對稱約化對完整系統(tǒng)數值積分的影響

劉世興　邢　燕　劉　暢　郭永新

1. 遼寧大學物理學院， 沈陽 110036； 2. 遼東學院機械電子工程學院， 丹東 118001；? 通信作者， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

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對稱約化對完整系統(tǒng)數值積分的影響

劉世興1邢燕1劉暢1郭永新2，?

1. 遼寧大學物理學院， 沈陽 110036； 2. 遼東學院機械電子工程學院， 丹東 118001；? 通信作者， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

研究對稱約化對完整系統(tǒng)數值積分的影響。通過數值實驗發(fā)現， 對稱約化對完整系統(tǒng)的數值積分結果沒有本質的影響， 但是在約化后的系統(tǒng)下進行數值積分可以有效地減少程序編寫的難度和計算時間。對于復雜的動力學系統(tǒng)， 可以先對其進行對稱約化， 以獲得較少自由度的動力學系統(tǒng)， 然后在約化系統(tǒng)下進行數值計算， 間接地研究原系統(tǒng)的動力學性質。

完整系統(tǒng)； 對稱約化； 數值積分

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）doi: 10.13209/j.0479-8023.2016.077

自20世紀末期， 對稱約化理論提出以來， 一直是幾何動力學領域的熱門課題之一， 并廣泛應用于力學、物理學和工程科學等多個領域， 如固體力學、流體力學、場論、量子力學和廣義相對論等［1］。對稱約化的主要目的是利用系統(tǒng)的對稱性消除動力學系統(tǒng)的部分局部坐標變量， 從而簡化實際的動力學系統(tǒng)。對稱約化的思想最早源于 Routh［2］于 1884 年利用循環(huán)坐標對系統(tǒng)進行化簡， 這種化簡理論對應于現代的 Lagrange 約化理論?，F代約化理論始于 20 世紀六七十年代 Arnold［3-4］和Smale［5］的重要工作， Arnold開展了Lie群約化方法，Smale 引入動量映射概念。Marsden 等［6］在前人工作的基礎上， 利用等變動量映射開展辛流形上的約化理論， 使現代約化理論走向成熟， 并得到廣泛應用［7-8］。目前， 完整約束力學系統(tǒng)的幾何動力學約化理論已經非常成熟， 大體上包括: 辛約化［9］、Poission 約化［1］和 Lagrange 約化［1，10］。對稱性約化理論在研究約束系統(tǒng)幾何動力學及應用以及約束系統(tǒng)的保結構算法中發(fā)揮著非常重要的作用， 為研究約束系統(tǒng)幾何數值積分的幾何不變性質提供了新的途徑。但是， 在現有的少量研究工作中， 對稱約化理論在約束力學系統(tǒng)幾何數值積分的研究中， 還沒有發(fā)揮其應有的作用。較復雜的動力學系統(tǒng)經過對稱約化得到一個簡單的新的動力學系統(tǒng)， 系統(tǒng)方程的性質發(fā)生了變化， 變量所代表的物理含義有時也發(fā)生改變， 那么約化系統(tǒng)與原系統(tǒng)的內部聯系， 特別是一些重要的性質是否能夠很好地得以保留， 對原系統(tǒng)和約化后的系統(tǒng)分別做數值積分， 對稱約化對數值積分的結果是否會受到影響？ 本文就這一問題展開探討， 通過數值實驗驗證對稱約化對數值積分的影響。首先， 簡要介紹完整約束系統(tǒng)的辛約化理論； 然后， 簡要介紹完整約束系統(tǒng)的數值積分方法， 并應用數值積分方法計算約化前和約化后系統(tǒng)的動力學方程， 比較約化前后動力學變量的數值結果； 最后得出結論。

1　完整約束系統(tǒng)的辛約化

完整約束力學系統(tǒng)總可以表示為 Hamilton 形式。定義 Hamilton 系統(tǒng)為這里是辛流形， Ω是辛 2-次型， H是定義在流形M上的Hamilton函數。系統(tǒng)的運動微分方程可以表示成如下形式:

這里#dH表示 Hamilton 矢量場。辛流形在 Lie 群G的作用下， 可以表示為或者，對任意的gG∈和xM∈， 映射φ可以局域的表示為

如果對于任意一個gG∈， Lie群G在辛流形（，）MΩ上的作用φ滿足如下等式:

則該作用gφ是辛的。

定義（辛約化）辛流形（，）MΩ的辛約化是M的子流形（或侵入子流形）N到辛流形的侵沒滿射: :πNP→， 滿足如下方程:

辛約化滿足 Marseden-Weinstein-Meyer 辛約化定理［2，6］。取點，xMμ*∈∈G是辛流形M和 Lie 代數上*

G的點， 其在對稱性Lie群G作用φ下的軌跡分別為Gx·和μO， 它們對應的迷向群分別為xG和Gμ， 對應的 Lie 代數分別為xG和μG， 則可以得到如下的辛約化定理。

