距離與空間：高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略研究

摘" 要：建模能力是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，也是解決數(shù)學(xué)問題的好手段.應(yīng)用題是對數(shù)學(xué)模型應(yīng)用最多的題型，重點(diǎn)考查學(xué)生的建模能力和解決問題能力.近些年，高考數(shù)學(xué)試卷中應(yīng)用題的數(shù)量和分?jǐn)?shù)占比逐漸攀升，對學(xué)生的建模能力、解決問題能力的考查愈加深入，要求逐年提升.基于此，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需重視對學(xué)生建模能力的培養(yǎng).本文從距離問題、金字塔表面積問題入手，分析圓錐曲線模型、空間幾何模型的教學(xué)策略，探討提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)方法，以提升高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.

關(guān)鍵詞：距離與空間；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)研究

在高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，部分應(yīng)用題的解題過程與建模過程存在較高的相似度.建模能力優(yōu)秀，對數(shù)學(xué)模型的理解較深的學(xué)生，解決此類應(yīng)用題的質(zhì)量效率較高；建模能力不佳，對數(shù)學(xué)模型的理解模糊的學(xué)生，解決此類應(yīng)用題的質(zhì)量效率較低.高中數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)重視對學(xué)生建模能力的培養(yǎng)，重視教學(xué)過程中對數(shù)學(xué)模型的推演和構(gòu)建，

培養(yǎng)學(xué)生建模能力.本文以圓錐曲線模型、空間幾何模型為例分析高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)策略，探討建模能力培養(yǎng)和解題教學(xué)二者結(jié)合的可用方法.［1］

1" 圓錐曲線模型——距離問題

圓錐曲線（二次曲線）中很多題目都會涉及線段的長度、距離.學(xué)生們做題時多會第一時間想到利用兩點(diǎn)間距離公式求解，但此公式的應(yīng)用需要兩點(diǎn)坐標(biāo)，即四個量，求解煩瑣且未必能夠根據(jù)已知條件解出.從圓錐曲線模型入手尋找其他解題切入點(diǎn)成為必然選擇.日常教學(xué)中，教師多將課堂時間和教學(xué)精力放在圓錐曲線的理論教學(xué)上，忽視了對學(xué)生的建模能力的指導(dǎo)和培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生掌握了一堆圓錐曲線定義、性質(zhì)、結(jié)論，卻缺少使用這些知識解決圓錐曲線問題的方法.

近年，高考數(shù)學(xué)試卷中包含圓錐曲線的多種模型，橢圓、雙曲線、拋物線模型多有出現(xiàn)，成為考查學(xué)生建模能力、解決問題能力的常用題目.高考數(shù)學(xué)試卷中相關(guān)題目和考點(diǎn)見表1.

解決此類問題的基本思路是準(zhǔn)確識別問題中模型屬于圓錐曲線中的哪一種，根據(jù)已知條件完成圓錐曲線建模，利用數(shù)學(xué)模型求解實(shí)際問題.學(xué)生們?nèi)裟軠?zhǔn)確把握圓錐曲線模型，就能結(jié)合圓錐曲線模型完成對問題的轉(zhuǎn)化，找到合理的解題切入點(diǎn)，完成求解.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)中，教師應(yīng)重視對學(xué)生判斷模型、構(gòu)建模型能力的培養(yǎng).讓學(xué)生在應(yīng)用圓錐曲線模型解題過程中收獲成就感，才能真正激發(fā)學(xué)生對圓錐曲線問題的學(xué)習(xí)興趣，真正激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模這一學(xué)習(xí)方法和關(guān)鍵能力的重視，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2" 圓錐曲線模型的教學(xué)

在解決圓錐曲線問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程當(dāng)中，學(xué)生需要具備轉(zhuǎn)化已知條件，數(shù)形結(jié)合以及畫圖能力，借由數(shù)形結(jié)合、繪圖充分提煉已知條件中的數(shù)量關(guān)系、數(shù)形關(guān)系，構(gòu)建模型完成解題.教師在日常教學(xué)中，應(yīng)

引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件，提煉已知條件中的數(shù)量關(guān)系、數(shù)形關(guān)系，完成對數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建.［2］經(jīng)過高頻率的練習(xí)，學(xué)生才能逐漸掌握此種解決圓錐曲線問題、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的解題方法，從而在面對問題時熟練應(yīng)用.

