研發(fā)微專題課例，促進(jìn)學(xué)生學(xué)深悟透

［摘 要］ 微專題教學(xué)作為一類新課型，在復(fù)習(xí)課、習(xí)題課教學(xué)中被很多教師積極實(shí)踐. 這類課型大都是基于教學(xué)實(shí)際或?qū)W情反饋，選取一道經(jīng)典習(xí)題或某個(gè)基本圖形，基于變式設(shè)問(wèn)、拓展追問(wèn)的方式組織教學(xué)，結(jié)合學(xué)情特點(diǎn)，盡量采取開(kāi)放設(shè)問(wèn)、留白等待、鋪墊問(wèn)題等教學(xué)方式，幫助學(xué)生“學(xué)一題、會(huì)一類、通一片”，并教會(huì)學(xué)生“學(xué)會(huì)思考”.

［關(guān)鍵詞］ 微專題；圓；鋪墊問(wèn)題；變式教學(xué)；學(xué)會(huì)思考

最近一次九年級(jí)階段檢測(cè)中，我們選用了教材上一道圓的經(jīng)典習(xí)題，結(jié)果得分率遠(yuǎn)低于預(yù)期，為此備課組經(jīng)過(guò)集中研討，決定圍繞教材上圓的經(jīng)典習(xí)題開(kāi)展微專題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材上圓的經(jīng)典習(xí)題“學(xué)深悟透”. 筆者分工了一個(gè)圓的微專題課例研發(fā)任務(wù)，經(jīng)過(guò)深入構(gòu)思、變式拓展，形成一節(jié)圓的微專題課例，組內(nèi)教師一致認(rèn)為這節(jié)微專題課較好地體現(xiàn)了“源自課本、高于課本、指向中考”的設(shè)計(jì)理念，在實(shí)際教學(xué)中也取得較好的教學(xué)效果. 本文梳理該課教學(xué)設(shè)計(jì)，并圍繞微專題教學(xué)提出筆者的實(shí)踐與思考，提供研討.

圓的微專題教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)一：從課本題出發(fā)

問(wèn)題1：如圖1，☉O的直徑AB為10 cm，弦BC=8 cm，∠ACB的平分線交☉O于點(diǎn)D. 連接AD，BD.

（1）判斷△ABD的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）求四邊形ACBD的面積；

（3）用等式表示線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并用不同的方法進(jìn)行證明.

設(shè)計(jì)意圖與解法預(yù)設(shè) 第（1）問(wèn)對(duì)應(yīng)著課本題（求證△ABD是等腰直角三角形），屬于基礎(chǔ)熱身；第（2）問(wèn)有不同的算法，比如可以分別求出△ABC和△ABD面積，再相加得出四邊形ADBC的面積，也可考慮（如圖2）過(guò)點(diǎn)D分別向AC，BC作垂線段DE，DF，將四邊形ADBC的面積轉(zhuǎn)化為求正方形DECF的面積（這里需要安排學(xué)生證明四邊形DECF是一個(gè)正方形）；第（3）問(wèn)，可以借助圖2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，正方形DECF中，對(duì)角線CD是其邊長(zhǎng)的倍，而正方形的邊長(zhǎng)等于（AC+BC），進(jìn)而可求得CD=AC+BC.

教學(xué)環(huán)節(jié)二：能力提升

問(wèn)題2：如圖3，AB是☉O的直徑，AC是☉O的弦，∠ACB的平分線CE分別交AB于D，交☉O于E，連接EA，EB.

（1）設(shè)EA=m，EC=n，試用含m，n的代數(shù)式表示△ABC的周長(zhǎng)；

（2）試探求：當(dāng)邊AC，BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，+的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)不變的值；若變化，試說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖與解法預(yù)設(shè) 第（1）問(wèn)可以看成是“問(wèn)題1”第（3）問(wèn)的運(yùn)用，將AC+BC轉(zhuǎn)化為CE，再將AB轉(zhuǎn)化為AE，可得△ABC的周長(zhǎng)為（m+n）. 第（2）問(wèn)的兩個(gè)線段比值之和的探究，可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造兩條垂線段（如圖4），將兩個(gè)線段之比分別轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的“+”，借助相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比相等，+=+=1，再結(jié)合CD=DG=DH，可得+的值為定值.

教學(xué)環(huán)節(jié)三：拓展挑戰(zhàn)

問(wèn)題3：如圖5，銳角三角形ABC的∠A的平分線交BC于L，又交三角形的外接圓于N. 過(guò)L分別作AB和AC邊的垂線LK和LM，垂足是K，M. 判斷四邊形AKNM的面積與△ABC的面積是否相等. 如果相等，說(shuō)明理由；如果不相等，舉出反例.

設(shè)計(jì)意圖與解法預(yù)設(shè) 考慮到三角形面積公式與底邊和高有關(guān)，結(jié)合題設(shè)“角平分線”，如圖6，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AB，NH⊥AC，垂足分別為G，H，連接NC，可以證得△NCH≌△NBG，進(jìn)而得到AH=AG=（AC+AB），記LM=LK=h1，NG=NH=h2，于是△ABC的面積可以表示為（AC+AB）·h1，即S△ABC=AH·h1. 四邊形AKNM的面積可以用2S△AMN表示，所以S四邊形AKNM=AM·h2，接下來(lái)只要溝通這兩個(gè)表達(dá)式“AH·h1”和“AM·h2”相等即可，由CM∥NH，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可貫通思路.

教學(xué)環(huán)節(jié)四：回顧小結(jié)

小結(jié)問(wèn)題1：本課是從一個(gè)圓的教材習(xí)題出發(fā)，變式、拓展出一些較難問(wèn)題，你對(duì)其中哪道問(wèn)題留下了較深的印象？說(shuō)說(shuō)你是如何理解的.

