問題為導 思維為先 素養(yǎng)為核

問題是數(shù)學的心臟，思維是數(shù)學的靈魂，素養(yǎng)是數(shù)學的核心．本文以一道高考試題中的問題為引導，通過師生合作得到求解試題的通性通法．在此過程中，引導學生聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)試題蘊含的相關數(shù)學知識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，鼓勵學生運用在學習數(shù)學過程中積累的數(shù)學經(jīng)驗，對問題進行深入探究，探索出一般性觀念與方法，進而發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)．

1 問題呈現(xiàn)

（2011年高考湖北卷·理15）給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

由此推斷，當n=6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有________種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有________種．（結果用數(shù)值表示）

2 教學目標分析

（1）從“邏輯推理”來看，本題以圖形為依托，構造數(shù)列，通過觀察分析進行歸納推理或聯(lián)想，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題．隨著新課改的不斷深入，邏輯推理的考查逐漸成為新高考數(shù)學命題的亮點．因此，在教學活動中，應當把培養(yǎng)學生的邏輯推理能力列為明確的教學目標，同時輔助以相應的數(shù)學素材，使這個目標得到落實，讓邏輯推理能力的培養(yǎng)貫穿于教學的始終，使學生形成一種良好的邏輯推理的意識，在實踐中不斷提升學生邏輯推理的能力和水平，發(fā)展他們的數(shù)學思維水平和數(shù)學素養(yǎng)．

（2）從“計數(shù)角度”看，本題是與涂色問題有關的試題．“涂色”問題包含著豐富的數(shù)學思想，解決涂色問題的方法技巧性強且靈活多變，這類問題的解決有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力．

（3）新課程更加關注數(shù)學文化的內容和起源，關注數(shù)學文化中所蘊含的概念、方法、思想．讓數(shù)學文化走進課堂有重要的教育價值，不僅可以激發(fā)學生的學習興趣，啟迪學生的思維，而且可以幫助學生更好地理解數(shù)學．

2011年高考數(shù)學湖北卷理科第15題作為填空壓軸題，該題的命制正是以“四色定理”與“斐波那契數(shù)列”為背景，探究計數(shù)問題，考查學生數(shù)學綜合運用能力．通過考后反饋來看，這道題難度大，不僅考查學生靈活思維能力，對學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的要求也較高．

3 教學設計

環(huán)節(jié)1 創(chuàng)設情境，提出問題．

問題1 （2011年高考湖北卷·理15）如上．

設計意圖 解題不僅僅是為了解決數(shù)學題目本身，更是提升學生思維的直接手段．解題還是一種具有創(chuàng)新意識的創(chuàng)造性活動，一個數(shù)學問題解決的成功與失敗，最大的差異在于解題者所采取的解題策略．學生的發(fā)展有兩種水平，一種是學生的現(xiàn)有水平，一種是學生可能的發(fā)展水平，兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)．著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)，設計讓學生“看得見，跳起來，夠得著”的教學內容，從而調動學生的主觀能動性．

環(huán)節(jié)2 適度啟發(fā)，引發(fā)猜想．

數(shù)學猜想是探索數(shù)學本質時的一種認知策略，它是在已有知識儲備和認知經(jīng)驗的基礎上運用歸納推理手段獲得的一種假設．由于本題給出的是前4個圖形“涂色”的信息，要求出第6個圖形的涂色種數(shù)，自然的想法就是歸納前4個圖形的涂色種數(shù)，歸納猜想得到第6個圖形的涂色種數(shù)．

學生甲：假設圖中n個自上而下相連的正方形中黑色正方形互不相鄰的著色方案數(shù)為na，則通過歸納可以發(fā)現(xiàn)：1個正方形著黑色或白色的方案個數(shù)為a1=2；2個自上而下相連的正方形著互不相鄰的黑色的方案個數(shù)為a2=3=a1+1；3個自上而下相連的正方形著互不相鄰的黑色的方案個數(shù)為a3=5=a2+2；4個自上而下相連的正方形著互不相鄰的黑色的方案個數(shù)為a4=8=a3+3，……，由此猜想an+1=an+n，于是a5=a4+4=12，a6=a5+5=17，則黑色正方形互不相鄰的著色方案共有17種；由于每個小正方形都有黑、白兩種填法，所以6個小正方形共有26=64種填法，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有26-17=45種．

