計(jì)及間隙的運(yùn)動(dòng)副和機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展

閻紹澤　向吳維凱　黃鐵球

1. 摩擦學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 清華大學(xué)機(jī)械工程系， 北京 100084； 2. 北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院， 北京100044；? E-mail: yansz@tsinghua.edu.cn

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計(jì)及間隙的運(yùn)動(dòng)副和機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展

閻紹澤1，?向吳維凱1黃鐵球2

1. 摩擦學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 清華大學(xué)機(jī)械工程系， 北京 100084； 2. 北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院， 北京100044；? E-mail: yansz@tsinghua.edu.cn

基于近年來(lái)計(jì)及間隙影響的運(yùn)動(dòng)副建模以及含間隙機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究， 綜述間隙運(yùn)動(dòng)副連續(xù)接觸模型、經(jīng)典碰撞模型、連續(xù)接觸力模型以及旋轉(zhuǎn)副三維間隙模型等的研究進(jìn)展， 介紹間隙模型在機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)非線性特性分析、性能評(píng)價(jià)與可靠性評(píng)估等方面的應(yīng)用情況， 詳細(xì)探討考慮黏滯-滑動(dòng)過(guò)程和接觸表面形貌的間隙建模、共形接觸建模、不確定參數(shù)的含間隙系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)精度評(píng)估以及運(yùn)動(dòng)副間隙設(shè)計(jì)等未來(lái)應(yīng)重點(diǎn)研究的若干關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題。

間隙運(yùn)動(dòng)副； 碰撞； 摩擦； 動(dòng)力學(xué)； 性能評(píng)價(jià)

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

機(jī)器和機(jī)構(gòu)是典型的機(jī)械多體系統(tǒng)， 運(yùn)動(dòng)副間隙是影響機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的主要因素之一［1-3］。運(yùn)動(dòng)副間隙的產(chǎn)生因素是多方面的， 如運(yùn)動(dòng)副配合間隙、制造加工與裝配誤差、運(yùn)動(dòng)副構(gòu)件相互摩擦與磨損而導(dǎo)致的間隙等。間隙的存在增加了機(jī)械系統(tǒng)的自由度， 從而降低了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度。間隙運(yùn)動(dòng)副中的各構(gòu)件間相互碰撞、分離及摩擦， 使得系統(tǒng)具有典型的非線性特性（如碰撞振動(dòng)與干摩擦黏滑振動(dòng)等）， 造成速度波動(dòng)， 運(yùn)動(dòng)副反力增加， 并引發(fā)機(jī)械振動(dòng)和噪音等一系列問(wèn)題， 導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降。間隙也會(huì)加速運(yùn)動(dòng)副的磨損進(jìn)程，降低機(jī)構(gòu)或機(jī)器的可靠性及使用壽命。

雖然機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)經(jīng)歷了 40 余年的發(fā)展， 但在分析與預(yù)測(cè)含間隙機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性時(shí)仍顯不足。目前， 含間隙機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論研究已成為力學(xué)、機(jī)械工程、航空航天工程、車輛工程等領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。由于間隙運(yùn)動(dòng)副中構(gòu)件間存在頻繁的碰撞與分離過(guò)程， 導(dǎo)致含間隙機(jī)械多體系統(tǒng)的約束條件或自由度不斷改變， 因此， 含間隙機(jī)械多體系統(tǒng)是一個(gè)典型的變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)。具有變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性的含間隙系統(tǒng)建模更為復(fù)雜。

建立計(jì)及間隙影響的運(yùn)動(dòng)副模型， 需要考慮間隙運(yùn)動(dòng)副的變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性與接觸模式、碰撞特性、接觸變形與接觸力的關(guān)系、阻尼、摩擦、表面粗糙度、構(gòu)件的加工誤差和系統(tǒng)裝配誤差、工作環(huán)境（如溫度）等因素。涉及幾何學(xué)與變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)理論、表面工程與摩擦學(xué)、碰撞理論與接觸力學(xué)、固體力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)、制造工藝等多種學(xué)科。從計(jì)及間隙影響的機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)整體看， 需要考慮將間隙模型嵌入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的方法、柔性結(jié)構(gòu)離散方法及數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性、精度與效率、非線性動(dòng)力學(xué)特性分析等問(wèn)題。含間隙機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究最終是分析機(jī)械裝備的動(dòng)力學(xué)特性和穩(wěn)定性，為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)服務(wù)， 使得機(jī)械系統(tǒng)在許可的精度下性能穩(wěn)定、無(wú)故障長(zhǎng)壽命運(yùn)行。

運(yùn)動(dòng)副間隙影響著機(jī)械裝備的性能和使用壽命， 如在航天工程中， 由于運(yùn)動(dòng)副間隙設(shè)計(jì)不完善而導(dǎo)致飛行故障的案例屢見(jiàn)不鮮。美國(guó)的哈勃太空望遠(yuǎn)鏡由于熱循環(huán)引起太陽(yáng)能帆板運(yùn)動(dòng)副的“卡死-滑動(dòng)”周期性運(yùn)動(dòng)的故障， 導(dǎo)致對(duì)定點(diǎn)的擾動(dòng)， 得到的圖像模糊不清， 美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）為此更換了太陽(yáng)翼的連接結(jié)構(gòu)［4-5］。我國(guó)發(fā)射的東三通信衛(wèi)星， 由于連接非線性的存在， 在軌運(yùn)行時(shí)展開后的太陽(yáng)翼出現(xiàn)顫振和頻率漂移［6-7］。在軌遙測(cè)數(shù)據(jù)表明， 航天器在軌運(yùn)行的特征頻率比地面理論計(jì)算及試驗(yàn)值明顯低［6］， 即產(chǎn)生運(yùn)行的頻率漂移。除去多體系統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)， 僅考察帶有間隙的固定連接引發(fā)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題， 如我國(guó)某型號(hào)衛(wèi)星在振動(dòng)試驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)頻率漂移現(xiàn)象， 分析表明， 連接結(jié)構(gòu)非線性是產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因之一［8-10］。美國(guó) NASA［11-12］和日本航天研究機(jī)構(gòu)［13］分別對(duì)卡西尼號(hào)衛(wèi)星和紅外空間天文衛(wèi)星（ASTRO-F）的頻率漂移現(xiàn)象進(jìn)行研究， 結(jié)果表明， 間隙是造成頻率漂移的直接原因。若航天器上可展開附件（如太陽(yáng)電池陣）由于頻率漂移導(dǎo)致與衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)產(chǎn)生頻率耦合， 將會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重后果［7］。因此， 研究間隙建模及含間隙系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)， 對(duì)發(fā)展高端裝備和大型精密衛(wèi)星等航天器具有重要意義。

