淺談一元一次含參方程的教學(xué)策略

1 引言

一元一次方程是初中生學(xué)習(xí)方程的開端，也是初中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分．在該章節(jié)的學(xué)習(xí)拓展中，常常遇到方程的特殊解問題，其中涉及含參方程、整數(shù)解問題、方程無窮多解及無解情況的討論．此類題型較有難度，常出現(xiàn)在該類知識(shí)點(diǎn)的壓軸題中．其中，一元一次含參方程問題的教學(xué)難度較大，學(xué)生難以理解，并且對于系數(shù)含參的方程需要對解進(jìn)行討論，容易忽略方程解的多樣性．

2 試題展現(xiàn)

已知a為常數(shù)，且無論k取何值，關(guān)于x的方程ak-2x=kx?4的解總是x=2，則a的值為___________．

試題主要表現(xiàn)為含參一元一次方程，其中若干字母為常數(shù)．有一個(gè)字母出現(xiàn)在未知數(shù)的系數(shù)中，且無論該字母取何值時(shí)，含參方程的解總是x=m．該類試題較多，筆者僅以當(dāng)前試題為例．

2.1 試題參考答案

把x=2代入方程ak-2x=kx?4，得到

ak-4=2k-4，（a-2）k=0.

因?yàn)閍為常數(shù)，且無論k取何值，關(guān)于x的方程ak-2x=kx?4的解總是x=2，所以a?2=0，解得a=2．

2.2 試題分析

（1）首先，筆者先對試題解法進(jìn)行分析，本題考查學(xué)生對一元一次方程解的理解，其中a為常數(shù)，且對于另一字母k無論取何值時(shí)，關(guān)于x的方程的解總是x=2，說明k的取值與方程的解無關(guān)．依據(jù)逆向思維，將方程的解x=2帶入原方程中，使得原方程成為一個(gè)含有a，k的等式．進(jìn)而，為避免k值對方程的影響，可想到將k消掉，在合并同類項(xiàng)之后，讓k乘以0，最終解得a=2．

（2）本題給出一個(gè)關(guān)于x的方程，并指出無論k取何值時(shí)，方程的解總是x=2．其中，“總是”二字表示以下2個(gè)意義：①該方程有解；②該方程解唯一，且始終都是x=2．但是在本題當(dāng)中，方程可通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得到（k+2）x=ak+4．此時(shí)，字母k出現(xiàn)于未知數(shù)x的系數(shù)當(dāng)中，當(dāng)k=?2時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為0·x=ak+4．方程為有無窮多解和無解兩種情況．依題意可得，該方程有解，即當(dāng)a=2時(shí)方程有無窮多解，這將與“方程的解總是x=2”提議并不相符，因此用“總是”二字表達(dá)該方程解的情況似乎存在“瑕疵”．

（3）人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)教參中對方程的概念介紹為“含有未知數(shù)的等式”，如若默認(rèn)該題的未知數(shù)x存在（即在合并同類項(xiàng)之后，未知數(shù)x的系數(shù)不為0），則需要限制k≠?2，這也與題目中的“無論k取何值”相矛盾．

2.3 試題修飾

經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，此類試題的主要矛盾點(diǎn)在于含參方程中的參數(shù)可能使得未知數(shù)系數(shù)為0，導(dǎo)致方程出現(xiàn)無解或無窮多解的情況，因此可通過對題目進(jìn)行修飾，仍舊不影響此類題型是一類好的題型．

（1）對k值的任意取值更改為有限條件下的任意取值．題目修改如下：

已知a為常數(shù)，且無論k取不為?2的任意數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程ak-2x=kx?4的解總是x=2，則a的值為 ________．

此方法直接對k值進(jìn)行限制，當(dāng)k≠?2時(shí)，也就保證了該方程的未知數(shù)系數(shù)不為0，避免了方程有無窮多解和無解的情況．

（2）將“總是”改為“總有”．題目修改如下：

修改如下：已知a為常數(shù)，且無論k取任意值時(shí)，關(guān)于x的方程ak-2x=kx?4的解總有x=2，則a的值為_______．

“總有”二字包含2層意義：①該方程有解，可能是唯一解，可能是無窮多解；②當(dāng)方程有唯一解，即x=2為方程的唯一解，當(dāng)方程有無窮多解時(shí)，其中包含x=2．用“總有”代替“總是”二字，可以更好地規(guī)避方程具有無窮多解時(shí)出現(xiàn)的矛盾．

3 一元一次含參方程的教學(xué)策略

筆者將以上試題展現(xiàn)給班級(jí)學(xué)生時(shí)，幾乎沒有學(xué)生能發(fā)現(xiàn)題目中的矛盾之處，即學(xué)生更加關(guān)注如何解題，但是很難從方程解的本質(zhì)去審視題目，這其實(shí)也說明學(xué)生對于方程解的多種情況并不了解，無法從更高的層面去看待試題和缺乏質(zhì)疑精神．

