用數(shù)學(xué)建模解決生活中的優(yōu)化問題

摘" 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，主要目標(biāo)之一是利用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識解決生活中的實(shí)際問題.在信息化時(shí)代中，數(shù)學(xué)建模成為解決現(xiàn)實(shí)生活中問題的重要方法以及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn).當(dāng)前，為了強(qiáng)調(diào)對高中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，將數(shù)學(xué)建模引入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而教會學(xué)生靈活運(yùn)用建模思想解決實(shí)際問題，加強(qiáng)應(yīng)用能力.本文重點(diǎn)探究數(shù)學(xué)建模，深入分析學(xué)生在此部分知識的學(xué)習(xí)中常遇到的問題，依據(jù)具體情況提供可行性措施.同時(shí)，為提高教學(xué)成效，為學(xué)生提供將數(shù)學(xué)知識與其真實(shí)生活進(jìn)行聯(lián)系的機(jī)會.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高考；函數(shù)模型

1" 高考函數(shù)模型應(yīng)用分析

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是重要組成部分，能夠進(jìn)行對變化規(guī)律的描述.函數(shù)知識是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，在初高中階段貫穿.《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》（以下簡稱“必修一”）新增數(shù)學(xué)建?；顒影鍓K，需學(xué)生通過函數(shù)模型解決現(xiàn)實(shí)問題.教師在教學(xué)中應(yīng)正確認(rèn)識函數(shù)模型的重要性，明確其在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用.以應(yīng)用題為例，常出現(xiàn)利潤最大等

問題.近些年來，在高考題中，涉及函數(shù)模型的應(yīng)用題較多.例如，2014年以爆米花可食用率探究二次函數(shù)模型；2015年通過指數(shù)函數(shù)模型探究食物保鮮時(shí)間與儲存溫度的聯(lián)系；2017年利用三角函數(shù)模型分析容器注入水深這一問題；2018年比較公交群體與自駕群體的通勤時(shí)間，利用其探究函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；2020年使用對數(shù)函數(shù)模型分析新冠感染病例數(shù)和時(shí)間的聯(lián)系.在解決問題時(shí)，需要根據(jù)問題背景深入分析，明確題目中的常量、變量，確定兩者之間的聯(lián)系.還要掌握研究對象運(yùn)動變化特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)對其合理分類，達(dá)成適合函數(shù)模型的選擇，并且按照目標(biāo)函數(shù)特點(diǎn)，利用其運(yùn)算性質(zhì)獲得結(jié)果.利用函數(shù)模型結(jié)果能夠科學(xué)解釋實(shí)際問題中存在的規(guī)律，也可以對今后情況開展科學(xué)預(yù)測，為合理決策的制定提供參考.在上述應(yīng)用題中，主要涉及常見基本初等函數(shù)模型，包含一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等.

針對二次函數(shù)模型，學(xué)生在初高中階段均有對此部分知識的學(xué)習(xí).在初中學(xué)習(xí)中，著重進(jìn)行對定義和應(yīng)用的學(xué)習(xí)，能夠初步實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的探究.［1］在高中時(shí)，會對此部分知識進(jìn)行深入學(xué)習(xí).通過初高中階段的全面學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠充分認(rèn)識知識內(nèi)容的重要性.此函數(shù)模型主要與最大銷售利潤等問題的探究相關(guān).

指數(shù)函數(shù)爆炸式增長，屬于數(shù)式增長的一種.對此知識，學(xué)生會進(jìn)行對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)定義等多方面知識的深入學(xué)習(xí)，并且全面梳理及整合此兩種函數(shù)的相同點(diǎn)與不同之處.在此基礎(chǔ)上深入學(xué)習(xí)在解決應(yīng)用題過程中怎樣依據(jù)研究對象的變化進(jìn)行合適函數(shù)模型的應(yīng)用，從數(shù)學(xué)角度開展對實(shí)際問題的探究，進(jìn)行對事件的描述以及科學(xué)預(yù)測，通過獲得的結(jié)果為科學(xué)決策的制定提供重要依據(jù).