1　間隙運(yùn)動(dòng)副連續(xù)接觸模型

早期對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)建模的目的主要是對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行分析， 其研究隸屬運(yùn)動(dòng)學(xué)范疇。20 世紀(jì)70 年代， Earles 等［14］提出間隙運(yùn)動(dòng)副的連續(xù)接觸模型， 假定間隙碰撞過(guò)程極為短暫， 且在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中構(gòu)件主要處于接觸狀態(tài)， 因此采用無(wú)質(zhì)量桿描述間隙。連續(xù)接觸模型將間隙視為無(wú)質(zhì)量的剛性桿即間隙桿， 將原來(lái)的含間隙機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化為多桿無(wú)間隙機(jī)構(gòu)［15］。為了使連續(xù)接觸模型能夠描述構(gòu)件分離，一些學(xué)者對(duì)該類模型進(jìn)行改進(jìn)， 將無(wú)質(zhì)量桿角度的突變作為運(yùn)動(dòng)副構(gòu)件分離的標(biāo)志， Earles等［16］提出間隙副元素的分離判別式。由于連續(xù)接觸模型沒(méi)有考慮運(yùn)動(dòng)副的剛度、阻尼、摩擦系數(shù)和恢復(fù)系數(shù)，所以難以描述運(yùn)動(dòng)副元素間的動(dòng)力學(xué)特性以及碰撞對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響， 但連續(xù)接觸模型建模方法簡(jiǎn)單， 易于計(jì)算， 可用于機(jī)器初始設(shè)計(jì)時(shí)的誤差和精度分析。

2　間隙運(yùn)動(dòng)副經(jīng)典碰撞模型

間隙運(yùn)動(dòng)副經(jīng)典碰撞模型是一種基于單邊約束的碰撞模型， 該模型將間隙副元素的運(yùn)動(dòng)分為接觸、碰撞與分離 3 種狀態(tài)［17］。假設(shè)碰撞物體表面為剛性， 兩構(gòu)件碰撞接觸以單邊約束條件表征， 即碰撞體不能相互刺穿， 碰撞過(guò)程中系統(tǒng)位形不發(fā)生改變， 在碰撞前后碰撞體有速度階躍和能量損失，可采用動(dòng)量定理和恢復(fù)系數(shù)計(jì)算碰撞分離后的動(dòng)量分配［18］。這種間隙模型是一種剛性碰撞模型， 在碰撞前后碰撞體速度不連續(xù)， 且假定碰撞瞬時(shí)完成，略去碰撞過(guò)程細(xì)節(jié)， 因而不能預(yù)示含間隙運(yùn)動(dòng)副中碰撞力變化與接觸變形過(guò)程， 只能采用反作用力沖量衡量沖擊造成的嚴(yán)重程度。該模型適合于接觸剛度很大的機(jī)械系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)特性分析問(wèn)題。

恢復(fù)系數(shù)代表碰撞過(guò)程中能量耗散的程度， 其數(shù)值取決于材料性質(zhì)和碰撞速度等因素的綜合影響。確定恢復(fù)系數(shù)是間隙運(yùn)動(dòng)副經(jīng)典碰撞模型構(gòu)建的關(guān)鍵。從碰撞前后的速度、沖量、能量損失等出發(fā)， 對(duì)恢復(fù)系數(shù)有不同的定義形式［19-20］。

Newton 等［21］利用兩物體碰撞前后的法向速度比給出恢復(fù)系數(shù)的定義， 通過(guò)該系數(shù)將碰撞前后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)狀態(tài)建立聯(lián)系。研究發(fā)現(xiàn)， 采用單邊約束的碰撞模型處理考慮 Coulomb 干摩擦的碰撞問(wèn)題時(shí)， 可能引發(fā)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程不協(xié)調(diào)。Kane 等［22］求解復(fù)合擺與固定表面碰撞問(wèn)題時(shí)， 發(fā)現(xiàn)在某些參數(shù)條件下系統(tǒng)動(dòng)能增加， 稱為Kane動(dòng)力學(xué)之謎。為解決考慮干摩擦的碰撞問(wèn)題， Brach［23］利用切向沖量比描述碰撞體的切向運(yùn)動(dòng)， 但是該系數(shù)具有不穩(wěn)定性。Smith［24］利用切向運(yùn)動(dòng)的平均速度定義沖量比， 采用純代數(shù)方程求解考慮干摩擦的碰撞問(wèn)題。Keller［25］指出， 導(dǎo)致碰撞過(guò)程能量增加的原因在于，摩擦引起的切向沖量依賴于切向運(yùn)動(dòng)模式。因此，在分析考慮摩擦的碰撞過(guò)程時(shí)， 需要放棄碰撞瞬時(shí)性假設(shè)， 分析碰撞過(guò)程中切向微運(yùn)動(dòng)規(guī)律。Poisson利用碰撞過(guò)程中壓縮階段與恢復(fù)階段的法向沖量比來(lái)定義恢復(fù)系數(shù)， 與 Newton 定義不同，該系數(shù)刻畫碰撞體動(dòng)力學(xué)狀態(tài)之間的關(guān)系［19］， 但在某些特殊的情況下， 利用其計(jì)算考慮摩擦的碰撞過(guò)程時(shí)， 仍然會(huì)出現(xiàn)能量增加的現(xiàn)象。Stronge［20］提出基于碰撞過(guò)程中能量變化定義的能量恢復(fù)系數(shù)， 并利用該系數(shù)求解考慮摩擦的碰撞過(guò)程。

3 種恢復(fù)系數(shù)在考慮單向滑動(dòng)的碰撞過(guò)程中能給出相近的響應(yīng)結(jié)果， 當(dāng)碰撞構(gòu)件發(fā)生黏滯與可逆滑動(dòng)過(guò)程時(shí)， 能量恢復(fù)系數(shù)對(duì)能量耗散的刻畫更為合理［26］。含摩擦的多體系統(tǒng)可能存在 Painlevé 疑難奇異性， 即多體系統(tǒng)的后續(xù)運(yùn)動(dòng)可能存在無(wú)解（非協(xié)調(diào)狀態(tài)）或者多解（不確定狀態(tài)）， Zhao 等［27-28］對(duì) Painlevé 疑難展開理論與實(shí)驗(yàn)分析， 通過(guò)線性互補(bǔ)方法給定系統(tǒng)奇異條件， 利用 Stronge 恢復(fù)系數(shù)刻畫碰撞過(guò)程， 證明了 Painlevé 系統(tǒng)中切向沖擊的存在， 以及多體系統(tǒng)處于非協(xié)調(diào)狀態(tài)時(shí)其后續(xù)運(yùn)動(dòng)的切向沖擊特征。應(yīng)用上述碰撞理論的研究， 可進(jìn)一步完善間隙副經(jīng)典碰撞模型。

3　間隙運(yùn)動(dòng)副連續(xù)接觸力模型

間隙運(yùn)動(dòng)副連續(xù)接觸力模型是一種基于力約束的碰撞模型。該模型將含間隙運(yùn)動(dòng)副元素的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分為自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與接觸變形狀態(tài)， 當(dāng)兩構(gòu)件接觸時(shí)， 將構(gòu)件之間的接觸變形和接觸力視為從零開始連續(xù)變化。該模型將接觸體的接觸區(qū)域局部柔化， 構(gòu)建碰撞體接觸面間刺穿深度與碰撞力的函數(shù)關(guān)系， 同時(shí)表征能量耗散的阻尼力和切向摩擦力。該間隙模型可以計(jì)及碰撞體間的法向接觸力、切向接觸力以及阻力矩， 考慮變形位移和變形速度的綜合作用， 不僅能夠求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中間隙鉸軸銷與孔體的碰撞力， 還能給出碰撞力與碰撞加速度的顯式表達(dá)式， 并且易于集成到多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程中。

