+22my1+2m2+2-2=2m2+4m2+2-2=0=右邊，所以A點(diǎn)在以MN為直徑的圓上.把y1換成y2同理可得，B點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，所以A，M，B，N四點(diǎn)共圓.

反思：證法1的思路學(xué)生容易理解和入手，但化簡過程中需要先利用直線l的方程消去x，再利用曲直聯(lián)立后得到的一元二次方程來降次，運(yùn)算量比較大，大部分學(xué)生很難算到最后.從學(xué)生的認(rèn)知來看，他們熟悉且掌握的比較好的操作是直接應(yīng)用曲直聯(lián)立后得到的根與系數(shù)的關(guān)系解題，對直接使用聯(lián)立后的方程來化簡的方法學(xué)生是比較陌生的，甚至想不到.那么如何解決這個(gè)問題呢？

思考2：證法1中之所以無法使用根與系數(shù)的關(guān)系即韋達(dá)定理，是因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在圓上是分開證明的.因此化簡的式子中只出現(xiàn)了y1，y2中的一個(gè)，為非對稱結(jié)構(gòu)，能不能讓它們同時(shí)出現(xiàn)，構(gòu)造對稱結(jié)構(gòu)？仔細(xì)觀察證法1中帶入A點(diǎn)后的式子結(jié)構(gòu)，可發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)就是證明MA·NA=0，這是因?yàn)镸N是圓的直徑，只要證明∠MAN=90°即可證明點(diǎn)A在該圓上.由于MA·NA=MB·NB，因此只要證明MA·NA+MB·NB=0，即可得到四點(diǎn)共圓.主要證明過程如下.

證法2：MA·NA+MB·NB=my1+2-2m2+2（my1-2）+y1y1+22m3+32mm2+2+my2+2-2m2+2（my2-2）+y2y2+22m3+32mm2+2=（m2+1）（y21+y22）+22m3+22mm2+2（y1+y2）+4m2+2-4=（m2+1）［（y1+y2）2-2y1y2］+22m3+22mm2+2（y1+y2）+4m2+2-4=（m2+1）（12m2+8）-8m2（m2+1）（m2+2）2+4m2+2-4=4（m2+1）+4m2+2-4=0.

反思：在解析幾何里，與角度、垂直有關(guān)的問題，我們可以用向量的知識來處理.證法2中，通過坐標(biāo)運(yùn)算將幾何問題代數(shù)化，同時(shí)巧用構(gòu)造對稱，化陌生為熟悉，讓學(xué)生得以應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.但計(jì)算量并沒有減少，學(xué)生往往在運(yùn)算中途受挫，沒有信心繼續(xù)算到底.

思考3：證法1和2的實(shí)質(zhì)是證明∠MAN=90°，在證明的過程中實(shí)現(xiàn)了幾何問題解析化.還有沒有別的途徑？有沒有可能從幾何圖形入手？聯(lián)想證明直角三角形的相關(guān)方法，結(jié)合本題的圖形特點(diǎn)，可將證明∠MAN=90°等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)A到線段MN中點(diǎn)Q的距離等于MN長度的一半.由于AQ位于Rt△ATQ中，考慮用勾股定理來實(shí)現(xiàn)解析化.因此，這個(gè)證法中需要運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式分別求出AB，TQ，MN，再利用勾股定理求出AQ即可.證明過程如下.

證法3：因?yàn)锳B=1+m2|y1-y2|=1+m241+m2m2+2=4（1+m2）m2+2，TQ=1+m2·|xT-xQ|=1+m2x1+x22-xM+xN2=1+m222m2+2-2-22（m2+2）=1+m2·2（2m2+1）2（m2+2），MN=1+m2|xN-xM|=1+m222-2m2+2=1+m222m2+32m2+2.