具體案例：我國近些年的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)中，公路隧道占據(jù)不小的比例，成為縮短丘陵、山地區(qū)域兩地間交通路線長度的重要設(shè)施.公路隧道設(shè)計(jì)建設(shè)時，需要考慮市面上重型貨車的通過安全.市面上的貨車一般長為9m，高為3m，寬為1.6m.公路隧道若要保證貨車安全通過，需要保證雙向車道形式的貨車頂部與隧道上緣均保持安全距離.因公路隧道橫斷面多設(shè)計(jì)成拋物線型，為了確保隧道內(nèi)貨車雙向通行安全，法律規(guī)定貨車在隧道內(nèi)行駛時應(yīng)盡量貼近中線，與中線保持0.4m 距離.拋物線隧道拱口寬設(shè)計(jì)為拱高的4倍，若設(shè)隧道的拱口寬為a m，請計(jì)算a的最小正整數(shù)值是多少能保證貨車在公路隧道內(nèi)的安全通過.

案例分析：由題目已知條件，公路隧道為拋物線形，拱寬為高的4倍，中線位于拱寬的中心可設(shè)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，拱寬兩端分別是-a2，0和a2，0，拱高與坐標(biāo)系的交點(diǎn)為公路隧道最高處，坐標(biāo)為0，a4，據(jù)此可畫出圖1中的公路隧道示意圖.圓弧形ABC就是題干所描述的拋物線型，線段AC為隧道拱寬，AC所在的直線為x軸，線段OB為拱高，OB所在直線為隧道中線，也為y軸.

模型建立：在已知公路與所做直角坐標(biāo)系的交點(diǎn)坐標(biāo)情況下，學(xué)生可以建立公路拱形的方程，發(fā)現(xiàn)這是一個拋物線.方程為x2=-2py-a4，要想得到拋物線方程的完整版需要確定未知參數(shù)p 的值，這是建模后下一步要做的工作.

因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C均在拋物線上，學(xué)生可帶入任意一點(diǎn)來求p與a之間的關(guān)系，將未知參數(shù)轉(zhuǎn)化為本題的條件.假設(shè)學(xué)生選定了 A-a2，0，將點(diǎn) A 的坐標(biāo)代入到拋物線方程x2=-2py-a4中，-a22=-2p0-a4，得 p=a2，故該拋物線方程為x2=-ay-a4.

模型求解：求解拋物線方程就可以用題干中給出的貨車高度與中線距離.根據(jù)已知條件和初步分析結(jié)果可知，當(dāng)貨車外沿與中線間距離為2m時，車高應(yīng)小于拋物線的y值，所以可在此處建立一個不等式關(guān)系.

根據(jù)案例分析結(jié)果可知x=2，則拋物線方程x2=-ay-a4可轉(zhuǎn)化為22=-ay-a4，解出y=a2-164a.

由案例分析結(jié)果可知，隧道ygt;3，且agt;0，解不等式可以得到agt;6+213，最小整數(shù)值為14.則代表符合題意的公路隧道拱寬為14m.

模型應(yīng)用：除圓錐曲線的拋物線模型外，雙曲線模型、橢圓模型等皆可按照這個解題思路進(jìn)行建模和解題，一通百通，有助于提升學(xué)生的解題能力.

案例意圖：考查學(xué)生對圓錐曲線模型中的拋物線模型認(rèn)識程度，以及學(xué)生結(jié)合題意建立模型的能力.

3" 空間幾何模型——金字塔表面積問題

空間幾何體的體積、邊長、表面積等問題是高中數(shù)學(xué)幾何部分的教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)生不僅要掌握空間幾何體的概念、性質(zhì)、規(guī)律，還要學(xué)會根據(jù)題意構(gòu)建空間幾何體，利用空間幾何體完成對空間距離的求解.高中階段學(xué)生想要掌握棱柱、棱錐、棱臺等多面體以及圓柱、圓錐、圓臺、球體等旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)、規(guī)律，需要具備較為成熟的空間想象能力、建模能力、邏輯思維能力.［3］教師在日常教學(xué)中，應(yīng)重視對學(xué)生空間想象能力、建模能力的培養(yǎng)，使學(xué)生掌握解決空間幾何問題的方法.空間幾何體與平面幾何圖形之間關(guān)系密切，解決空間幾何問題或者說構(gòu)建空間幾何模型的關(guān)鍵在于將實(shí)際物體轉(zhuǎn)換為空間幾何體直觀圖，將三維立體圖形轉(zhuǎn)換為二維平面圖形的核心在于轉(zhuǎn)換思維應(yīng)用.

