多思維展開，妙歸納變式

摘" 要：圓錐曲線的離心率問題，一直是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的一個重點與難點，題目場景新穎，形式變化多.本文結(jié)合一道橢圓離心率的求值應(yīng)用，從不同思維視角切入，結(jié)合不同的技巧與方法來分析與解決，合理歸納總結(jié)一般性結(jié)論，巧妙變式與拓展，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：橢圓；離心率；雙曲線

圓錐曲線中的離心率的求值或最值（或取值范圍）問題，往往可以很好交匯并融合平面幾何與平面向量、函數(shù)與方程、不等式以及三角函數(shù)等相關(guān)知識，非常契合高考數(shù)學(xué)試卷“在知識交匯點處”的命題指導(dǎo)思想.同時又是多種思維方式切入與應(yīng)用的基地，是數(shù)學(xué)命題與創(chuàng)新應(yīng)用的一個重要場景，一直是各類模擬考試與高考試卷中的熱點問題之一.

1" 問題呈現(xiàn)

設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點，M為橢圓上一點，直線MF1，MF2分別交橢圓于點A，B，若MF1=2F1A，MF2=3F2B，則橢圓的離心率為（" ）.

A. 321

B. 37

C. 37

D. 217

本題是以平面向量為背景來綜合創(chuàng)設(shè)，進(jìn)而求解橢圓的離心率.為了求解橢圓的離心率，可以將平面向量條件幾何化或者坐標(biāo)化，從而得到位置參數(shù)的等量關(guān)系，進(jìn)而求解對應(yīng)橢圓的離心率.

具體解決問題時，關(guān)鍵是合理引入動態(tài)參數(shù)，運用設(shè)線法、設(shè)點法、解三角形法以及焦點弦性質(zhì)法等方法，通過引入直線，引入點，引入長度，引入角度等方式，或根據(jù)已經(jīng)掌握的“二級結(jié)論”進(jìn)行小題小做等，解決此類圓錐曲線的綜合問題.

2" 問題破解

2.1" 設(shè)線思維

方法1：設(shè)線法.

依題可知，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

如圖1，易知直線MF1的斜率存在，不妨設(shè)直線MF1的方程為x=my-c.

圖1

聯(lián)立x=my-c，

x2a2+y2b2=1，

消去參數(shù)x并整理，

可得（b2m2+a2）y2-2mb2cy+b2（c2-a2）=0.

易知Δgt;0，由韋達(dá)定理，可得y0y1=b2（c2-a2）b2m2+a2.

因為點M（x0，y0）在直線MF1上，則有x0=my0-c，即m=x0+cy0.

則有|MF1||F1A|=-y0y1=-y0b2（c2-a2）（b2m2+a2）y0=-y20（b2m2+a2）b2（c2-a2）=-a2y20+b2（x0+c）2b2（c2-a2）=-a2b2-b2x20+b2（x0+c）2b2（c2-a2）=-a2+c2+2cx0c2-a2.

結(jié)合MF1=2F1A，可得-a2+c2+2cx0c2-a2=2，整理，可得x0=a2-3c22c.

同理，不妨設(shè)直線MF2的方程為x=ny+c.

聯(lián)立x=ny+c，

x2a2+y2b2=1，消去參數(shù)x并整理，

得

（b2n2+a2）y2+2nb2cy+b2（c2-a2）=0.

易知Δgt;0，由韋達(dá)定理，可得y0y2=b2（c2-a2）b2n2+a2.

因為點M（x0，y0）在直線MF2上，則有x0=ny0+c，即n=x0-cy0.

則有|MF2||F2B|=-y0y2=-y0b2（c2-a2）（b2n2+a2）y0=-y20（b2n2+a2）b2（c2-a2）=-a2y20+b2（x0-c）2b2（c2-a2）=-a2b2-b2x20+b2（x0-c）2b2（c2-a2）=-a2+c2-2cx0c2-a2.

結(jié)合MF2=3F2B，可得-a2+c2-2cx0c2-a2=3.

整理，有x0=2c2-a2c.

所以a2-3c22c=2c2-a2c，整理，有7c2=3a2.

所以橢圓的離心率為e=ca=37=217，故選擇答案D.

解后反思：設(shè)線法解決圓錐曲線中的綜合問題，是解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用問題中最為常用的一種技巧方法.借助設(shè)線法，將直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程問題，結(jié)合函數(shù)與方程思維來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，是解決涉及線段長度、弦長、比例關(guān)系等相關(guān)問題中比較常用的思維方法.設(shè)線法的解題過程往往比較煩瑣，運算量比較大.