三角函數(shù)是初等函數(shù)中的重要內(nèi)容，能夠?qū)⒅芷谛宰兓枰泽w現(xiàn).此數(shù)學(xué)模型常在圖象處理等問題中使用.同時(shí)，這一模型在航海等多個(gè)領(lǐng)域也有充分運(yùn)用.

在通過數(shù)學(xué)建模處理真實(shí)問題的過程中，關(guān)鍵步驟為模型建立.若想實(shí)現(xiàn)對模型的建立，學(xué)生需具有良好的文字閱讀能力，能夠正確審題，理解提供的題目內(nèi)容，分析描述的真實(shí)背景.在其中獲取數(shù)量關(guān)系，將語言文字抽象轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字符號語言，并且選擇適合的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)對實(shí)際問題的正確解答，從而提高學(xué)生使用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用能力.［2］

2" 函數(shù)模型案例：茶水溫度問題

茶葉類型與泡茶的水溫會產(chǎn)生對茶水口感的直接影響.在生活中，某茶葉若以80℃的水泡茶，在等待其溫度降到55℃時(shí)，飲用茶水能夠享受最佳口感.若室溫是35℃，需要將茶水放置多長時(shí)間才能夠享受最佳口感.表1是茶水溫度改變情況的具體數(shù)據(jù)信息.

案例來源：必修一數(shù)學(xué)建模板塊活動案例改編.

案例分析：利用本題，主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)函數(shù)知識的掌握情況.若想實(shí)現(xiàn)對本問題的解決，學(xué)生應(yīng)明確多種初等函數(shù)的概念和圖象性質(zhì)，掌握多種函數(shù)之間存在的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).

分析表1呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，茶水的溫度會隨著時(shí)間的變化而改變，溫度是關(guān)于時(shí)間的函數(shù).但具體的函數(shù)模型尚無法確定，利用散點(diǎn)圖實(shí)現(xiàn)對表1數(shù)據(jù)變化情況的直觀分析，再依據(jù)分析結(jié)果選擇可以體現(xiàn)茶水溫度隨著時(shí)間改變這一規(guī)律的函數(shù)模型.

模型假設(shè)：在解決問題中，設(shè)溫度在80℃開始，在茶水放置xmin后，溫度為y℃.聯(lián)系表1數(shù)據(jù)，通過Excel繪制散點(diǎn)圖（如圖1）.通過對各點(diǎn)分布情況的深入探究發(fā)現(xiàn)，函數(shù)模型可能為一次函數(shù)或者是指數(shù)函數(shù)，無法實(shí)現(xiàn)對具體模型的確定.因此要進(jìn)行對不同模型的嘗試.

模型假設(shè)1：一次函數(shù)模型y=kx+b.

模型建立：利用圖分析，將表1中的部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行代入計(jì)算，得k=-4.86，b=80，解析式為 y=-4.86x+80.

模型檢驗(yàn)：繼續(xù)計(jì)算，將表1中剩余的數(shù)據(jù)分別代入模型y=-4.86x+80中，對其進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其獲得的溫度數(shù)據(jù)和表格中呈現(xiàn)的真實(shí)數(shù)據(jù)存在較明顯的差異.因此，用一次函數(shù)模型解題不夠科學(xué)，應(yīng)嘗試另一種假設(shè).

模型假設(shè)2：指數(shù)函數(shù)模型 y=kax+b.

模型建立：組織學(xué)生查閱相關(guān)資料，學(xué)生通過大量資料的查找了解在茶水的溫度降低到室溫20℃以下后，茶水的口感會大幅度地降低，也會導(dǎo)致茶葉出現(xiàn)細(xì)菌，飲用茶水容易導(dǎo)致腹痛、腹瀉等情況發(fā)生.因此，在茶水溫度降低過程中，應(yīng)保證其降到室溫20℃，參數(shù)為b=20.基于以上分析，以指數(shù)函數(shù)模型y=kax+20（k∈R，0lt;alt;1，xgt;0）實(shí)現(xiàn)對茶水溫度隨著時(shí)間改變規(guī)律的體現(xiàn).

