較難題講評(píng)要重視留白開放與追求優(yōu)解

摘" 要：筆者結(jié)合一節(jié)職初教師的初三習(xí)題講評(píng)隨堂課內(nèi)容，圍繞課中一道較難題開展解題教學(xué)的再設(shè)計(jì)，包括如何促進(jìn)學(xué)生深度參與解題教學(xué)的全過程，精心選編開放的啟發(fā)式問題，引導(dǎo)學(xué)生自主獲得解題進(jìn)展，并讓前序問題的探究成為攻克難題的鋪墊或暗示.由此想到較難題的解題教學(xué)要重視留白開放的問題設(shè)計(jì)，并引導(dǎo)學(xué)生從一題多解走向一題優(yōu)解.

關(guān)鍵詞：較難題講評(píng)；教學(xué)再設(shè)計(jì)；留白開放

1" 寫在前面

最近學(xué)校教導(dǎo)處組織了職初教師的隨堂課推門聽課活動(dòng)，筆者聽了一節(jié)初三新教師L的習(xí)題講評(píng)課.教師L選講了一份周練試卷中的較難題，從聽課情況來看，教師L在課前也進(jìn)行了充分的準(zhǔn)備，將周練試卷中的較難題都制成了PPT課件，并且把每道題的解題過程（包括詳細(xì)步驟）都準(zhǔn)備在課件上.上課時(shí)教師結(jié)合課件的呈現(xiàn)，重點(diǎn)講授解題過程，然而筆者觀課發(fā)現(xiàn)，課堂氛圍比較沉悶，學(xué)生參與度不高，整節(jié)課幾乎都是教師講授、學(xué)生記錄的單向傳授方式.課后，筆者也跟教師L交流研討了這類較難題的解題教學(xué)策略，我們的共識(shí)是這道較難題的講評(píng)在教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂組織上還有較大的提升空間.筆者結(jié)合教師L課堂上一道較難題的觀課所見與所思，給出這道較難題的教學(xué)再設(shè)計(jì)，與更多的教師開展研討交流.

2" 教師L對(duì)一道較難題的教學(xué)概述

圖1

問題呈現(xiàn)：如圖1，△ABC外接圓的圓心O在BC邊上，I為△ABC的內(nèi)心，射線BI交⊙O于D，射線CI交⊙O于E，連接DE分別交AB、AC于點(diǎn)F、G.

（1）求∠BIE的度數(shù).

（2）求證：FG＝ 22（AB＋AC－BC）.

聽課記錄：教師L先找了一個(gè)學(xué)生講解第（1）問的大致思路，該學(xué)生由“△ABC外接圓的圓心O在BC邊上”出發(fā)，先推出△ABC是直角三角形即∠BAC＝90°.再根據(jù)點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，得到∠IBC＝12∠ABC，∠ICB＝12∠ACB.進(jìn)一步∠BIC＝180°－12（∠ABC＋∠ACB）＝135°，即∠BIE＝45°.

由于批閱周練試卷時(shí)沒有學(xué)生能成功解答第（2）問，教師L在講解第（2）問之前，在PPT上給出如圖2所示的一些輔助線.

圖2

連接BE，IF，IG，過I作IH⊥BC于點(diǎn)H，因?yàn)锽C為⊙O的直徑，可得∠BEC＝90°.再由內(nèi)心的條件，可得∠IBC＝∠IBF，于是D是弧AC的中點(diǎn)，可得∠IEF＝∠IBC，∠IEF＝∠IBF.結(jié)合∠EKF＝∠BKI，證出△EKF∽△BKI.有EKBK＝FKKI.再結(jié)合∠BKE＝∠IKF，得△EKB∽△FKI，得到∠BEK＝∠BFI＝90°，即IF⊥AB.同理可得IG⊥AC.仍然借助I為△ABC的內(nèi)心，有IF＝IG＝IH.從而證得四邊形AFIG為正方形.接著再運(yùn)用“HL”證出Rt△BIF≌Rt△BIH，得BF＝BH.同理得CG＝CH.于是AB＋AC－BC＝AF＋AG＝2FG，即FG＝ 22（AB＋AC－BC）.

教師L在課件上呈現(xiàn)解題過程，也在圖形上進(jìn)行了些必要的標(biāo)注，一邊講授也一邊停頓觀察學(xué)生的表情，只有少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生跟在教師后面應(yīng)和，隨著最后全部呈現(xiàn)解題過程之后，教師再請(qǐng)一名優(yōu)秀學(xué)生上臺(tái)講了一遍，就完成了這道較難題的講評(píng)過程.

聽課隨感：客觀上看，這道習(xí)題的第（2）問確實(shí)有一定的難度.然而，難題的講評(píng)并不能滿足于告知答案、直接呈現(xiàn)解題過程式的講授，如此解題教學(xué)與“教學(xué)生學(xué)會(huì)思考”的教學(xué)追求還有較大的提升空間.［1］知易行難，接下來筆者圍繞這道較難題給出教學(xué)再設(shè)計(jì).

