探究與分布列概率有關(guān)的三大最值問(wèn)題

摘" 要：本文探究了高中數(shù)學(xué)中與分布列概率相關(guān)的三大最值問(wèn)題.首先，通過(guò)將二項(xiàng)分布轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求最值，探討了如何構(gòu)建數(shù)列，并利用數(shù)列性質(zhì)解決二項(xiàng)分布中的最值問(wèn)題.其次，研究了將二項(xiàng)分布轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求最值的方法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求解二項(xiàng)分布中事件的最值情況.最后，探討了超幾何分布的概率最值問(wèn)題，通過(guò)分析其特性確定了成功次數(shù)的最值情況.本文旨在為高中數(shù)學(xué)學(xué)生提供了解決最值問(wèn)題的不同方法和途徑，加深了他們對(duì)分布列概率的理解，并提高了他們的數(shù)學(xué)建模能力和問(wèn)題解決能力.

關(guān)鍵詞：探究；分布列概率；最值

1" 二項(xiàng)分布轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求最值

當(dāng)p給定時(shí)，可得到函數(shù)f（k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n，這個(gè)是數(shù)列的最值問(wèn)題.

pkpk-1=Cnkpk（1-p）n-kCk-1npk-1（1-p）n-k+1=（n-k+1）pk（1-p）=k（1-p）+（n+1）p-kk（1-p）=1+（n+1）p-kk（1-p）.

分析：當(dāng)klt;（n+1）p時(shí)，pkgt;pk-1，pk隨k值的增加而增加；當(dāng)kgt;（n+1）p時(shí)，pklt;pk-1，pk隨k值的增加而減少.如果（n+1）p為正整數(shù)，當(dāng)k=（n+1）p時(shí)，pk=pk-1，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值.如果（n+1）p為非整數(shù)，k?。╪+1）p的整數(shù)部分，則pk是唯一的最大值.

注：在二項(xiàng)分布［1］中，如果數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，那么隨機(jī)變量k取得期望值時(shí)，概率會(huì)達(dá)到最大.

例1" 某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若X～B（11，0.8），若P（X=k）最大，則k＝（" ）.

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

解析：因?yàn)镻（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，若P（X=k）最大，則P（X=k）≥P（X=k+1），

P（X=k）≥P（X=k-1），化簡(jiǎn)得，np+p-1≤k≤np+p，k∈N.代入已知數(shù)值得，8.6≤k≤9.6，所以k=9時(shí)P（X=k）最大.故選C.

例2" 某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是""" 次

解析：設(shè)9次射擊擊中k次概率P（X=k）=Ck9·0.8k·0.29-k最大.

則

Ck9·0.8k·0.29-k≥Ck-19·0.8k-1·0.210-k，

Ck9·0.8k·0.29-k≥Ck+19·0.8k+1·0.28-k，解得7≤k≤8，即P（X＝7）＝P（X＝8）同時(shí)最大，故k＝7或8.

評(píng)析：二項(xiàng)分布是一種常見(jiàn)的離散概率分布，用于描述在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布情況.將二項(xiàng)分布問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求最值是一種常見(jiàn)的解題思路.通過(guò)構(gòu)建數(shù)列，將二項(xiàng)分布中的各個(gè)事件概率表示為數(shù)列的元素，然后利用數(shù)列的性質(zhì)，如遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式等，求解出數(shù)列的最大值或最小值，從而得到原二項(xiàng)分布中對(duì)應(yīng)事件的最值情況.

2" 二項(xiàng)分布轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求最值

當(dāng)k給定時(shí)，可得到函數(shù)f（p）=Cknpk（1-p）n-k，p∈（0，1），這個(gè)是函數(shù)的最值問(wèn)題，可以用導(dǎo)數(shù)［2］求函數(shù)最值與最值點(diǎn).

分析：f′（p）=Ckn［kpk-1（1-p）n-k-pk（n-k）·（1-p）n-k-1］

=Cknpk-1（1-p）n-k-1［k（1-p）-（n-k）p］=Cknpk-1（1-p）n-k-1（k-np）.

當(dāng)k=1，2，…，n-1時(shí)，由于當(dāng)plt;kn時(shí)，f′（p）gt;0，f（p）單調(diào)遞增；當(dāng)pgt;kn時(shí)，f′（p）lt;0，f（p）單調(diào)遞減.故當(dāng)p=kn時(shí)，f（p）取得最大值，f（p）max=f（kn）.又當(dāng)p→0時(shí)，f（p）→1；當(dāng)p→0時(shí)，f（p）→0，從而f（p）無(wú)最小值.