模型求解：聯(lián)系表1分析，當(dāng) x=0時(shí)，y=80，代入y=kax+b計(jì)算，得k=60.在指數(shù)函數(shù)探究中，衰減率是重要內(nèi)容，

即本題的參數(shù)a.利用其啟發(fā)學(xué)生，確定溫度的衰減比例a，從第2 min計(jì)算，探究不同時(shí)間比值，列出表2.在表2中，各比值不一樣.但綜合分析各比值，發(fā)現(xiàn)存在近似相同的情況，應(yīng)將其平均值當(dāng)做衰減比例.其平均值為a=14（0.919+0.9106+0.9012+0.9012）=0.9125.通過上述分析與深入探索，指數(shù)函數(shù)模型是y=60×0.9125x+20（x≥0）.

模型檢驗(yàn)：根據(jù)上面所采取的檢查方式，將表中的時(shí)間x數(shù)據(jù)代入指數(shù)函數(shù)模型y=60×0.912 5x+20，通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，其所獲得的溫度值和表格中的真實(shí)數(shù)據(jù)的差異較小.因此，采用此函數(shù)模型能夠獲得較為理想的結(jié)果.

模型應(yīng)用：將 y=35代入函數(shù)y=60×0.912 5x+20，獲得結(jié)果x=15.依據(jù)結(jié)果可知，當(dāng)室溫在35℃時(shí)，需要在泡好茶水后，等待約15分鐘進(jìn)行品茶，口感最佳.

案例意圖：利用此案例，可以使學(xué)生針對茶水溫度的改變情況進(jìn)行深入分析，將其和指數(shù)函數(shù)模型對應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會應(yīng)用建模解決實(shí)際問題.在基本初等函數(shù)的訓(xùn)練中，通過茶水溫度變化這一建模方案引導(dǎo)學(xué)生探究，能夠使學(xué)生更加深入地掌握不同函數(shù)存在的差異與相同點(diǎn)，正確達(dá)成對不同函數(shù)的辨析.［3］同時(shí)，在學(xué)生的解題過程中，其模型能力、抽象概括能力等不斷發(fā)展，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

3" 高考線性規(guī)劃模型分析

在高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，生活中的優(yōu)化問題較為常見，也是學(xué)生常接觸的題型.此類問題和線性規(guī)劃模型的關(guān)系較緊密.在高中學(xué)習(xí)中為重要知識點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)掌握的基礎(chǔ)知識內(nèi)容，學(xué)習(xí)的困難程度不高.在此部分知識的學(xué)習(xí)與探究中，應(yīng)實(shí)現(xiàn)對基本概念等知識的掌握.通常在生產(chǎn)等優(yōu)化問題的探究中應(yīng)用該模型，費(fèi)用最少問題的探索中也常用此模型.高考此模型應(yīng)用題見表3.

在線性規(guī)劃模型中，主要包含控制變量、線性約束條件及目標(biāo)函數(shù).控制變量是學(xué)生能夠進(jìn)行控制的量，存在取值范圍.對于線性約束分析，控制變量應(yīng)將不等關(guān)系滿足.目標(biāo)函數(shù)是學(xué)生能夠達(dá)到最優(yōu)化的表達(dá)式.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)量關(guān)系不僅只有等量關(guān)系，而且包含不等關(guān)系.在利用線性規(guī)劃模型進(jìn)行對現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問題的探究時(shí)，需要聯(lián)系題目中蘊(yùn)含的已知條件進(jìn)行分析，通過已經(jīng)掌握的信息明確不同變量之間存在的聯(lián)系，依據(jù)內(nèi)在聯(lián)系達(dá)成函數(shù)的建立并確定約束條件，通過不等式或不等式組達(dá)成對具體問題中不等關(guān)系的表達(dá)，通過坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)對約束條件的繪制，做到對相應(yīng)范圍的明確.將直線平移使其與該范圍進(jìn)行接觸，能夠得到最優(yōu)解.［4］對于該類問題分析，本質(zhì)上是利用幾何直觀達(dá)成對現(xiàn)實(shí)問題的解決.