2.2" 設(shè)點思維

方法2：設(shè)點法——單點參.

依題可知，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），設(shè)M（x0，y0）.

由MF1=2F1A，MF2=3F2B，

可得A-x0-3c2，-y02，B4c-x03，-y03.

所以x20a2+y20b2=1，

（x0+3c）24a2+y204b2=1，

（x0-4c）29a2+y209b2=1.

將x20a2+y20b2=1代入

，可得2cx0+3c2=a2，

-cx0+2c2=a2.消去x0，可得7c2=3a2.

所以橢圓的離心率為e=ca=37=217，故選擇答案D.

方法3：設(shè)點法——角度參.

依題可知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），設(shè)M（acosθ，bsinθ），θ∈［0，2π）.

由MF1=2F1A，MF2=3F2B.

可得A-acosθ-3c2，-bsinθ2，B4c-acosθ3，-bsinθ3.

所以acosθ+3ca2+sin2θ=4，

4c-acosθa2+sin2θ=9.

整理，有9e2+6ecosθ=3，

16e2-8ecosθ=8，消去cosθ，可得e2=37，由于0lt;elt;1，解得e=37=217.

所以橢圓的離心率為217，故選擇答案D.

解后反思：設(shè)點法解決圓錐曲線中的綜合問題，是解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用問題中另一種比較常用的技巧方法.設(shè)點時，可以結(jié)合應(yīng)用場景，或代數(shù)法設(shè)點，或三角法設(shè)點都可以有效達(dá)到目的.特別是涉及圓錐曲線中的最值（或取值范圍）問題時，經(jīng)常采用三角法設(shè)點.

2.3" 解三角形思維

方法4：余弦定理法.

依題可設(shè)|F1A|=m，|F2B|=n，由MF1=2F1A，MF2=3F2B，可得|MF1|=2m，|MF2|=3n.

如圖2，結(jié)合橢圓的定義，可得2a=|MF1|+|MF2|=2m+3n，則知|F2A|=m+3n，|F1B|=2m+2n.

在△MAF2中，利用余弦定理有cos∠AMF2=|MA|2+|MF2|2-|AF2|22|MA|×|MF2|=9m2+9n2-（m+3n）22×3m×3n.

在△MBF1中，利用余弦定理有cos∠F1MB=|MB|2+|MF1|2-|BF1|22|MB|×|MF1|=16n2+4m2-（2m+2n）22×4n×2m.

由cos∠AMF2=cos∠F1MB，得16m2+6mn-27n2=0，

圖2

解得8m=9n或2m=-3n（舍去），則有cos∠AMB=16.

又2a=2m+3n，可得m=3a7，n=8a21.

在△MF1F2中，利用余弦定理有cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|22|MF1|×|MF2|=4m2+9n2-4c22×2m×3n=3649a2+6449a2-4c22×6a7×8a7=25a2-49c224a2=16，整理，有7c2=3a2.

所以橢圓的離心率為e=ca=37=217，故選擇答案D.

解后反思：解三角形法處理圓錐曲線綜合問題，是回歸圓錐曲線的平面幾何本質(zhì)的一種直觀法解題技巧.利用平面幾何與平面解析幾何之間的融合，通過圖形的直觀形象，數(shù)形結(jié)合來構(gòu)建對應(yīng)的三角形，借助三角形的邊或角的信息，通過解三角形思維來分析與解決問題，進(jìn)而構(gòu)建對應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系與應(yīng)用，是直觀法處理圓錐曲線問題中的一種比較有效的直觀解題方法.

2.4nbsp; 焦點弦思維

方法5：焦點弦性質(zhì)法.

依題可設(shè)|F1A|=m，|F2B|=n，由MF1=2F1A，MF2=3F2B，可得|MF1|=2m，|MF2|=3n.

利用焦點弦的基本性質(zhì)：若PQ為橢圓的一條焦點弦，則有1|PF|+1|QF|=2ab2.

則有1m+12m=1n+13n=2ab2，整理，有n=89m.

又結(jié)合橢圓的定義，可得2a=|MF1|+|MF2|=2m+3n，則有m=3a7.

所以1m+12m=32m=32×3a7=2ab2，整理，有4a2=7b2.

所以橢圓的離心率為e=ca=1-b2a2=1-47=217，故選擇答案D.

解后反思：圓錐曲線焦點弦的“二級結(jié)論”，對于解決一些圓錐曲線的小題（選擇題或填空題）時有奇效，這也是一些參加競賽或?qū)W有余力同學(xué)的課外拓展知識與提升內(nèi)容，在實際解題過程中經(jīng)常也可以采用.特別針對一些圓錐曲線中的重要“二級結(jié)論”，有必要加以理解與掌握.