小結(jié)問(wèn)題2：圍繞這道圓的經(jīng)典習(xí)題，你還能提出怎樣的問(wèn)題？可先在小組交流，然后全班匯報(bào)展示.

作業(yè)：如圖7，AB為☉O的直徑，∠ACB的平分線交☉O于點(diǎn)D. 連接AD，BD. 作∠ABC的角平分線BI，交CD于點(diǎn)I.

（1）補(bǔ)全圖形，求證：DI=BD；

（2）設(shè)AB=2r，分析CI的最大值（用含r的式子表示）.

解法預(yù)設(shè) 這里第（1）問(wèn)也源自一道教材習(xí)題，關(guān)鍵步驟是證明∠DIB=∠DBI，可利用三角形外角性質(zhì)得出∠DIB=∠ICB+∠IBC，而∠DBI=∠DBO+OBI，再結(jié)合∠DBO=∠ICB=45°，∠ABI=∠CBI可以連通思路. 第（2）問(wèn)是對(duì)第（1）問(wèn)的“再深入”，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)I在以點(diǎn)D為圓心、DI為半徑的一段圓弧上，如圖8，當(dāng)DC′經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，此時(shí)C′I′取得最大，即CI的最大值為（2-）r.

關(guān)于微專題教學(xué)的實(shí)踐與思考

第一，預(yù)設(shè)開(kāi)放問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生提出問(wèn)題

寧連華教授及其團(tuán)隊(duì)在文［1］中指出“教師在備課時(shí)應(yīng)根據(jù)課型、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況等因素對(duì)課堂留白進(jìn)行預(yù)設(shè)”.事實(shí)上，重視預(yù)設(shè)開(kāi)放問(wèn)題也是課堂留白的一種設(shè)問(wèn)追求. 在上文課例中，我們?cè)凇皢?wèn)題1”第（1）、（3）問(wèn)，“問(wèn)題2”第（2）問(wèn)以及“問(wèn)題3”中都沒(méi)有使用“封閉式設(shè)問(wèn)”，而是以開(kāi)放式的“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”為呈現(xiàn)方式，這樣的設(shè)問(wèn)方式也是促進(jìn)學(xué)生善于提出問(wèn)題的學(xué)法指導(dǎo). 考慮到解題教學(xué)的效率與學(xué)情關(guān)系密切，如果學(xué)情較好，我們?cè)谡n堂小結(jié)階段還安排了更加開(kāi)放的問(wèn)題，讓學(xué)生圍繞圓的基本圖形自主提出問(wèn)題并研究解題思路.

第二，預(yù)設(shè)鋪墊問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)思考

涂榮豹教授指出：“數(shù)學(xué)解題教學(xué)的任務(wù)，學(xué)生的主要任務(wù)并不是解題，而是‘學(xué)解題’. 并且通過(guò)學(xué)解題‘教學(xué)生學(xué)會(huì)思考’.”［2］以上文關(guān)注的圓的微專題教學(xué)為例，我們從一道教材經(jīng)典習(xí)題出發(fā)，通過(guò)變式拓展，以三個(gè)“主問(wèn)題”層層遞進(jìn)，在前兩個(gè)“問(wèn)題組”內(nèi)部，設(shè)置了鋪墊式問(wèn)題，以幫助學(xué)生在這些鋪墊問(wèn)題的引導(dǎo)下，自主獲得后續(xù)問(wèn)題的解題思路. 這樣的設(shè)計(jì)立意，不但促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)解一類圓的經(jīng)典題組，同時(shí)也是促進(jìn)學(xué)生“學(xué)會(huì)思考”. 具體來(lái)說(shuō)，就是要讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)解答圓的系列習(xí)題，掌握如何分析較難問(wèn)題，比如先回到題設(shè)想清能得到哪些信息，由題設(shè)中給出的一些基本圖形想到哪些重要定理或性質(zhì)，并圍繞解題目標(biāo)（求解方向）嘗試轉(zhuǎn)化、貫通思路.

第三，預(yù)設(shè)變式問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生學(xué)深悟透

解題教學(xué)中重視變式教學(xué)是很多教師的自覺(jué)追求，這在微專題課例研發(fā)中也是非常必要的. 比如，微專題教學(xué)選定某個(gè)主題或某個(gè)基本圖形之后，各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)、系列問(wèn)題都要圍繞主題進(jìn)行變式設(shè)問(wèn)，切不可離開(kāi)主題或偏離基本圖形“太遠(yuǎn)”，否則會(huì)影響教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，也會(huì)使得全課教學(xué)的“內(nèi)容效度”不高. 只有精準(zhǔn)選題、恰當(dāng)變式、融入微專題的教學(xué)主線，才能促進(jìn)學(xué)生將一類問(wèn)題學(xué)深悟透，達(dá)到深刻理解的程度. 順便指出，就微專題課例研發(fā)的不同類型來(lái)看，“一圖一課”“一題一課”等，都是基于變式教學(xué)的處置方式，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)一個(gè)圖形、一個(gè)主問(wèn)題的豐富變式或拓展方向深度思考，以達(dá)到“做一題、會(huì)一類、通一片”的深度學(xué)習(xí)效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］蔡甜甜，劉國(guó)祥，寧連華. 數(shù)學(xué)課堂留白藝術(shù)的理論探析與實(shí)踐反思［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，12（6）：29-32.

［2］涂榮豹. 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建：教學(xué)生學(xué)會(huì)思考［M］. 北京：科學(xué)出版社，2018.