定理設Lie群G作用在辛流形（，）MΩ上， 并且該作用有一個等變動量映射

如果存在正則值

且存在伴隨余迷向子群

則Gμ自由而正常的作用于

上； 如果存在內映射

和正則投影映射

則一定存在具有辛結構?μΩ的商流形

滿足

并且存在一個侵入映射φ使得

是/MG的一個子流形。這里/MG由自然投影映射

確定。定理證明參見文獻［2，6］。

2　完整約束系統(tǒng)的辛幾何算法

完整約束系統(tǒng)總可以表示為 Hamilton 正則方程（1）的形式， 如取 Hamilton 函數H為2n個變量（p1， …， pn； q1， …， qn）的可微函數， 并令

則方程（1）可以表示成如下坐標形式:

這里τ是時間步長， 還可以在此基礎上構造具有更高精度的差分格式， 如4階辛差分格式［12］。

3　數值算例和結論

眾所周知， 平面 Kepler 問題是典型的二體問題， 且滿足機械能守恒和角動量守恒。令為該二體問題的廣義坐標， 并取

則可以得到系統(tǒng)的Hamilton函數:

從而得到系統(tǒng)的Hamilton方程:

這里， 1/，ur=r 和θ是對應的極坐標系下的坐標，且滿足

在Lie群變化下， 方程（8）可以約化為一維諧振子的運動方程:

是系統(tǒng)的角動量，

這里，

是原二體系統(tǒng)的機械能。從而得到方程（9）對應的Hamilton方程:

取如下初始條件:

從而系統(tǒng)的總能量

總角動量我們采用上面的辛差分格式（式（6））， 并取步長h=0.001， 分別計算方程（8）和（11）， 并比較數值結果。圖1給出系統(tǒng)的總能量和能量誤差， 圖2給出系統(tǒng)的總動量和動量誤差。

從圖 1和 2 可以看出， 雖然在原體系框架下計算得到的總能量沒有在約化后的體系中得到的結果好， 但是總動量的數值結果卻優(yōu)于約化體系中的數值結果。因此， 在約化前體系下和約化后體系下的數值結果并沒有本質上的區(qū)別。并且， 我們求得的系統(tǒng)的總能量和總動量都在數值計算的誤差允許范圍內， 數值結果都很好地保持了原有系統(tǒng)的守恒量。區(qū)別在于， 我們在約化后的體系下進行數值研究， 由于體系的自由度減少， 從而減少了編程計算的難度， 同時也減少計算機機時。因此， 對于完整系統(tǒng)， 無論是在原體系框架下， 還是在約化后的系統(tǒng)中， 都可以得到滿意的數值結果， 但在約化體系下， 可以獲得簡潔的計算機程序， 并減少計算機工作時間。這對于復雜的完整動力學系統(tǒng)來說， 對動力學系統(tǒng)進行對稱約化， 以減少動力學系統(tǒng)的自由度數， 可以有效地進行數值計算， 從而在約化系統(tǒng)下間接地研究原系統(tǒng)的動力學性質。

［1］ Marsden JJ E， Ratiu T SS. Introductionn to mechanicss and symmmetry. 2nd ediition. New Yoork: Springer--Verlag， 19999

［2］ Routh EJ. AdvancedRigid Dynammics. London:: MacMilliann， 1884

［3］ Arnold VI. Mathematical methodss of classicall mechanics. New York: Sppringer-Verlag，1978

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［12］ Hairer E， LLubich C， Wannner G. Geometric numerical integrationn: structure-preserving algorithms for ordinary differrential equatioons. Berlin: Sppringer-Verlag，2002

The Affection of Symmetry Reduction to the Numerical Integration for Holonomic System

LIU Shixing1， XING Yan1， LIU Chang1， GUO Yongxin2，?

1. College of Physics， Liaoning Universtiy， Shenyang 110036； 2. School of Mechatronics Engineering， Eastern Liaoning University，Dandong 118001； ? Corresponding author， E-mail: yxguo@lnu.edu.cn

This paper researches the effection of symmetry reduction to the numerical integration for holonomic system. Through numerical experiment， there is not essential effection for numerical integrator when system is reduced to lower dimension. But under the reduced system， it can effectively decrease the difficulty of writing program and the time of computation. So for the complicated dynamical system， it should be firstly reduced by symmetry methods and obtain the dynamical system with less degree of freedom， then the dynamical nature of system can be researched under the reduced system.

holonomic system； symmetry reduction； numerical integration

O316

國家自然科學基金（11472124， 11572145， 11301350）和遼寧省博士啟動基金（20141050）資助

2015-10-09；

2016-03-01； 網絡出版日期: 2016-07-12