旋轉(zhuǎn)副是機(jī)械多體系統(tǒng)中最為常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)副，其間隙連續(xù)接觸力模型可分為平面間隙模型和三維間隙模型。旋轉(zhuǎn)副平面間隙模型是基于組成運(yùn)動(dòng)副銷軸和孔體軸線平行的假設(shè)， 而實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)副不但存在徑向間隙， 還存在軸向間隙， 所以會(huì)出現(xiàn)銷軸和孔體的軸線不平行的情況。為此， 需要建立旋轉(zhuǎn)副的三維間隙。對(duì)于軸向間隙相對(duì)較小的場(chǎng)合， 采用平面間隙模型可以滿足一定的精度要求。間隙運(yùn)動(dòng)副連續(xù)接觸力模型的關(guān)鍵是描述運(yùn)動(dòng)副中的副反力與局部變形量的關(guān)系， 因此， 下面針對(duì)平面間隙模型中的法向接觸力、法向阻尼、切向摩擦以及旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)副的三維間隙建模等方面的研究進(jìn)展進(jìn)行分析。

3.1法向接觸力

法向接觸力包括與變形位移相關(guān)的等效彈簧力和與變形速度相關(guān)的等效阻尼力。對(duì)法向接觸力的研究起始于不考慮等效阻尼力的 Hertz 接觸模型，在考慮材料屬性與幾何特征的基礎(chǔ)上， 構(gòu)造碰撞體接觸面間刺穿深度與碰撞力的函數(shù)關(guān)系［29］。表 1給出幾種法向接觸力與變形關(guān)系式， 其中簡(jiǎn)化的接觸力模型是一種常用的法向接觸力模型［18，30］:

式中，NF為法向接觸力， K為接觸剛度系數(shù)， δ為刺穿深度， n為冪指數(shù)（n≥1）。

由式（1）表征的法向接觸剛度為

由式（2）可以看出， 隨著法向變形（刺穿深度）的增加，接觸剛度逐漸增加， 這與運(yùn)動(dòng)副間隙接觸力定性分析一致。因此， 對(duì)于刺穿深度較小的場(chǎng)合， 可以采用該簡(jiǎn)化模型描述法向接觸力。

ESDU-78035 摩擦學(xué)數(shù)據(jù)庫(kù)［32］提供了接觸力和刺穿深度的多種隱式表達(dá)式， 分別適用于圓形區(qū)域和矩形區(qū)域接觸。由于基于 Hertz 接觸的法向接觸力模型假設(shè)接觸區(qū)域?qū)挾冗h(yuǎn)小于接觸點(diǎn)的曲率半徑， 因此， 在求解非共形接觸問(wèn)題時(shí)具有較高的精度， 但在求解共形接觸問(wèn)題時(shí)， 計(jì)算的接觸剛度偏小［34］。

表 1 給出的法向接觸力模型僅描述了碰撞過(guò)程中材料的彈性變形， 并未考慮能量的耗散。koshy等［35］采用不同的接觸力模型對(duì)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算， 計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)， 只考慮材料彈性變形的接觸力模型雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單， 但對(duì)碰撞過(guò)程的刻畫不準(zhǔn)確。運(yùn)動(dòng)副元素間碰撞過(guò)程的刻畫需要考慮能量耗散問(wèn)題， 否則將導(dǎo)致該方法分析結(jié)果失真［36］。事實(shí)上， 間隙運(yùn)動(dòng)副在接觸碰撞時(shí)存在阻尼力， 即在碰撞過(guò)程中接觸力與刺穿深度間存在遲滯現(xiàn)象， 阻尼力的確定需要探討間隙運(yùn)動(dòng)副的能量耗散機(jī)制， 表2給出幾種考慮能量耗散的法向接觸力模型。

表1　法向接觸力與變形關(guān)系式Table 1　Elastic contact force model

表2　考慮能量耗散的法向接觸力模型Table 2　Contact force model with hysteresis damping

為了考慮碰撞過(guò)程中能量耗散， Goldsmith［31］給出線性彈簧與線性阻尼模型（Kelvin-Voigt 模型）來(lái)描述碰撞過(guò)程， Dubowsky等［41-42］采用線性彈簧阻尼模型模擬碰撞過(guò)程， 提出碰撞鉸模型。Rogers 等［43］采用線性彈簧阻尼模型， 研究含間隙平面機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性， 指出線性彈簧阻尼模型對(duì)材料阻尼較小的碰撞過(guò)程仿真精度較高， 但對(duì)高阻尼情況， 阻尼力需要考慮碰撞速度與接觸剛度的影響。線性阻尼模型形式簡(jiǎn)單， 但不能反映碰撞過(guò)程碰撞力與相對(duì)刺穿深度的非線性關(guān)系， 且在碰撞開始時(shí)， 碰撞阻尼力非零且為最大值， 碰撞力合力不為零； 在碰撞結(jié)束時(shí)， 使得等效彈簧力和等效阻尼力的合力為拉力，與接觸的物理過(guò)程相違背［17，30］。Hunt 等［30］與Herbert［44］認(rèn)為碰撞力與刺穿深度的 n 次方成正比，Hunt等［30］提出具有非線性阻尼的接觸力模型（Hunt-Crossley 模型）。與 Hunt-Crossley 模型類似， Lee 等［37］提出改進(jìn)的遲滯阻尼碰撞模型， 能較好地滿足碰撞過(guò)程的邊界條件。Lankarani等［38］在 Hunt 等［30］的研究基礎(chǔ)上， 通過(guò)碰撞前后系統(tǒng)能量損失， 構(gòu)建阻尼因子與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系， 提出 Lankarani-Nikravesh連續(xù)接觸力模型（L-N模型）。該模型考慮了碰撞過(guò)程中能量耗散， 反映碰撞體的材料性質(zhì)、幾何特征及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)碰撞過(guò)程的影響。Gonthier 等［40］通過(guò)計(jì)算碰撞力與刺穿深度曲線的斜率， 近似得到廣義接觸剛度系數(shù)， 并利用該系數(shù)， 對(duì) L-N 模型中阻尼系數(shù)進(jìn)行修正。分析表明: 在較高恢復(fù)系數(shù)條件下，通過(guò)該模型計(jì)算得到的碰撞壓縮與恢復(fù)階段的能量耗散基本上相當(dāng)， 而當(dāng)恢復(fù)系數(shù)較小時(shí)， 能量主要耗散于壓縮階段。

對(duì)于相對(duì)軟的材料， 需要考慮塑性變形問(wèn)題。Goldsmith［31］認(rèn)為 Hertz 接觸力模型能較好地刻畫接觸剛度較大且初始碰撞速度較低的碰撞過(guò)程， 但不適用于接觸剛度小、初始碰撞速度高且需要考慮塑性變形的碰撞過(guò)程， 因此提出一種基于 Hertz 接觸力模型的考慮材料塑性變形的接觸力模型。針對(duì)接觸中有塑性變形情況， Lankarani 等［45］將 L-N 模型拓展到考慮高速碰撞與材料塑性變形的影響，F(xiàn)lores 等［39］提出一種考慮彈性碰撞與非彈性碰撞過(guò)程的接觸碰撞模型。