學生乙：與甲同學一樣，從n=1，2，3，4，可得a1=2，a2=3，a3=5，a4=8，觀察這個數(shù)列，發(fā)現(xiàn)：a3=a1+a2，a4=a2+a3，聯(lián)想到這幾項是著名的斐波那契數(shù)列的前幾項，于是a5=a3+a4=13，a6=a4+a5=21；同上可知，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有64-21=43種．

設計意圖 在探究過程中，教師要基于學生的已有知識和認知水平提出猜想性問題，鼓勵學生不斷聯(lián)系已有知識進行合理猜想，吸引學生的學習注意力．歸納推理從形式上看，是由部分到整體、個別到一般的推理，應用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結論．

環(huán)節(jié)3 問題引導，激發(fā)思維．

兩位學生的兩種歸納推理，所得到的結果卻大相徑庭，孰對孰錯呢？換個角度思考，還有沒有其它方法可以解決？從而激發(fā)學生深度思考．

學生丙：本題是涂色問題，聯(lián)想到與平時的計數(shù)問題有共同之處，屬于“不相鄰”的計數(shù)問題．因此可以將問題轉化為熟悉的“涂色”問題，應用“插空法”， 從“計數(shù)”角度考慮有幾種著色方案．從圖形信息看，由于黑色正方形互不相鄰，涂黑的小正方形個數(shù)可以是k=0，1，2，3．顯然，當k=0時，6個正方形全白只1種涂法；當k=1時，即只有一個正方形涂黑有6種涂法；當k=2時，在6個正方形中有兩個涂黑又互不相鄰，可采用插空法，先自上而下排好4個白色正方形，這樣形成5個空檔，任選兩個空檔插入2個黑色正方形有C25=10種方法；當k=3時，在6個正方形中有三個涂黑又互不相鄰，同樣用插空法，先自上而下排好3個白色正方形，這樣形成4個空檔，任選3個空檔插入3個黑色正方形有C34=4種插法．綜上可知，給6個自上而下相連的正方形著黑色或白色，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有N=1+C16+C25+C34=21種；由于每個小正方形都有黑、白兩種填法，所以6個小正方形共有26=64種填法，則至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有64?21=43種．

設計意圖 基于學生已有的數(shù)學活動經(jīng)驗，從學生最近發(fā)展區(qū)入手，利用計數(shù)原理和排列組合知識解決問題，是此類問題的通性通法．

環(huán)節(jié)4 揭示本質，加深理解．

從上面三位學生的結論來看，可以斷定甲同學的結論是錯誤的．但是，甲、乙兩位同學都運用了歸納推理，采用的方法簡潔迅速，體現(xiàn)了較高的數(shù)學素養(yǎng)．我們知道，運用不完全歸納法，從有限的幾項歸納出結論，僅僅是一種猜想，其正確性有待進一步的驗證和證明，那么如何證明呢？

師：根據(jù)丙的解法可得a7=1+C17+C26+C35+C44=34，a8=1+C18+C27+C36+C45=55，很明顯34，55仍然是斐波那契數(shù)列的項，所以乙同學猜想是正確的，即該圖形的涂色種數(shù)的規(guī)律滿足斐波那契數(shù)列．

實際上，只需要將n個自上而下相連的正方形著互不相鄰的黑色的個數(shù)na，按照以下兩類方法進行計算：一類是最上面的正方形都是白色正方形，這時剩下的n?1正方形的著色方案恰有an?1種；另一類是最上面的正方形都是黑色正方形，則其下面緊鄰的一層必須都是白色正方形，而這時剩下的n?2個正方形的著色方案恰有an?2種．從而，根據(jù)分類計數(shù)原理即可得到12（2）an=an-1+an（ngt;2），而這就是斐波那契數(shù)列的一個遞推關系．