3" 結(jié)論歸納

對以上問題加以一般化處理，從而可以得到與之相關(guān)問題的一般性結(jié)論.

結(jié)論：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點，M為橢圓上一點，直線MF1，MF2分別交橢圓于點A，B，若MF1=λF1A，MF2=μF2B，其中λgt;1，μgt;1，則橢圓的離心率為λ+μ-2λ+μ+2.

證明：依題可設(shè)|F1A|=m，|F2B|=n，由MF1=λF1A，MF2=μF2B，可得|MF1|=λm，|MF2|=μn.

利用焦點弦的基本性質(zhì)：若PQ為橢圓的一條焦點弦，則有1|PF|+1|QF|=2ab2.

則有1m+1λm=1n+1μn=2ab2，整理，有n=λ（μ+1）μ（λ+1）m.

又結(jié)合橢圓的定義，可得2a=|MF1|+|MF2|=λm+μn，則有m=2（λ+1）aλ（λ+μ+2）.

所以1m+1λm=λ+1λm=λ+1λ×2（λ+1）aλ（λ+μ+2）=2ab2，整理，有4a2=（λ+μ+2）b2.

所以橢圓的離心率為e=ca=1-b2a2=1-4λ+μ+2=λ+μ-2λ+μ+2，即結(jié)論得證.

在該結(jié)論中，當(dāng)λ=2，μ=3時，對應(yīng)的橢圓的離心率為λ+μ-2λ+μ+2=37=217，即為原問題中對應(yīng)的結(jié)果.

4" 變式拓展

橢圓與雙曲線是圓錐曲線中最為典型的兩類曲線，相應(yīng)的性質(zhì)與結(jié)論經(jīng)?？梢约右院侠眍惐扰c拓展，基于原橢圓問題，可以合理拓展，得到以下對應(yīng)的變式問題.

變式" （原創(chuàng)題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點，M為雙曲線上一點，直線MF1，MF2分別交雙曲線于點A，B，若MF1=2F1A，MF2=-5F2B，則雙曲線的離心率為""" .

依題可設(shè)|F1A|=m，|F2B|=n，由MF1=2F1A，MF2=-5F2B，可得|MF1|=2m，|MF2|=5n.

利用焦點弦的基本性質(zhì)：若PQ為雙曲線的一條焦點弦，若P，Q在同支時，有1|PF|+1|QF|=2ab2.若P，Q在異支時，有1|PF|-1|QF|=2ab2.

則有1m+12m=1n-15n=2ab2，整理，有n=815m.

結(jié)合雙曲線的定義，可得2a=|MF2|-|MF1|=5n-2m，則有m=3a.

所以1m+12m=32m=32×3a=2ab2，整理，有4a2=b2.

所以雙曲線的離心率為e=ca=1+b2a2=1+4=5，故填答案5.

該變式問題是基于雙曲線的焦點弦的基本性質(zhì)這一“二級結(jié)論”來分析與求解.

5" 教學(xué)啟示

5.1" 思維技巧歸納，構(gòu)建知識體系

解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合問題時，經(jīng)常涉及的解題思維與技巧方法主要包括：①函數(shù)與方程思維，通過設(shè)點法或設(shè)線法來切入，利用聯(lián)立對應(yīng)的圓錐曲線與直線的方程組，利用消參構(gòu)建對應(yīng)的方程，進(jìn)而利用函數(shù)與方程思維來展開與應(yīng)用；②平面幾何思維，通過平面幾何的基本性質(zhì)，平面向量的線性關(guān)系以及解三角形的直觀思維等，回歸平面解析幾何的本質(zhì)，合理加以數(shù)學(xué)運算與邏輯推理；③基本性質(zhì)思維，借助圓錐曲線中一些相應(yīng)的“二級結(jié)論”，涉及焦點弦、焦半徑等，可以直接構(gòu)建條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，對于問題的分析與求解有奇效.

5.2" 合理類比推理，巧妙拓展應(yīng)用

在處理圓錐曲線的綜合問題時，經(jīng)?？梢酝ㄟ^圓錐曲線中不同典型題型之間的聯(lián)系，通過橢圓、雙曲線、拋物線等之間的相似點、雷同點等，加以合理的類比推理與變式拓展，從而合理加以拓展與應(yīng)用.

基于此類問題的類比推理與創(chuàng)新應(yīng)用，可以進(jìn)一步鞏固對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解與掌握，以及基本技巧方法的熟練應(yīng)用，從而有效開拓學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)品質(zhì).