Hertz 接觸力模型適用于刻畫大間隙、小載荷的碰撞過(guò)程， 若要精細(xì)模擬間隙碰撞問(wèn)題， 還需要考慮間隙運(yùn)動(dòng)副共形接觸問(wèn)題， 發(fā)展間隙運(yùn)動(dòng)副的共形接觸建模方法。為了解決運(yùn)動(dòng)副間隙共形接觸建模問(wèn)題， 陳鹿民等［46］提出一種多點(diǎn)接觸碰撞模型及其離散算法， 根據(jù) Hertz 接觸理論和彈性基礎(chǔ)假設(shè)， 將運(yùn)動(dòng)副間隙接觸表面下的應(yīng)力分布采用三次冪指數(shù)函數(shù)近似， 得到適用于光滑接觸面和微小間隙運(yùn)動(dòng)副的等效彈簧阻尼器多點(diǎn)接觸碰撞模型。Liu 等［33］基于 Winkler 彈性基模型假設(shè)， 通過(guò)有限元方法， 對(duì)接觸區(qū)域、壓力分布與最大載荷進(jìn)行分析， 提出一種適合于共形接觸的法向接觸力模型。

3.2運(yùn)動(dòng)副的切向摩擦

間隙運(yùn)動(dòng)副接觸位置的切向摩擦力一般采用Coulomb 摩擦模型， 通過(guò)摩擦系數(shù)將法向接觸力與摩擦力建立聯(lián)系。由于 Coulomb 摩擦模型不連續(xù)，且間隙運(yùn)動(dòng)副元素的接觸和分離狀態(tài)可能變化頻繁， 導(dǎo)致采用傳統(tǒng)Coulomb摩擦模型描述間隙運(yùn)動(dòng)副的切向摩擦力時(shí)存在明顯不足， 數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性較低［47］。理論與實(shí)驗(yàn)表明， 摩擦力不僅與接觸表面性質(zhì)相關(guān)， 還受到滑動(dòng)速度、材料性質(zhì)以及溫度等因素的影響， 而傳統(tǒng)的 Coulomb 摩擦模型并未考慮這些因素的作用［48］。傳統(tǒng)的 Coulomb 摩擦模型也不能表征兩構(gòu)件間的黏滯現(xiàn)象， 在碰撞過(guò)程中黏滯不僅導(dǎo)致構(gòu)件間存在靜摩擦力的變化， 也可能引起可逆滑動(dòng)的發(fā)生。Ahmed 等［49］認(rèn)為合理的摩擦模型需要識(shí)別滑動(dòng)與黏滯過(guò)程， 避免計(jì)算時(shí)碰撞系統(tǒng)能量的增加。

為了解決傳統(tǒng)Coulomb摩擦模型的不足， 學(xué)者們引入一系列改進(jìn)的 Coulomb 摩擦模型來(lái)刻畫含間隙運(yùn)動(dòng)副中構(gòu)件的摩擦力［50-53］。這些改進(jìn)的模型大多引入平滑因子， 將摩擦力描述為切向速度的連續(xù)函數(shù)。改進(jìn)的Coulomb摩擦模型只是從易于數(shù)值計(jì)算的角度對(duì)Coulomb摩擦力模型進(jìn)行改進(jìn)，使摩擦力在速度上保持連續(xù)， 避免切向速度為零時(shí)摩擦力方向的突變， 提高了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。但是， 這些摩擦力模型不符合摩擦的物理本質(zhì)， 并沒(méi)有反映摩擦過(guò)程本身， 忽略了黏滯靜摩擦力等因素的影響， 導(dǎo)致摩擦力物理表征的失真。

為了準(zhǔn)確刻畫接觸過(guò)程中的黏滯、滑動(dòng)及其轉(zhuǎn)換過(guò)程， 一些學(xué)者引入系統(tǒng)的內(nèi)部變量， 建立了動(dòng)態(tài)摩擦模型。目前的動(dòng)態(tài)摩擦模型主要有 Dahl 摩擦模型和 LuGre 摩擦模型等。Dahl［54］根據(jù)界面間的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系， 將接觸峰的平均變形量作為系統(tǒng)的內(nèi)部變量， 描述構(gòu)件的微小位移， 提出微分形式的動(dòng)態(tài)摩擦模型， 避免了傳統(tǒng)Coulomb摩擦模型的不連續(xù)性。Stribeck［55］研究發(fā)現(xiàn)， 在兩個(gè)接觸表面進(jìn)入滑動(dòng)階段初始時(shí)刻的低速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 摩擦力隨著切向相對(duì)速度的增加而降低。雖然 Dahl 模型表征了預(yù)滑移， 描述了摩擦滯后， 但沒(méi)有描述靜摩擦力與 Stribeck 現(xiàn)象， 因此不能用于分析黏滯-滑動(dòng)過(guò)程。Canudas 等［56］采用接觸面間彈性剛毛的平均偏移表征摩擦力的動(dòng)態(tài)行為， 考慮剛毛平均偏移、變形速度與構(gòu)件的切向速度對(duì)摩擦力的影響，提出 LuGre 摩擦模型。LuGre 摩擦模型不僅能準(zhǔn)確地刻畫構(gòu)件間的 Coulomb 摩擦、可變靜摩擦以及Stribeck摩擦現(xiàn)象， 而且可實(shí)現(xiàn)在不同的摩擦狀態(tài)間連續(xù)平滑的轉(zhuǎn)換。LuGre 模型既能消除速度零點(diǎn)時(shí)摩擦力的不連續(xù)性， 又能較好地刻畫含間隙機(jī)構(gòu)中存在的黏滯-滑動(dòng)現(xiàn)象與可變靜摩擦力等問(wèn)題。Muvengei 等［57］將 LuGre 模型應(yīng)用到含間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析中， 發(fā)現(xiàn)含間隙運(yùn)動(dòng)副中轉(zhuǎn)軸與軸套的碰撞過(guò)程存在大量的黏滯-滑動(dòng)過(guò)程及其相互轉(zhuǎn)換， 該過(guò)程對(duì)系統(tǒng)的非線性響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生較明顯的影響。動(dòng)態(tài)摩擦模型雖然能夠全面地描述摩擦現(xiàn)象， 但模型較為復(fù)雜， 模型參數(shù)辨識(shí)尤為困難。因此， 動(dòng)態(tài)摩擦模型應(yīng)用于含間隙機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析尚有局限性， 針對(duì)間隙運(yùn)動(dòng)副中摩擦問(wèn)題研究仍有待進(jìn)一步完善。