上述“著色”的幾何圖案就是斐波那契數(shù)列的一個很好的直觀幾何模型，它也是2011年高考數(shù)學湖北卷第15題的來源之處．如果會意到斐波那契數(shù)列的這種直觀的幾何模型，不僅可以順利解決上述“著色”問題，而且可以更深刻地認識到斐波那契數(shù)列的本質．

設計意圖通過數(shù)學猜想能初步探究出“是什么”，但要深入數(shù)學本質，還需要解決“為什么這樣猜想”，只有解決好這兩個問題才能明確“為何這樣探究”．在經(jīng)歷了驗證猜想后，學生能初步明晰猜想的意義，但是，根據(jù)數(shù)學嚴謹性的特征，還須進行嚴格論證，讓學生真正“知其然，知其所以然”，深入理解數(shù)學的內涵和本質．

環(huán)節(jié)5 前后呼應，解決問題．

問題2（2024年新高考全國Ⅰ卷·8）已知函數(shù)為f（x）的定義域為R，f（x）gt;f（x-1）+f（x-2），且當xlt;3時，f（x）=x，則下列結論中一定正確的是（ ）

A．f（10）gt;100 B．f（20）gt;1000

C．f（10）lt;1000 D．f（20）lt;10000

簡析 由不等式f（x）gt;f（x-1）+f（x-2）的結構特征，聯(lián)想斐波那契數(shù)列，從斐波那契數(shù)列的角度解決問題．不妨設an=f（n），n∈N*，則a1=1，a2=2，angt;an-1+an-2（n≥3），由斐波那契數(shù)列可知，a3gt;3，…，a16gt;1597，…，則a20gt;1000，即f（20）gt;1000．故選B．

設計意圖 本題以函數(shù)不等式為載體，巧妙滲透斐波那契數(shù)列，研究f（10）與f（20）的上界和下界問題．該問題可以從函數(shù)視角，利用不等式逐一推導解決．若能透過表面現(xiàn)象，抓住條件本質，聯(lián)系斐波那契數(shù)列，則能更直觀地解決問題，但也增加了思考難度．本題旨在激發(fā)學生的靈活思維能力，以及對“融會貫通、學以致用”等綜合素養(yǎng)的引導．

本節(jié)課在問題1和問題2的解決過程中，運用了斐波那契數(shù)列知識，使問題得以直觀、簡潔、高效解決．這一過程可以讓學生體會到數(shù)學文化的魅力和價值．斐波那契數(shù)列涉及的知識極為廣博，通過探究斐波那契數(shù)列的通項公式，不僅讓學生感受到一般數(shù)列的研究觀念和視角，而且讓學生體會到數(shù)學知識之間的整體性、連貫性和延伸性，從而提高學生的學習能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力．

4.3 讓學生體驗數(shù)學基本經(jīng)驗的積累過程

波利亞在《怎樣解題》中指出：變化問題使我們引進了新的內容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們問題有關的元素接觸的新的可能性．這節(jié)課3個問題的設置，能讓學生始終處于主動探索的“興奮”狀態(tài)中，探索過程注重“學以致用、融會貫通”等遷移能力的綜合考量，學生在解決問題的過程中獲取知識、掌握技能、體會思想方法、積累活動經(jīng)驗，同時收獲成就感．

教師的“教”與學生的“學”是相輔相成的，在教與學的過程中應堅持問題為導、思維為先、素養(yǎng)為核的理念，讓學生在知識發(fā)現(xiàn)、探究、建構、內化過程中深刻理解問題的本質特征，發(fā)展數(shù)學思維，培育學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．

參考文獻

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[3][美]G．波利亞．怎樣解題——數(shù)學思維的新方法[M]．上海：上?？萍汲霭嫔?，2016

（本文系福建省教育科學規(guī)劃課題“基于混合式教學的高三數(shù)學復習課作業(yè)設計研究”（課題編號：Fjxczx23-154）的研究成果）