例3" （2018年全國(guó)1卷）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0lt;plt;1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0.

解析：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=C220p2（1-p）18.求導(dǎo)得f′（p）=C220［2p·（1-p）18-18p2（1-p）17］=2C220p（1-p）17（1-10p）.令f′（p）=0，得p=0.1.當(dāng)p∈（0，0.1）時(shí)，f′（p）gt;0；當(dāng)p∈（0.1，1）時(shí)，f′（p）lt;0.所以f（p）的最大值點(diǎn)為p0=0.1.

例4" 設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為P（X=ak）=xk，P（Y=ak）=yk，xkgt;0，ykgt;0，k=1，2，…，n，nk=1xk=nk=1yk=1.指標(biāo)D（X‖Y）可用來(lái)刻畫(huà)X和Y的相似程度，其定義為D（X‖Y）=nk=1xklnxkyk.設(shè)X～B（n，p），0lt;plt;1.

（1）若Y～B（n，q），0lt;qlt;1，求D（X‖Y）.

（2）若n=2，P（Y=k-1）=13，k=1，2，3，求D（X‖Y）的最小值.

（3）對(duì)任意與X有相同可能取值的隨機(jī)變量Y，證明：D（X‖Y）≥0，并指出取等號(hào)的充要條件.

解析：（1）不妨設(shè)ak=k，則xk=Cknpk（1-p）n-k，yk=Cknqk（1-q）n-k.所以D（X‖Y）=ni=1Cknpk（1-p）n-klnpk（1-p）n-kqk（1-q）n-k=lnp（1-q）q（1-p）·nk=0kCknpk（1-p）n-k+nln1-p1-q·nk=0Cknpk（1-p）n-k=nplnp（1-q）q（1-p）+nln1-p1-q.

（2）當(dāng)n=2時(shí)，P（X=2）=p2，P（X=1）=2p·（1-p），P（X=0）=（1-p）2，記f（p）=D（X‖Y）=p2ln3p2+2p（1-p）ln6p（1-p）+（1-p）2·ln3（1-p）2=p2lnp2+2p（1-p）ln2p（1-p）+（1-p）2ln（1-p）2+ln3，則f′（p）=4plnp+2p+（2-4p）［ln2p（1-p）+1］-4（1-p）ln（1-p）-2（1-p）=2［lnp-ln（1-p）+（1-2p）ln2］，令g（p）=lnp-ln（1-p）+（1-2p）ln2，則g′（p）=1p+11-p-2ln2gt;0，令φ（p）=1p+11-p-2ln2，則φ′（p）=2p-1p2（1-p）2.當(dāng)0lt;plt;12時(shí)，φ′（p）lt;0，φ（p）單調(diào)遞減；當(dāng)12lt;plt;1時(shí)，φ′（p）gt;0，φ（p）單調(diào)遞增.可得φ（p）gt;φ12=4-2ln2gt;0，則g（p）單調(diào)遞增，而g12=0，所以f′（p）在0，12上為負(fù)數(shù)，在12，1上為正數(shù)，則f（p）在0，12上單調(diào)遞減，在12，1上單調(diào)遞增，所以D（X‖Y）的最小值為ln3-32ln2.

（3）令h（x）=lnx-x+1，則h′（x）=1x-1=1-xx.當(dāng)0lt;xlt;1時(shí)，h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)xgt;1時(shí)，h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減.可得h（x）≤h（1）=0，即lnx-x+1≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，則當(dāng)xgt;0時(shí)，lnx≤x-1，所以ln1x≤1x-1，即lnx≥1-1x，故D（X‖Y）=nk=1xklnxkyk≥nk=1xk·1-ykxk=nk=1（xk-yk）=nk=1xk-nk=1yk=0，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的k，使xk=yk時(shí)等號(hào)成立.

評(píng)析：另一種解決二項(xiàng)分布中最值問(wèn)題的方法是將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)［3］問(wèn)題求最值.通過(guò)將二項(xiàng)分布中的概率函數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)事件的最值情況.這種方法在高中數(shù)學(xué)中通常涉及利用導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)和極值判定法則，對(duì)概率函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求解過(guò)程，從而得到最值情況.

3" 超幾何分布的概率最值

將從（a+b）件產(chǎn)品中取出n件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn)，總數(shù)為Cna+b.其中，次品出現(xiàn)k次的可能為CkaCn-kb.令N=a+b，則所求概率為hk（N）=CkaCn-kN-aCnN，

即hk（N）hk（N-1）=CkaCn-kN-aCnNCkaCn-kN-1-aCnN-1=N2-aN-nN+anN2-aN-nN+kN.