3.3旋轉(zhuǎn)副的三維間隙建模

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)副是一種典型的平面運(yùn)動(dòng)副， 其間隙模型一般為平面間隙模型， 這種模型基于轉(zhuǎn)軸與孔體碰撞過(guò)程中軸線始終保持平行的假設(shè)條件， 忽略了其軸向間隙及其碰撞行為。由于實(shí)際的旋轉(zhuǎn)副軸銷和孔體很難實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的平行接觸， 且圓柱表面的壓力分布不均勻， 轉(zhuǎn)軸與軸套間存在軸向邊界效應(yīng)的影響［30］。在平面機(jī)構(gòu)中， 由于運(yùn)動(dòng)副間隙的存在， 轉(zhuǎn)軸與孔體軸線可能發(fā)生傾斜， 軸銷和孔體沿軸向也存在間隙， 使得在軸向產(chǎn)生復(fù)雜的碰撞過(guò)程，從而引起平面機(jī)構(gòu)脫離理想平面運(yùn)動(dòng)， 導(dǎo)致平面機(jī)構(gòu)產(chǎn)生更為復(fù)雜的空間運(yùn)動(dòng)［58］。為了精細(xì)刻畫含徑向間隙和軸向間隙的運(yùn)動(dòng)副， 研究者提出旋轉(zhuǎn)副三維間隙模型。Bauchau 等［59］、Venanzi［60］和尉立肖等［61］提出旋轉(zhuǎn)副的 4 種接觸模式， 建立三維間隙模型， 分析間隙對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的影響。張躍明等［62］根據(jù)軸銷和軸套的約束關(guān)系， 給出間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副11 種接觸模式， 分析各種模式的存在條件。Yan 等［58］考慮轉(zhuǎn)軸與軸套間的徑向與軸向間隙， 基于運(yùn)動(dòng)副的幾何特性分析， 給出構(gòu)件間存在的 13 種接觸模式及其存在條件（表 3）， 提出平面旋轉(zhuǎn)副的三維間隙鉸模型； 針對(duì)徑向與軸向存在的點(diǎn)、線、面等不同的接觸行為， 分別給出非線性碰撞接觸力表達(dá)式，通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了平面旋轉(zhuǎn)副由于間隙存在而呈現(xiàn)出的三維空間特性。此類模型更接近于真實(shí)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)副， 為分析實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)的間隙運(yùn)動(dòng)副元素間的接觸與碰撞復(fù)雜行為提供了理論基礎(chǔ)。

4　含間隙機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析

4.1間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響分析

運(yùn)動(dòng)副間隙使機(jī)械多體系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為， 造成實(shí)際工程系統(tǒng)的性能與可靠性下降。預(yù)測(cè)與評(píng)估間隙對(duì)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響是國(guó)內(nèi)外學(xué)者長(zhǎng)期關(guān)注的問(wèn)題。陳濱等［63］采用攝動(dòng)法建立含間隙伸展機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型， 分析了間隙對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性的影響。馬興瑞等［6］和王天舒等［64］將繩索聯(lián)動(dòng)機(jī)構(gòu)等效為一個(gè)被動(dòng)控制器， 研究含鉸間隙的太陽(yáng)翼動(dòng)力學(xué)行為。Li 等［65］以考慮關(guān)節(jié)鉸間隙的太陽(yáng)電池陣為研究對(duì)象， 討論關(guān)節(jié)阻尼與摩擦、重力場(chǎng)以及部件柔性對(duì)太陽(yáng)翼展開過(guò)程動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。Zhang 等［51］、Zhao等［66］和Bai等［67］研究含間隙太陽(yáng)翼與空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。何柏巖等［68］采用 Hertz 接觸模型， 建立含間隙柔機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型， 分析間隙對(duì)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性的影響。

齒面摩擦、齒側(cè)間隙及時(shí)變嚙合剛度是導(dǎo)致齒輪運(yùn)動(dòng)副產(chǎn)生復(fù)雜非線性振動(dòng)的主要因素［69］。王三民等［69］以齒輪副嚙合點(diǎn)間沿嚙合線的相對(duì)位移為廣義坐標(biāo)， 建立計(jì)及摩擦、間隙及時(shí)變剛度等因素的直齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型。谷勇霞等［70］和Zhao等［71］以含諧波傳動(dòng)關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂為研究對(duì)象， 分析空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)精度與參數(shù)靈敏度。Yang等［72-74］綜合考慮時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、齒面誤差和嚙合相位等非線性因素， 建立含行星減速器的空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)精細(xì)模型， 分析運(yùn)行過(guò)程中不同類型的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)產(chǎn)生原因以及齒側(cè)間隙對(duì)嚙合沖擊的影響。

閻紹澤等［18，75-76］和陳鹿民等［77］對(duì)考慮間隙的可展結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性開展數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)研究， 發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)副間隙降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性， 且隨著間隙值增大，副反力幅值增加； 間隙導(dǎo)致系統(tǒng)具有初值敏感性，呈現(xiàn)明顯的非線性特征； 間隙內(nèi)碰撞將激發(fā)結(jié)構(gòu)的高頻振動(dòng)， 導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量的轉(zhuǎn)移； 桿件柔性對(duì)間隙運(yùn)動(dòng)副元素間的碰撞沖擊具有緩沖作用。

由于間隙運(yùn)動(dòng)副的內(nèi)碰撞及其變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性， 使得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為較為復(fù)雜。運(yùn)用時(shí)域和頻域相結(jié)合的分析手段， 能夠考察間隙局部非線性對(duì)系統(tǒng)全局非線性的影響， 以及間隙碰撞沖擊特性與系統(tǒng)時(shí)頻變化特征。宿月文等［78］利用快速傅立葉變換分析含間隙多體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)時(shí)域響應(yīng)， 得到系統(tǒng)的頻譜， 分析了時(shí)域和頻域的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Xun等［79］、Liu等［80］和荀劍等［81］基于時(shí)頻分析方法分析含間隙可展結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)的時(shí)頻特征， 揭示了低頻和高頻段的不同振動(dòng)特征， 對(duì)收攏和展開狀態(tài)下太陽(yáng)帆板實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)頻分析表明: 時(shí)頻分析方法能夠較好地表征含間隙可展結(jié)構(gòu)的時(shí)頻特征信息， 得到系統(tǒng)的頻帶以及各個(gè)頻段衰減的速度和時(shí)間。

表3 三維間隙接觸模式［58］Table 3　Contact modesof 3D revolution joint［58］

4.2考慮潤(rùn)滑和磨損等因素的含間隙機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

機(jī)器中的運(yùn)動(dòng)副一般注入潤(rùn)滑油， 若運(yùn)動(dòng)副元素間的相對(duì)速度較小， 則難以形成動(dòng)壓潤(rùn)滑； 另一方面， 在高速機(jī)械中運(yùn)動(dòng)副反力較大， 會(huì)從摩擦表面間擠出潤(rùn)滑油， 使得摩擦表面的凸起產(chǎn)生接觸而處于邊界潤(rùn)滑狀態(tài)。在動(dòng)態(tài)接觸過(guò)程中， 間隙運(yùn)動(dòng)副將引起表面磨損［82］。可以看出， 考慮潤(rùn)滑的間隙副建模更為復(fù)雜。Ravn 等［83］和Flores 等［84］采用雷諾方程， 描述運(yùn)動(dòng)副間隙中的流體壓力分布， 發(fā)現(xiàn)潤(rùn)滑膜降低了間隙運(yùn)動(dòng)副元素的碰撞， 增加了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。Dupac 等［85］分析了間隙、桿件柔性與裂紋對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響， 將桿件柔性與裂紋通過(guò)旋轉(zhuǎn)彈簧進(jìn)行表征，利用恢復(fù)系數(shù)描述間隙副碰撞過(guò)程， 發(fā)現(xiàn)間隙與裂紋導(dǎo)致系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌響應(yīng)， 激發(fā)桿件的高階振型，降低機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。潤(rùn)滑可以在一定程度上降低間隙效應(yīng)［83-84，86-87］， 潤(rùn)滑使得運(yùn)動(dòng)副中構(gòu)件接觸減少， 副反力幅值明顯下降， 潤(rùn)滑油膜亦能降低運(yùn)動(dòng)副中摩擦力幅值與構(gòu)件表面的磨損程度。