所以AQ2=AT2+TQ2=AB24+TQ2=4（1+m2）2（m2+2）2+（1+m2）（2m2+1）22（m2+2）2=（m2+1）（4m4+12m2+9）2（m2+2）2=（m2+1）（2m2+3）22（m2+2）2=14MN2即AQ=12MN，所以A點(diǎn)在以MN為直徑的圓上.由點(diǎn)Q在AB中垂線上可得BQ=AQ=12MN，所以B點(diǎn)也在這個(gè)圓上，即可證明四點(diǎn)共圓.

反思：證法3的本質(zhì)依據(jù)是圓的定義，證明過程中對AQ的求解應(yīng)合理利用圖形中的特殊元素即直角三角形.另外用勾股定理的逆定理也可證明∠MAN=90°，但由于牽扯到的線段過多，證明AQ=12MN顯然更簡潔一些.相較證法1和2，證法3的運(yùn)算量和運(yùn)算難度都有所下降，不再讓學(xué)生可望而不可即.

思考4：在證明∠MAN=90°的過程中，不可忽視對角這個(gè)幾何圖形本身的挖掘.從該角的構(gòu)成可發(fā)現(xiàn)，要證∠MAN=90°即證∠MAT+∠TAN=90°，由于AB⊥MN，即證∠AMT=∠NAT.我們把這兩個(gè)角分別放到相應(yīng)的三角形中去，即Rt△AMT和Rt△NAT，因此只需證明這兩個(gè)直角三角形相似，可通過對應(yīng)邊成比例來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，即證TM·TN=AT2.證明過程如下.

證法4：因?yàn)門M·TN=1+m2|xM-xT|·1+m2|xN-xT|=4（1+m2）2（m2+2）2=AT2，所以ATTM=TNAT.

因?yàn)椤螦TM=∠NTA=90°，可得△ATM∽△NTA，所以∠AMT=∠NAT.

所以∠MAN=∠MAT+∠NAT=∠MAT+∠AMT=90°.

同理∠MBN=90°，所以A，M，B，N四點(diǎn)共圓.

反思：證法4是證法3的優(yōu)化，利用了平面幾何中的相關(guān)定理實(shí)現(xiàn)了幾何問題的代數(shù)化，它對學(xué)生幾何識圖及思維方面的要求略高于證法3，但計(jì)算明顯簡潔明了，使學(xué)生不會困在計(jì)算中，真正實(shí)現(xiàn)了多想少算的目標(biāo).

3" 解題感悟

證法1是由題目條件最容易想到的證法，但由于證明過程中需用到學(xué)生不熟悉的處理方法以及較為煩瑣的計(jì)算，導(dǎo)致學(xué)生入手容易出手難.證法2在挖掘證法1本質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)中處處可見的對稱美，優(yōu)化了目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)，化非常規(guī)為常規(guī)，但由于計(jì)算量未得到有效降低，導(dǎo)致學(xué)生容易半途而廢，喪失完整解題的信心.證法3在證法1、證法2的基礎(chǔ)上結(jié)合幾何圖形，對目標(biāo)式進(jìn)行了合理的轉(zhuǎn)化，在實(shí)現(xiàn)目標(biāo)式的過程中，利用直角三角形搭建平臺，有效降低了計(jì)算的復(fù)雜程度.證法4則是在進(jìn)一步分析了圖形幾何要素的基礎(chǔ)上，對目標(biāo)式進(jìn)行了優(yōu)化，簡化了計(jì)算.這四種解法層層遞進(jìn)，讓不同的思維層次和高度得以體現(xiàn).

解析幾何中，幾何是它的根本，解析是解決問題的手段，因此在高三解析幾何復(fù)習(xí)的教學(xué)中，要強(qiáng)化學(xué)生的幾何意識，引導(dǎo)學(xué)生先用幾何的眼光去仔細(xì)觀察圖形，準(zhǔn)確分析圖形性質(zhì)，挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，再合理等價(jià)轉(zhuǎn)化成代數(shù)的知識并利用相應(yīng)方法去解決問題，這樣往往可以找到較優(yōu)的解題思路和方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和積極性，從而發(fā)展學(xué)生思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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