高中數(shù)學(xué)人教A版教材算例的MATLAB對(duì)比實(shí)踐

一系列教育信息化政策文件表明，“數(shù)字校園”已逐漸過(guò)渡為“智慧校園”[1]．教學(xué)媒體的使用獲得了較好的認(rèn)可，例如，電子白板相比傳統(tǒng)黑板更加靈活，實(shí)物投影比學(xué)生板演更加高效，智學(xué)網(wǎng)組卷、閱卷、計(jì)分比傳統(tǒng)手工更節(jié)約時(shí)間[1]．

除此之外，數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用也是信息化教學(xué)中的一部分．相比于只能從教科書(shū)上看到一些現(xiàn)成的圖象，用軟件切實(shí)生成這些圖象就更容易引起學(xué)生的好奇心．早期由于技術(shù)的限制，一些優(yōu)美的函數(shù)圖象、立體幾何圖形使得學(xué)生只能停留于欣賞層面，但隨著科技的進(jìn)步，它們的生成被眾多教師所關(guān)注，尤其在探究動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)，軟件的可視化提高了教學(xué)效率[2]．

幾何畫(huà)板和GGB是目前初高中數(shù)學(xué)中的兩個(gè)常用軟件，內(nèi)存低、上手快，已被眾多教師沿用多年[3]．但筆者經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期使用發(fā)現(xiàn)，幾何畫(huà)板和GGB也有明顯的短板，如動(dòng)態(tài)顯示功能較弱、大數(shù)據(jù)處理不便等等．這些短板的存在，使得在處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)不得不另謀出路，一個(gè)大膽的建議就是，利用MATLAB做數(shù)學(xué)軟件的互補(bǔ)．汪丹等學(xué)者已對(duì)MATLAB在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值作出了相關(guān)敘述[4]，下文在此基礎(chǔ)上，對(duì)人教A版高中數(shù)學(xué)教材中的算例插圖做MATLAB繪制對(duì)比．

1 在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是貫穿初高中數(shù)學(xué)的一條主線，函數(shù)性質(zhì)更是體現(xiàn)了數(shù)與形的融合．如圖1，人教A版必修第一冊(cè)第87頁(yè)，明確指出用計(jì)算機(jī)繪制函數(shù)的圖象，并給出了以GGB繪制的3（）fxx=的圖象；指數(shù)函數(shù)中，第120頁(yè)給出了信息技術(shù)繪制的不同底數(shù)的圖象，如圖2．

教材中的插圖能直觀反映函數(shù)的性質(zhì)，較為簡(jiǎn)約．值得一提的是，這些圖象也有不足之處，首先并非軟件導(dǎo)出生成的png圖象，而是屬于某種截圖，分辨率不高、標(biāo)簽數(shù)字小、顏色單一，處理有些粗糙．其次，拖動(dòng)點(diǎn)A實(shí)現(xiàn)底數(shù)的變化與圖象集于一身，影響觀感，某些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)無(wú)法直接得到．這些不足源于GGB軟件本身，我們可以使用MATLAB繪制同樣的圖象，彌補(bǔ)這些不足，如圖3和圖4．

得益于MATLAB豐富的繪圖函數(shù)，代碼的交互方式使得圖象的生成更加鮮活、美觀．相比GGB和幾何畫(huà)板，在復(fù)雜函數(shù)圖象的繪制方面MATLAB有著更出色的表現(xiàn)，例如三角函數(shù)圖象、多變量函數(shù)圖象等，感興趣的讀者可以閱讀文獻(xiàn)5．