實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)中含間隙運(yùn)動(dòng)副在長(zhǎng)期運(yùn)行中必然存在磨損。構(gòu)件表面磨損后， 運(yùn)動(dòng)副間隙尺寸及其分布將呈現(xiàn)非規(guī)則特性［88］。這將引起機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的改變， 這種變化又反作用于磨損過(guò)程， 造成系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為［89］。Tasora 等［90］通過(guò)實(shí)驗(yàn)， 研究了含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副中的磨損情況， 證明了轉(zhuǎn)軸表面磨損區(qū)域分布的不均勻性。Mukras 等［91-92］將接觸表面視為一系列彈簧即所謂的彈性基模型， 分析含間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副中的磨損行為。由于該模型將接觸表面等效為彈簧組并忽略接觸面剪切效應(yīng)，因此可直接獲取構(gòu)件接觸過(guò)程中的壓力分布情況。Li 等［93］考慮轉(zhuǎn)軸與軸套磨損后構(gòu)件幾何特征分布不均勻?qū)е碌慕佑|表面壓力分布的非對(duì)稱性， 提出非對(duì)稱的 Winkler 彈性基模型。Xiang 等［94］提出一種考慮動(dòng)態(tài)磨損過(guò)程的含間隙運(yùn)動(dòng)副模型， 引入動(dòng)態(tài)非線性接觸剛度系數(shù)， 考慮非規(guī)則磨損間隙及構(gòu)件曲率變化對(duì)接觸力的影響， 計(jì)及材料的物理屬性、幾何特征與接觸體變形過(guò)程， 基于構(gòu)件間的接觸壓力與滑動(dòng)距離， 利用 Archard 磨損模型對(duì)離散區(qū)內(nèi)構(gòu)件的磨損深度進(jìn)行計(jì)算， 獲取磨損造成的接觸表面幾何特征的變化， 通過(guò)余弦相關(guān)函數(shù)分析接觸壓力與滑動(dòng)距離對(duì)運(yùn)動(dòng)副中磨損過(guò)程的影響。該模型的計(jì)算中， 轉(zhuǎn)軸與軸套間接觸和滑動(dòng)行為的確定依賴于整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程， 實(shí)時(shí)更新間隙的尺寸與分布， 實(shí)現(xiàn)了含間隙運(yùn)動(dòng)副磨損深度的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。Xiang等［94］發(fā)現(xiàn)， 在給定條件下， 曲柄轉(zhuǎn)速較低時(shí)， 磨損區(qū)域較為集中； 當(dāng)轉(zhuǎn)軸與軸套發(fā)生連續(xù)碰撞時(shí)， 構(gòu)件磨損率主要受接觸壓力的影響； 當(dāng)轉(zhuǎn)軸與軸套持續(xù)接觸時(shí)， 構(gòu)件的磨損率主要受滑動(dòng)距離的影響。實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)副雖存在潤(rùn)滑， 但長(zhǎng)期運(yùn)行也會(huì)產(chǎn)生磨損， 而考慮潤(rùn)滑和磨損的間隙運(yùn)動(dòng)副建模的研究十分有限， 尤其缺少相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究。

4.3含間隙機(jī)械系統(tǒng)的非線性特性分析

間隙導(dǎo)致接觸表面存在復(fù)雜的碰撞與摩擦， 使得含間隙機(jī)械系統(tǒng)具有典型的非線性特性， 出現(xiàn)諧波共振等現(xiàn)象［95］。Moon 等［96］實(shí)驗(yàn)研究含間隙空間桁架結(jié)構(gòu)時(shí)發(fā)現(xiàn)， 在正弦激勵(lì)條件下， 間隙導(dǎo)致桁架結(jié)構(gòu)發(fā)生混沌振動(dòng)。Rhee 等［97］采用經(jīng)典碰撞模型和龐加萊截面分析方法， 對(duì)含間隙四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析， 結(jié)果表明: 隨著運(yùn)動(dòng)副中摩擦系數(shù)的增加，機(jī)構(gòu)的非線性程度降低； 當(dāng)摩擦系數(shù)較高時(shí)， 機(jī)構(gòu)具有穩(wěn)定的周期響應(yīng)。盧緒祥等［98］采用分岔圖、相圖、龐加萊映射與功率譜圖， 分析含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性。Tang 等［99］通過(guò)龐加萊映射， 分析含間隙四桿機(jī)構(gòu)中存在的奇怪吸引子。Rahmanian 等［100］利用分岔圖， 分析含間隙多體系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)間。Farahanchi 等［101］分析間隙值、摩擦系數(shù)與碰撞參數(shù)對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)響應(yīng)的影響， 指出機(jī)構(gòu)響應(yīng)存在混沌、暫態(tài)混沌與周期運(yùn)動(dòng)3種狀態(tài)。趙永輝等［102］考慮操縱面自由度具有的間隙非線性， 建立二維翼段氣動(dòng)彈性系統(tǒng)無(wú)量綱分段線性運(yùn)動(dòng)方程， 研究表明， 操縱面鉸鏈間隙非線性將導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的極限環(huán)振動(dòng)， 隨著來(lái)流速度的增加，系統(tǒng)極限環(huán)振動(dòng)的幅值和頻率都存在跳躍現(xiàn)象。

大多數(shù)含間隙機(jī)械系統(tǒng)屬于多參數(shù)系統(tǒng)， 參數(shù)的改變可能引起系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)發(fā)生本質(zhì)變化， 導(dǎo)致周期解的個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性發(fā)生改變并產(chǎn)生分岔。含間隙系統(tǒng)存在多種分岔類型， 如叉式分岔［103］、倍周期分岔［104］、Hopf分岔［105］等， 且含間隙系統(tǒng)對(duì)參數(shù)和初值更為敏感， 很容易出現(xiàn)陣發(fā)性混沌［3，106］。含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性將導(dǎo)致如全局穩(wěn)定流形定理等一些經(jīng)典的分析方法失效［3，105］。大部分學(xué)者在分析含間隙機(jī)械系統(tǒng)非線性特性時(shí)采用的間隙模型比較簡(jiǎn)單， 而運(yùn)用接近真實(shí)的間隙模型， 進(jìn)一步開展機(jī)械系統(tǒng)諧波共振、周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和分岔等非線性動(dòng)力學(xué)特性研究， 對(duì)提升實(shí)際機(jī)械裝備動(dòng)力學(xué)分析和設(shè)計(jì)水平具有重要意義。