令hk（N）hk（N-1）=λ.則當(dāng)angt;kN時(shí)，λgt;1；當(dāng)anlt;kN時(shí)，λlt;1.即當(dāng)Nlt;ank時(shí)，hk（N）是關(guān)于N的增函數(shù)；當(dāng)Ngt;ank時(shí)，hk（N）是關(guān)于N的減函數(shù).所以當(dāng)N=ank時(shí)，hk（N）達(dá)到最大值.

例5" 設(shè)隨機(jī)變量X～H（10，M，1000）（2≤M≤992且M∈N*），H（2；10，M，1000）最大時(shí)，E（X）=（" ）.

A. 1.98

B. 1.99

C. 2.00

D. 2.01

解析：隨機(jī)變量X～H（10，M，1000），則H（2；10，M，1000）=P（X=2）=C2MC81000-MC101000，由于H（2；10，M，1000）最大.

則有" H（2；10，M，1000）≥H（2；10，M+1，1000），

H（2；10，M，1000）≥H（2；10，M-1，1000）.

即C2MC81000-MC101000≥C2M+1C8999-MC101000，

C2MC81000-MC101000≥C2M-1C81001-MC101000.

整理，得（M-1）（1000-M）≥（M+1）（992-M），

M（993-M）≥（M-2）（1001-M），解得199.2≤M≤200.2，而M∈N*，則M=200，所以E（X）=10M1000=10×2001000=2.00.故選C.

例6" （2023屆四省聯(lián)考）一個(gè)池塘里的魚(yú)的數(shù)量記為N.首先，我們從池塘中撈出了200尾魚(yú)，并對(duì)它們進(jìn)行了標(biāo)識(shí).隨后，我們將這些魚(yú)放回了池塘.過(guò)了一段時(shí)間后，我們?cè)俅螐某靥林袚瞥隽?00尾魚(yú).X表示撈出的500尾魚(yú)中有標(biāo)識(shí)的魚(yú)的數(shù)目.

（1）已知撈出的500尾魚(yú)中15尾有標(biāo)識(shí)，試給出N的估計(jì)值（以使得P（X=15）最大的N的值作為N的估計(jì)值）.

解析：（1）當(dāng)Nlt;685時(shí)，P（X=15）=0；當(dāng)N≥685時(shí)，P（X=15）=C15200C485N-200C500N.記a（N）=C15200C485N-200C500N，則a（N+1）a（N）=C485N+1-200C500NC500N+1C485N-200=（N+1-500）（N+1-200）（N+1）（N+1-200-485）=（N-499）（N-199）（N+1）（N-684）=N2-698N+499×199N2-683N-684.由N2-698N+499×199gt;N2-683N-684，當(dāng)且僅當(dāng)Nlt;499×199+68415≈6665.7，則可知當(dāng)685≤N≤6665時(shí)，a（N+1）gt;a（N）；當(dāng)N≥6666時(shí)，a（N+1）lt;a（N）.故N=6666時(shí)，a（N）最大，所以N的估計(jì)值為6666.

評(píng)析：除了二項(xiàng)分布外，超幾何分布［4］也是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的離散概率分布之一，其用于描述從有限個(gè)對(duì)象中抽取樣本后成功次數(shù)的概率分布情況.超幾何分布的概率最值問(wèn)題涉及在給定參數(shù)條件下，成功次數(shù)取得最大或最小概率的情況.通過(guò)分析超幾何分布的性質(zhì)，如概率函數(shù)的形式，參數(shù)條件等，學(xué)生可以確定成功次數(shù)的最值情況，從而解決與超幾何分布相關(guān)的最值問(wèn)題.

4" 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)本文的研究，我們深入探討了高中數(shù)學(xué)中與分布列概率相關(guān)的三大最值問(wèn)題.首先，我們學(xué)習(xí)了如何將二項(xiàng)分布轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求最值，通過(guò)構(gòu)建數(shù)列，我們能夠解決二項(xiàng)分布中的最值問(wèn)題，這為我們提供了一種直觀的思路和方法.其次，我們研究了將二項(xiàng)分布轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題求最值的方法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和技巧，我們能夠更加高效地解決二項(xiàng)分布中的最值問(wèn)題.最后，我們探討了超幾何分布的概率最值問(wèn)題，通過(guò)分析超幾何分布的特性，我們能夠確定成功次數(shù)的最值情況，這為教師在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用提供了重要的參考依據(jù).

參考文獻(xiàn)

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