2 在立體幾何中的應(yīng)用

對(duì)于立體幾何的新授課，眾多一線教師有相同的感受，即如何把空間的東西具體化，實(shí)現(xiàn)“有形”的教學(xué)．目前，立體幾何的教學(xué)工具層出不窮，網(wǎng)上有成套的立體幾何教具（球棍模型），有框架式的，也有磁吸式的，這為立幾教學(xué)提供了方便，線面關(guān)系變得更直觀．當(dāng)遇到一些特殊問(wèn)題時(shí)，如球體內(nèi)部的“切、截”，框架模型已不可用，這時(shí)只能靠學(xué)生憑空想象，對(duì)空間感不好的同學(xué)大有挑戰(zhàn)．

為了克服或緩解這個(gè)問(wèn)題，教材對(duì)一些難以想象的立體圖形配了插圖，但有部分插圖仍然立體感不夠，給人一種很“平面”的感覺(jué)．例如，人教A版必修第二冊(cè)第118頁(yè)，在探究球的體積公式時(shí)，用“微元法”將球的表面分割成n個(gè)小網(wǎng)格，連接球心和小網(wǎng)格的頂點(diǎn)，整個(gè)球體被分割為n個(gè)“小錐體”，以眾多“小錐體”的體積之和作為整個(gè)球體的體積，教材中的插圖色調(diào)單一、立體感不夠，如圖5．

借助MATLAB的3Dmesh功能，可以增強(qiáng)球體內(nèi)部的空間感，球心、球面可在三維坐標(biāo)系中自由旋轉(zhuǎn)，以不同顏色區(qū)分球面坐標(biāo)值，渲染整個(gè)球體和“小錐體”的立體感，重新繪制后的圖象如圖6．

3 在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

在選擇性必修第三冊(cè)中，第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，這一章著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)據(jù)處理能力．

教材從第141頁(yè)至146頁(yè)完整的給出了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的處理案例，有問(wèn)題背景分析、建立統(tǒng)計(jì)模型、模型的應(yīng)用，并完整地給出了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的選題、要求及研究報(bào)告的參考形式．教材中對(duì)數(shù)據(jù)的處理，明確說(shuō)明使用了統(tǒng)計(jì)R軟件，對(duì)24個(gè)城市的相關(guān)數(shù)據(jù)（如表1）繪制散點(diǎn)圖、回歸直線，如圖7和圖8．R軟件雖有較好的數(shù)據(jù)處理能力，但教材中繪制的插圖并不美觀，坐標(biāo)軸數(shù)字小、線條粗細(xì)不均勻、顏色區(qū)分不明顯、英文結(jié)果未解讀，這些不足反映了教材雖重視了理論分析和數(shù)據(jù)處理，但是對(duì)圖象的生成略有粗糙．

基于矩陣運(yùn)算的MATLAB對(duì)大數(shù)據(jù)處理尤為出色，尤其是結(jié)果的可視化．用MATLAB對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)做一定程度的可視化模擬可激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高科技素養(yǎng)．以下用MATLAB重繪兩幅圖象，并做誤差分析，以改善數(shù)據(jù)結(jié)果的可視化和美觀程度，如圖9和圖10．

案例中24個(gè)汽車(chē)流量和PM2.5數(shù)據(jù)在散點(diǎn)圖呈正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為0.82003，t統(tǒng)計(jì)量的值為ｔ＝6.721gt;ｔ0.025（22）=2.074，表明回歸系數(shù)顯著不為0，決定系數(shù)R=0.6576，反應(yīng)了PM2.5濃度總變異的65.76%與汽車(chē)流量相關(guān)，一元線性回歸方程為?y=138.60x?99.69，預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差最小值為0.00343．

4 兼談MATLAB在高中數(shù)學(xué)信息化教學(xué)中的不足

4.1具有一定的硬件要求和學(xué)習(xí)成本

安裝MATLAB有一定的硬件要求．以MATLAB2019b為例，需要i5及以上處理器、8G及以上運(yùn)行內(nèi)存，并且最好配備SSD固態(tài)硬盤(pán)才能較為流暢的運(yùn)行．目前絕大多數(shù)高中課堂的電腦滿足不了這樣的配置要求，如運(yùn)行內(nèi)存不達(dá)標(biāo)等．除此之外，MATLAB的安裝不僅需要下載正版的安裝包（約8GB），還需涉及激活操作．