4.4含間隙機(jī)械系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)與可靠性評(píng)估

由于機(jī)器或機(jī)構(gòu)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行， 其間隙運(yùn)動(dòng)副軸套和銷軸會(huì)發(fā)生磨損， 使得間隙擴(kuò)大， 引起系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)精度以及系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的改變， 導(dǎo)致性能退化， 因此， 需要進(jìn)行性能評(píng)價(jià)和可靠性評(píng)估， 以預(yù)測(cè)機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)行精度和剩余使用壽命［107-109］。黃瑋等［110］和孟憲舉等［111］應(yīng)用連續(xù)接觸模型， 對(duì)含間隙運(yùn)動(dòng)副的機(jī)構(gòu)精度和運(yùn)動(dòng)可靠性進(jìn)行分析。Pan等［112］利用測(cè)試數(shù)據(jù)特征生成方法， 結(jié)合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程， 給出含間隙的太陽(yáng)電池陣同步機(jī)構(gòu)的故障評(píng)估與可靠性預(yù)測(cè)方法。Wu 等［113］結(jié)合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和Kaplan-Meier分析方法， 考慮桿長(zhǎng)隨機(jī)性與鉸鏈磨損退化， 提出一種用于含間隙多體系統(tǒng)的可靠性評(píng)估方法。Xiang 等［114］基于龐加萊映射理論與相點(diǎn)關(guān)聯(lián)性分析， 提出一種含間隙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜度定量分析方法， 實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的定量評(píng)價(jià)； 利用該方法對(duì)含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)開展參數(shù)影響研究， 發(fā)現(xiàn)間隙尺寸與曲柄轉(zhuǎn)速和機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)復(fù)雜度間分別滿足玻爾茲曼函數(shù)與高斯函數(shù) 關(guān)系。

5　研究展望

經(jīng)過(guò) 40 多年的研究， 含間隙多體機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在構(gòu)件柔性（彈性）的表征、運(yùn)動(dòng)副非線性建模、多體動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值解算方法， 以及多體機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制與振動(dòng)抑制等諸多方面均取得較大成果， 但尚有很多問(wèn)題有待進(jìn)一步研究。

5.1考慮黏滯-滑動(dòng)過(guò)程的含間隙運(yùn)動(dòng)副建模

含間隙運(yùn)動(dòng)副摩擦力的刻畫通常采用改進(jìn)的Coulomb摩擦模型。該模型雖然解決了速度零點(diǎn)時(shí)摩擦力的連續(xù)性問(wèn)題， 并保證數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，但違背了摩擦過(guò)程的物理本質(zhì)， 且不能刻畫可變靜摩擦、Stribeck 摩擦及黏滯-滑動(dòng)效應(yīng)在含間隙運(yùn)動(dòng)副中大量存在的摩擦現(xiàn)象， 導(dǎo)致理論描述摩擦機(jī)理失真。雖然少數(shù)學(xué)者通過(guò)引入動(dòng)態(tài)摩擦模型來(lái)解決該問(wèn)題， 但動(dòng)態(tài)摩擦模型本身參數(shù)辨識(shí)困難， 且會(huì)給機(jī)構(gòu)引入額外自由度， 不易在含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中應(yīng)用。因此， 有必要進(jìn)一步考慮含間隙運(yùn)動(dòng)副中構(gòu)件間的碰撞與摩擦機(jī)理， 建立考慮黏滯-滑動(dòng)過(guò)程的含間隙運(yùn)動(dòng)副模型。同時(shí)， 對(duì)含間隙運(yùn)動(dòng)副構(gòu)件碰撞過(guò)程中摩擦與磨損現(xiàn)象及能量耗散的實(shí)驗(yàn)測(cè)試與分析， 可以揭示間隙非線性行為， 還需開展相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究， 并進(jìn)行理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證。

5.2間隙運(yùn)動(dòng)副的共形接觸建模

目前含間隙運(yùn)動(dòng)副元素碰撞過(guò)程中， 碰撞力均基于理想接觸表面確定， 而實(shí)際機(jī)構(gòu)中廣泛存在共形接觸問(wèn)題。對(duì)于高精度機(jī)械系統(tǒng)， 由于運(yùn)動(dòng)副間隙較小， 一般是運(yùn)動(dòng)副直徑的1/100到1/10000， 具體數(shù)值視直徑大小和精度而定［62］。盡管接觸變形可能很小， 但是接觸區(qū)域較大， 屬于近似共形接觸，這時(shí) Hertz 假設(shè)不再適用。因此， 這類間隙運(yùn)動(dòng)副內(nèi)的接觸碰撞屬于相對(duì)碰撞速度很低的近似協(xié)調(diào)接觸問(wèn)題?；趶椥园肟臻g理論的 Hertz 類接觸力公式僅適用于非協(xié)調(diào)接觸， 且只有幾種簡(jiǎn)單表面之間的接觸能得到解析表達(dá)式， 采用這類單點(diǎn)接觸間隙模型解算共形接觸問(wèn)題可能會(huì)引起較大誤差。含間隙運(yùn)動(dòng)副共形接觸建模問(wèn)題可以采用有限元方法解決， 但有限元方法需建立碰撞體接觸后的準(zhǔn)確動(dòng)邊界條件， 模型復(fù)雜， 計(jì)算量較大； 另外， 間隙有限元模型直接用于具有大位移運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)解算， 需考慮到有限元方法處理剛體大位移的局限性。從運(yùn)動(dòng)副材料的物理本構(gòu)出發(fā)， 運(yùn)用接觸力學(xué)和固體力學(xué)理論， 建立運(yùn)動(dòng)副間隙的共形接觸模型有待進(jìn)一步研究。

5.3考慮接觸表面形貌的運(yùn)動(dòng)副間隙建模

由于實(shí)際運(yùn)動(dòng)副接觸表面上有眾多的微凸峰，當(dāng)由微凸峰組成的兩表面相互接近時(shí)， 接觸僅僅發(fā)生在凸峰的頂部， 法向施加的壓力越大， 凸峰壓縮變形量越大， 接觸力越大。隨著磨損加劇， 微凸峰高度降低， 實(shí)際接觸面增大， 接觸剛度也相應(yīng)提高。Song 等［115］應(yīng)用全反射方法對(duì)界面的真實(shí)接觸面積進(jìn)行測(cè)量， 將激光器作為光源， 使用改進(jìn)后的Otsu 圖像處理方法對(duì)得到的圖像進(jìn)行處理， 發(fā)現(xiàn)在彈性變形范圍內(nèi)， 接觸面積增長(zhǎng)速率隨正壓力的增加而逐漸減??； 在相同正壓力的情況下， 加載速度越快， 界面真實(shí)接觸面積越??； 真實(shí)接觸面積與正壓力之間存在滯后現(xiàn)象； 粗糙表面之間的接觸存在一定的隨機(jī)性。Adams 等［116］和 Johnson［117］總結(jié)了粗糙表面間法向接觸力和切向干摩擦力的研究狀況。Aronov 等［118-119］、Soom 等［120］和 Adams［121］采用 Hertz 接觸力模型， 分別研究在粗糙表面上穩(wěn)定滑動(dòng)時(shí)法向隨機(jī)振動(dòng)和表面不平度引起的自激振動(dòng)。Kalker 等［122］研究存在摩擦和無(wú)摩擦條件下粗糙彈性表面的柔性接觸仿真模型。Bengisu 等［123］研究干摩擦力與接觸表面粗糙度的關(guān)系， 研究結(jié)果揭示了干摩擦力能引起接觸物體的黏滑（stick-slip）運(yùn)動(dòng)和自激振動(dòng)， 對(duì)于給定法向載荷， 切向摩擦力只與真實(shí)接觸面積在平均面上的切向和法向投影之比有關(guān)， 而與接觸面積大小無(wú)關(guān)。借鑒考慮表面形貌接觸問(wèn)題的研究成果， 建立考慮表面形貌的間隙模型對(duì)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)精細(xì)分析和動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)具有重要意義。