近年高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的空間幾何體模型應(yīng)用案例類型詳情見表2.解決此類問題的基本思路是將題干所描述的具體實(shí)物抽象成所掌握的空間幾何體，利用空間幾何體的知識去求解題目.［4］而學(xué)生解決此類問題的效率和質(zhì)量，與學(xué)生對空間幾何體特征是否掌握扎實(shí)，建模能力是否優(yōu)秀有關(guān).

4" 空間幾何模型的教學(xué)

具體案例：埃及胡夫金字塔是人類對空間幾何體應(yīng)用的著名案例.圖2為胡夫金字塔的實(shí)地拍攝圖.科學(xué)家實(shí)地測量得知，這座古建筑底部是個正方形，若以金字塔的高為邊長作一個正方形，則正方形的面積與金字塔一個側(cè)面三角形的面積相等.要求計(jì)算，側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長之間的比值.

案例分析：解決此題的關(guān)鍵在于，第一步將金字塔抽象成學(xué)生熟悉的空間幾何體，第二步根據(jù)已知條件調(diào)整空間幾何體，或得到幾何體具體的參數(shù)，第三步求解.根據(jù)金字塔實(shí)圖中的形態(tài)以及已知條件，可以比較清晰地認(rèn)識到四棱錐與金字塔之間的形態(tài)相似，暫定四棱錐為金字塔的空間幾何體，構(gòu)建如圖3所示的空間幾何體模型圖.根據(jù)已知條件中的“底面正方形”字眼可知，該四棱錐底面是正方形，底面四條棱長相等，則四個側(cè)面三角形應(yīng)是等腰三角形.根據(jù)四棱錐的特征可知，該金字塔符合正四棱錐的性質(zhì)特征，學(xué)生解題時必然要用到正四棱錐幾何體的特征和性質(zhì).假設(shè)點(diǎn)O位于正四棱錐底面四邊形ABCD的中心，點(diǎn)M為底邊AD的中點(diǎn)，則OM是AD的一半.正四棱錐底面為正方形且四個側(cè)面等腰三角形互相全等，SM是側(cè)面三角形的高，垂直于線段AD，在底面上的投影為OM.SO垂直于底面ABCD，連接SM、SO、OM，則SO是該金字塔的高.題干所求則為AD與SM之比.

模型建立：根據(jù)上述分析過程，可以直接設(shè)正四棱錐的底面邊長為a，SM=h，進(jìn)而得到正四棱錐中的側(cè)面三角形面積S△SAD=ah2，底面中心與底邊距離OM=a2，正四棱錐的高為SO.在計(jì)算SO時需要用到勾股定理，根據(jù)直角三角形△SOM得到SO2=SM2-OM2=h2-a22=h2-a24.已知條件中強(qiáng)調(diào)以高所做的正方形面積與正四棱錐側(cè)面三角形相等，根據(jù)此條件可列出等式，ah2=h2-a24，即可得到正四棱錐底面邊長與側(cè)面三角形高之間的比.

模型求解：對上述分析得到的等式關(guān)系ah2=h2-a24進(jìn)行化簡整理，得4h2-2ah-a2=0，得4ha2-2ha-1=0，此結(jié)果可被視為一個二元方程，令ha=t，有4t2-2t-1=0且滿足限制條件tgt;0，解得t=1+54.

模型應(yīng)用：除四棱錐外，其他空間幾何體都可通過此類方式進(jìn)行建模和解題，有助于提升學(xué)生的建模能力和解題能力.

案例意圖：將金字塔根據(jù)已知條件抽象成正四棱錐的過程，在其他空間幾何體模型題目中同樣適用.遵循此思路進(jìn)行解題，可逐步提升學(xué)生的建模能力.

參考文獻(xiàn)

［1］楊曉芳.核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐研究［J］.數(shù)理化解題研究，2024（6）：32-34.

［2］魏建平.“三新”背景下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的新路徑［J］.課堂內(nèi)外（高中版），2023（47）：60-61.

［3］王海巖，金雄虎.高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐探究［J］.試題與研究，2023（33）：34-36.

［4］唐秦.高中數(shù)學(xué)建模校本課程的開發(fā)與實(shí)踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2023（9）：62-64.