4" 線性規(guī)劃模型：利潤優(yōu)化問題

具體案例：在某工廠中，主要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.該工廠具有生產(chǎn)此兩種產(chǎn)品的計(jì)劃，進(jìn)行對常用材料A、B的準(zhǔn)備.在實(shí)際生產(chǎn)中，1.5kg的A材料、1kg的B材料能夠生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品，工時(shí)為5.0.5kg的A材料、0.3kg 的B材料能夠生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品，工時(shí)為3.在利潤方面，生產(chǎn)甲產(chǎn)品與乙產(chǎn)品分別為2100元、900元.目前，此工廠準(zhǔn)備材料為150kgA、90kg B.在確保工時(shí)不會超過600的基礎(chǔ)上，進(jìn)行對甲、乙兩種商品的生產(chǎn)，獲得的最大利潤是多少？

案例來源：2016年新課標(biāo)Ⅰ卷的高考應(yīng)用題改編.

案例分析：在解題中，應(yīng)明確解題的重點(diǎn)為控制變量、約束條件及目標(biāo)函數(shù)，只有實(shí)現(xiàn)對以上重點(diǎn)的把握，才能夠成功構(gòu)建模型.通過二元一次不等式組實(shí)現(xiàn)對平面區(qū)域的確定，并利用這一區(qū)域獲得最優(yōu)解.在本題分析中，題目的文字材料較多，涉及較多變量，為使學(xué)生更高效地解題，可引導(dǎo)其制作表格.利用表格明確題中的已知條件，掌握各量之間的關(guān)系.結(jié)合本題內(nèi)容及表格呈現(xiàn)能夠明確需要以線性規(guī)劃模型解題.

模型的假設(shè)與建立：通過對本題的分析，明確控制變量為甲、乙產(chǎn)品的具體件數(shù).在該問題的解決中，設(shè)工廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品與乙產(chǎn)品分別為 x 件、y 件，利潤和是 z 元.基于以上分析，目標(biāo)函數(shù)是z=2100x+900y.依據(jù)上述內(nèi)容，約束條件如下所示.

1.5x+0.5y≤150，

x+0.3y≤90，

5x+3y≤600，

x，y∈N.

3x+y≤300，

10x+3y≤900，

5x+3y≤600，

x，y∈N.

模型求解：依據(jù)以上分析得出的二元一次不等式組能夠?qū)⒖尚杏蚶L制（如圖2）.結(jié)合可行域，能夠發(fā)現(xiàn)在平移后交點(diǎn)為A時(shí)z最大.因此，這是最優(yōu)解.通過其坐標(biāo)可知，A（60，100）.即在此工廠的甲產(chǎn)品60件，乙產(chǎn)品100件時(shí)，利潤最高為216000元.

模型檢驗(yàn)：在進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，將獲得的結(jié)果代入約束條件可知，該結(jié)果與題意相符.因此，可以采用此數(shù)學(xué)模型求解.

模型應(yīng)用：本題為線性規(guī)劃模型，此類問題的探究在高中學(xué)生的學(xué)習(xí)中涉及較多.調(diào)運(yùn)方案是否合理等問題也需要以此模型解決.在解題中，應(yīng)依據(jù)題目內(nèi)容對變量、常量等全面梳理，依據(jù)材料內(nèi)容制作表格，在綜合分析后明確控制變量，假設(shè)模型，并將相應(yīng)的約束條件列出，確定目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對模型的構(gòu)建.并且，依據(jù)分析畫出可行域，實(shí)現(xiàn)對幾何直觀的合理應(yīng)用.

案例意圖：利用生活中常見的利潤問題引領(lǐng)學(xué)生探究，能夠促使學(xué)生運(yùn)用自己掌握的線性規(guī)劃模型進(jìn)行對問題的探究.在此學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生整理信息、數(shù)形結(jié)合、建模能力等會在解題過程中獲得提高.在本題解決中，教師應(yīng)依據(jù)題目引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)，在條件中進(jìn)行對參數(shù)的設(shè)置.如設(shè)置甲材料A參數(shù)為a，改為不超過600個(gè)工時(shí)的基礎(chǔ)上，甲、乙兩種產(chǎn)品利潤之和最大值為216000元，求出取值范圍.在此題的解決過程中，同樣需要學(xué)生利用可行域、圖形進(jìn)行探究與處理，利用蘊(yùn)含參數(shù)的圖形運(yùn)動發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，使圖形特點(diǎn)與關(guān)系以代數(shù)語言呈現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)對結(jié)果的科學(xué)計(jì)算.

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