一元一次含參方程的類型總體而言可以歸類為兩種：（1）未知數(shù)系數(shù)不含參數(shù)；（2）未知數(shù)系數(shù)含有參數(shù)．

（1）對于未知數(shù)系數(shù)不含參數(shù)的含參方程，可通過解一元一次方程的一般步驟解決，即去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟解方程．因?yàn)樵诖诉^程中，未知數(shù)系數(shù)不含參數(shù)，因此不需要進(jìn)行分類討論．

（2）當(dāng)方程的未知數(shù)系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，難度則大大提高，主要在于系數(shù)中的參數(shù)可能導(dǎo)致未知數(shù)系數(shù)為0，進(jìn)而使得方程的解為無窮多個(gè)或是無解．即在合并同類項(xiàng)后不可輕易地將未知數(shù)系數(shù)化為1，要對可能的情況進(jìn)行分類討論．

3.1 牛刀小試，從一個(gè)參數(shù)開始

在學(xué)習(xí)完一元一次方程的概念和解方程的方法之后，學(xué)生已經(jīng)掌握了基本的解方程能力，但仍舊局限于普通的一元一次方程．此時(shí)，可以先在簡單的一元一次方程中加入一個(gè)參數(shù)，例如關(guān)于x的方程x+k=0，2x-6k=0．值得注意的是，此時(shí)添加的參數(shù)不在未知數(shù)的系數(shù)上．讓學(xué)生先感受含參方程與普通的一元一次方程其實(shí)并沒有什么不同，只不過是用一個(gè)字母來代替一個(gè)數(shù)字而已，建立充分的自信心．

3.2 由淺入深，逐步添加多個(gè)參數(shù)

邁出第一步之后，學(xué)生能夠熟練解決簡單的含參方程，再逐步將參數(shù)方程加入括號(hào)、分母等，例如關(guān)于x的一元一次方程2（2k-5+3x）=5x，2x/3=3k/4+2（k-x），經(jīng)過一個(gè)參數(shù)的熟悉之后，學(xué)生已經(jīng)能夠熟練地解出含參方程．此時(shí)，可將方程的參數(shù)增加至2個(gè)，例如2m-3n-3x=5x，-2x/3=n?（3x-m/4），鞏固學(xué)生解方程的能力．

在經(jīng)過以上的練習(xí)之后，學(xué)生已經(jīng)能夠熟練掌握一元一次含參方程（系數(shù)不含參）的解法，進(jìn)一步加強(qiáng)解方程中的化歸思想．

3.3 漸入佳境，系數(shù)含參增加難度

在學(xué)習(xí)完普通的一元一次方程和系數(shù)不含參方程后，學(xué)生容易進(jìn)入一個(gè)誤區(qū)：所有的方程都是有解的，并且這個(gè)解唯一．因此，在這里可以給學(xué)生準(zhǔn)備兩道無解和無窮多解的方程題目，讓學(xué)生嘗試解決．例如：

（1）2x/3-3=4+3x/2-5x/6．

注 該方程整理后化為0?x=42，即方程無解．

（2）2x/3-3=4+3x-14/2-5x/6．

注 該方程整理后化為0?x=0，即方程有無窮多解．

當(dāng)學(xué)生在解方程的過程中，可能會(huì)認(rèn)為老師給出的題目出錯(cuò)，與原有的“方程一定有解且唯一”的觀念產(chǎn)生沖突，此時(shí)便可以“生長”出新的知識(shí)，教師可向?qū)W生介紹方程有無窮多解和無解的兩種特殊情況．當(dāng)學(xué)生理解方程解的情況受未知數(shù)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)影響之后，便可讓學(xué)生嘗試解決系數(shù)含參的方程，例如：關(guān)于x的方程kx+3=5，kx+3=5?x，kx+m=5?x．此時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對未知數(shù)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的分類討論，做到不重復(fù)不遺漏，完整地表達(dá)方程解的多種情況．

3.4 回歸本質(zhì)，領(lǐng)悟精髓

在學(xué)習(xí)完解含參方程之后，學(xué)生對一元一次方程概念的理解更加深刻，熟練了化歸思想的應(yīng)用．在此次學(xué)習(xí)之后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在面對一元一次方程相關(guān)問題時(shí)注意：（1）該方程是否含有參數(shù)？（2）如果含有參數(shù)，未知數(shù)系數(shù)是否含有參數(shù)？（3）方程解的情況有哪些？進(jìn)而能夠從更高的角度去思考問題，幫助學(xué)生領(lǐng)悟解決一元一次方程問題的精髓所在．

4 結(jié)語

一元一次方程的未知數(shù)含參問題具有一定的難度，系數(shù)含參使得方程可能存在特殊解，這是教學(xué)的重難點(diǎn)，要求學(xué)生對方程概念和方程解的情況有更高的理解．學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程的相關(guān)知識(shí)，在七年級(jí)對一元一次方程的再學(xué)習(xí)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣固岣撸@是對已學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步加深，讓舊知識(shí)得到新的“生長”，幫助學(xué)生從更高的角度去審視一元一次方程問題，跳出問題看問題．同時(shí)，一元一次方程也是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)方程的開端，充分理解一元一次方程的相關(guān)概念能夠?yàn)楹罄m(xù)的二元一次方程、分式方程、一元二次方程打好基礎(chǔ)．

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