在使用過(guò)程中，MATLAB是以程序語(yǔ)言開(kāi)發(fā)的，雖然并不像C語(yǔ)言、Java那樣復(fù)雜，但需要設(shè)計(jì)者具有一定的編程基礎(chǔ)．因此，想要使用MATLAB輔助教學(xué)是有一定學(xué)習(xí)成本的，據(jù)筆者調(diào)查，目前初高中使用MATLAB并不多見(jiàn)，會(huì)用的也僅限于在教學(xué)研究中做一些數(shù)據(jù)的處理和繪圖工作．

4.2 教學(xué)封裝性不強(qiáng)，交互界面設(shè)計(jì)不完善

MATLAB程序只能在MATLAB環(huán)境下才能運(yùn)行，通俗的講，就是想在一臺(tái)機(jī)器上運(yùn)行編好的程序，那么必須得在這臺(tái)機(jī)器上安裝MATLAB才能使用．與編譯性語(yǔ)言不同，MATLAB無(wú)法做到將設(shè)計(jì)好的程序語(yǔ)言封裝成可執(zhí)行文件，因此，一些精心設(shè)計(jì)的課件程序?qū)o(wú)法直接共享．雖然目前MATLAB推出了各種程序之間的接口工具箱，包括一些硬件之間的接口工具箱，如Data Acquisition Toolbox，Image Acquisition Toolbox等，但因它本身編程語(yǔ)言離機(jī)器底層較遠(yuǎn)，難以解決根本問(wèn)題．

此外，MATLAB的交互界面并不完全契合高中數(shù)學(xué)教學(xué)．教師使用MATLAB難以隱藏編程界面，代碼和繪圖只能同步顯示，并不像GGB、幾何畫(huà)板那樣“所見(jiàn)即所得”，因此MATLAB更多應(yīng)用于科研而非教學(xué)．

5 結(jié)語(yǔ)

科技飛速發(fā)展的今天，教育信息化已是必然趨勢(shì)，教學(xué)軟件也在經(jīng)歷不斷更新和嘗試，雖然MATLAB在高中數(shù)學(xué)中有明顯的短板，但不可否認(rèn)的是，它在繪圖和數(shù)據(jù)處理上有出色的表現(xiàn)．利用MATLAB可對(duì)教材中的部分插圖做同步實(shí)現(xiàn)，達(dá)到修正和完善的目的，這對(duì)教師教研和學(xué)生學(xué)習(xí)都有促進(jìn)作用．

參考文獻(xiàn)

[1]胡坤．基于智學(xué)教育大數(shù)據(jù)平臺(tái)的數(shù)學(xué)教與學(xué)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022，（01）：58-59，72

[2]火揚(yáng)藺，何麗萍．GeoGebra軟件與高中數(shù)學(xué)教學(xué)融合——構(gòu)建可視化高效課堂[J]．?dāng)?shù)學(xué)之友，2023，37（02）：74-76

[3]羅建宇．從融合到創(chuàng)新：基于GeoGebra的數(shù)學(xué)深度教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（02）：23-26

[4]汪丹．MATLAB輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用研究——以落實(shí)直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2023，（13）：35-36

[5]潘小峰，胡坤．基于MATLAB打造高中數(shù)學(xué)靈動(dòng)課堂[J]．?dāng)?shù)學(xué)之友，2022，36（20）：82-84

（本文系江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究2021年度立項(xiàng)課題“基于現(xiàn)代信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式創(chuàng)新研究”（編號(hào)2021-R-94387）和2022年度“姑蘇教育人才”項(xiàng)目“基于‘自研·共習(xí)·自求’的中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同發(fā)展路徑的實(shí)踐研究”（編號(hào)RCZZ202209）的階段性研究成果之一）