5.4考慮不確定參數(shù)的含間隙機(jī)械多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析及其運(yùn)動(dòng)精度評(píng)估

對(duì)于典型機(jī)械系統(tǒng)， 如果影響其工作性能指標(biāo)的因素與理想值發(fā)生了偏差， 但系統(tǒng)仍可運(yùn)行， 或其工作性能指標(biāo)仍在允許的范圍內(nèi)， 可認(rèn)為系統(tǒng)是穩(wěn)健的。機(jī)械系統(tǒng)性能的影響因素分為可控因素和不可控因素。對(duì)于典型的機(jī)械多體系統(tǒng)， 可控因素主要包括構(gòu)件尺寸及其誤差、運(yùn)動(dòng)副間隙大小及其誤差以及系統(tǒng)安裝調(diào)試誤差。不可控因素包括間隙所引起的碰撞、摩擦等。由于構(gòu)件制造精度、不可避免的裝配誤差、相對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件間必不可少的運(yùn)動(dòng)副間隙、構(gòu)件的彈性變形及輸入運(yùn)動(dòng)誤差等因素的影響， 使得機(jī)構(gòu)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)不同于（甚至嚴(yán)重偏離）其設(shè)計(jì)預(yù)定的理想運(yùn)動(dòng)。Deck 等［124］實(shí)驗(yàn)研究表明，無(wú)論如何調(diào)節(jié)幾何參數(shù)和系統(tǒng)初始狀態(tài)， 實(shí)驗(yàn)結(jié)果仍具有不確定性， 機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)行為對(duì)初始狀態(tài)和系統(tǒng)參數(shù)極度敏感， 這也是含間隙機(jī)構(gòu)的內(nèi)在本質(zhì)。機(jī)械系統(tǒng)工作環(huán)境是時(shí)變的， 例如， 航天太陽(yáng)電池陣和空間機(jī)械臂在軌運(yùn)行的冷熱交變環(huán)境變化以及各種干擾對(duì)運(yùn)動(dòng)副及系統(tǒng)具有較大影響［70-71，125-127］。隨機(jī)干擾因素會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)誤差， 所以必需用概率統(tǒng)計(jì)理論和隨機(jī)過(guò)程理論對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行分析。Yan 等［76］基于連續(xù)接觸力模型， 建立了含間隙四連桿機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程， 針對(duì)桿長(zhǎng)誤差、間隙誤差及構(gòu)件變形的影響， 利用Monte Carlo 方法， 對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行概率分析， 分別采用偏差分布圖和最大偏差分布圖表征機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出位置偏差的分布規(guī)律和輸出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能出現(xiàn)的最大偏差的分布情況。目前， 從概率統(tǒng)計(jì)的角度對(duì)含間隙機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行相關(guān)分析的研究較少， 還需進(jìn)一步開展機(jī)械系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)偏差的概率分析工作， 這對(duì)提高機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度具有重要意義。

5.5運(yùn)動(dòng)副間隙設(shè)計(jì)

合理的運(yùn)動(dòng)副間隙設(shè)計(jì)是降低間隙對(duì)機(jī)械系統(tǒng)特性影響的有效方法之一。研究表明: 減小間隙尺寸有助于降低含間隙運(yùn)動(dòng)副中的碰撞力［18，75，128］、減小磨損量［94］和降低系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜度［114］。因此，從動(dòng)力學(xué)分析角度， 間隙越小越好。間隙設(shè)計(jì)不能僅考慮動(dòng)力學(xué)問(wèn)題， 還需考慮機(jī)械設(shè)計(jì)、表面與界面設(shè)計(jì)、制造工藝水平以及環(huán)境溫度變化、工作載荷等因素的影響。運(yùn)動(dòng)副間隙主要由選取的公差配合確定， 例如， 對(duì)于名義直徑尺寸為100 mm的旋轉(zhuǎn)副， 選取H8/f7配合， 其軸與孔的尺寸差異（即間隙大?。?6～125μm； 在需要滑動(dòng)配合時(shí)， 選取H7/g6配合， 其軸與孔的尺寸差異為12～69μm。因此， 公差配合要求越高， 運(yùn)動(dòng)副兩副元素間的間隙越??； 反之， 運(yùn)動(dòng)副兩副元素間的間隙越大。運(yùn)動(dòng)

副要求有足夠的間隙以保證副元素間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)間隙較小時(shí)， 運(yùn)動(dòng)副不容易裝配， 尤其在副元素的軸線相對(duì)有誤差的情況下， 裝配可能出現(xiàn)困難，甚至形成過(guò)盈配合， 導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)副失效。當(dāng)間隙較大時(shí)， 運(yùn)動(dòng)副可輕易裝入， 但此時(shí)副元素的軸線在機(jī)構(gòu)運(yùn)行的過(guò)程中必然會(huì)發(fā)生不重合或不平行， 使得機(jī)構(gòu)在工作過(guò)程中會(huì)發(fā)生副元素碰撞， 動(dòng)力學(xué)性能下降， 加速接觸表面的磨損。在一般的機(jī)械設(shè)計(jì)中，確定運(yùn)動(dòng)副公差配合時(shí)， 需考慮以下因素: 尺寸公差、位置公差、形狀公差和表面粗糙度。這些要素之間的大小關(guān)系應(yīng)為: 尺寸公差＞形位公差＞表面粗糙度。這是由于形位精度也包含尺寸精度， 若形位精度的值比尺寸精度的值大， 則會(huì)導(dǎo)致尺寸精度無(wú)法測(cè)量， 使得尺寸精度失去意義。同樣， 若表面粗糙度的值比尺寸精度和形位精度的值大， 則會(huì)將二者“掩蓋”， 亦無(wú)法測(cè)量。因此， 考慮間隙對(duì)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響時(shí)， 如何設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)副的間隙配合也是值得深入研究的課題。

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Advances in Modeling of Clearance Joints and Dynamics of Mechanical Systems with Clearances

YAN Shaoze1，?， XIANG Wuweikai1， HUANG Tieqiu2

1. State Key Laboratory of Tribology， Department of Mechanical Engineering， Tsinghua University， Beijing 100084； 2. School of Mechanical，Electronic and Control Engineering， Beijing Jiaotong University， Beijing 100044； ? E-mail: yansz@tsinghua.edu.cn

Recent developments in modeling of clearance joints and dynamics of mechanical systems with clearances are reviewed. Different modeling approaches for clearance joints are summarized firstly， which comprise the massless link approach， the non-smooth dynamics approach， the contact force approach and the 3D revolute joint approach. Then， applications of these approaches in the study of the nonlinear dynamics， and performance and reliability evaluation of the mechanical systems with clearances are systematically reviewed. Finally， the key problems and priorities which need to be further studied are proposed， including the modeling of clearace joints considering stick-slip phenomenon， contact surface profile and conformal contact condition， the dynamic analysis and kinematic accuracy evaluation of mechanical systems with both clearances and uncertainties，and the design for clearance joints.

clearance joint； impact； friction； dynamics； performance evaluation

X123

10.13209/j.0479-8023.2016.094

國(guó)家自然科學(xué)基金（11272171）和高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（20120002110070）資助

2016-06-04；

2016-07-06； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-12