3" 解題教學(xué)再設(shè)計(jì)

3.1" 教學(xué)環(huán)節(jié)1：基礎(chǔ)熱身

問題1" 閱讀“題干”，在不添加輔助線的情況下，同學(xué)們能讀出哪些信息？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生將題干條件充分解讀，可以得到大量豐富的結(jié)論.除了內(nèi)心帶來的角平分線性質(zhì)之外，還包括∠BIC和∠BIE的度數(shù)都是可以分析得出，此外，可引導(dǎo)學(xué)生解讀出D是弧AC的中點(diǎn)，E是弧AB的中點(diǎn)等.以上信息的充分解讀，有利于后續(xù)較難問題的思路突破.除此之外，教師還可預(yù)設(shè)以下一些更為隱蔽的結(jié)論，在學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)的情況下，出示兩道探究問題，讓學(xué)生研究分析.

探究1" 有人發(fā)現(xiàn)△AFG是等腰直角三角形，你怎樣看這個(gè)發(fā)現(xiàn)？說說理由.

探究2" 圖中點(diǎn)B、E、F、I在同一個(gè)圓上嗎？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】這兩道探究問題的追問，可促進(jìn)學(xué)生對(duì)“題干”信息的解讀更加充分而深入，并且對(duì)后續(xù)問題的求解形成思路上的啟發(fā).

3.2" 教學(xué)環(huán)節(jié)2：拾級(jí)而上

問題2" 在“題干”的條件下，連接IF，F(xiàn)G，請(qǐng)分析四邊形AFIG是否為正方形？并說明理由.

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合圖1，由前面“探究2”中已發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)B、E、F、I在同一個(gè)圓上”，可得∠BFI＝∠BEI＝90°，同理∠CGI＝90°，從而可證得四邊形AFIG是矩形，進(jìn)一步結(jié)合前面“探究1”已有進(jìn)展“△AFG是等腰直角三角形”，矩形AFIG強(qiáng)化為正方形.教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考、自主發(fā)現(xiàn)解題思路之后，小組內(nèi)先交流解題進(jìn)展，最后再安排小組內(nèi)學(xué)生代表上臺(tái)講解思路，因?yàn)檫@個(gè)解題難點(diǎn)的突破，就能成為“考題”第（2）問的重要鋪墊.

3.3" 教學(xué)環(huán)節(jié)3：挑戰(zhàn)難題

問題3" 求證FG＝ 22（AB＋AC－BC）.

【設(shè)計(jì)意圖】有了前面的研究進(jìn)展，特別是得到正方形AFIG，其對(duì)角線FG就是IF的2倍.而IF、IG正是直角三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑，由三角形內(nèi)切圓半徑與三邊之間的關(guān)系容易得到IF＝12（AB＋AC－BC），從而FG＝ 22（AB＋AC－BC）獲得解決.

3.4" 教學(xué)環(huán)節(jié)4：反思回顧

小結(jié)問題1" 在攻克“周練較難題”的過程中，你覺得有哪一步（或幾步）是關(guān)鍵步驟，說說你的理解.

小結(jié)問題2" 在解決“周練較難題”之后，你還能得到哪些結(jié)論？

【設(shè)計(jì)意圖】小結(jié)問題1可以讓學(xué)生回顧交流解題心得或經(jīng)驗(yàn)，小結(jié)問題2則是對(duì)這道考題的“成果擴(kuò)大”，如果學(xué)生短時(shí)間內(nèi)沒有想到更多的成果，教師可提示、啟發(fā)一些思考方向.比如，可證△EFI∽△EID，并得到EI2＝EF·ED.類似的，也可證△DGI∽△DIE，并得到DI2＝DG·ED.又如連接OE，則OE∥IF∥AC等.

4" 關(guān)于較難題教學(xué)的進(jìn)一步思考

4.1" 解題教學(xué)要預(yù)設(shè)留白并相機(jī)引導(dǎo)

在上文解題教學(xué)的再設(shè)計(jì)中，我們先引導(dǎo)學(xué)生充分解讀“題干”信息，盡可能挖掘出更多的性質(zhì)或結(jié)論，為后續(xù)攻克較難問題做足鋪墊.當(dāng)然，備課時(shí)要充分預(yù)見到學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)的思考并不會(huì)非常深入，教師必要時(shí)要加以干預(yù)或引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生圍繞后續(xù)要攻克的較難問題的鋪墊式問題去思考.這也正是解題教學(xué)中教師“相機(jī)引導(dǎo)”專業(yè)能力的體現(xiàn).

4.2" 解題教學(xué)要重視多解并追求優(yōu)解

通過上文中“周練較難題”的解法對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，教師L給出的解法展示了借助多組三角形相似的解題路徑，并沒有能突出關(guān)鍵步驟的揭示.而我們?cè)诤罄m(xù)給出的“教學(xué)再設(shè)計(jì)”中，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)B、E、F、I在同一個(gè)圓上”和“正方形AFIG”兩個(gè)關(guān)鍵步驟.如此教學(xué)處理既是促進(jìn)學(xué)生“深度思考”的解題追求［2］，也是積極體現(xiàn)顧鋒、寧連華兩位研究者所提出的“從一題多解走向一題優(yōu)解”［3］.

參考文獻(xiàn)

［1］涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建——教學(xué)生學(xué)會(huì)思考［M］.北京：科學(xué)出版社，2018.

［2］葛媛.精心選編經(jīng)典問題，教會(huì)學(xué)生深度思考——以“三角形的‘四心’”專題課教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（18）：32－33.

［3］顧鋒，寧連華.數(shù)學(xué)解題教學(xué)：從“一題多解”到“一題優(yōu)解”［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2023（7）：7－12.