一題可破萬題山，變式指導(dǎo)破萬難

［摘 要］ 二次函數(shù)最值問題專題教學(xué)時(shí)，建議采用變式探究的方式，深度分析母題，再結(jié)合考點(diǎn)進(jìn)行變式構(gòu)建. 教師要指導(dǎo)學(xué)生明晰問題特點(diǎn)，重點(diǎn)講解思路方法，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn). 研究者圍繞一道二次函數(shù)最值問題，開展變式教學(xué)探究.

［關(guān)鍵詞］ 二次函數(shù)；最值；解法

二次函數(shù)最值是初中數(shù)學(xué)重難點(diǎn)問題，該問題融合了二次函數(shù)、幾何、最值等知識(shí)內(nèi)容，探究突破需要解析圖像，構(gòu)建最值模型. 其中最值模型的構(gòu)建與分析轉(zhuǎn)化是難點(diǎn)，需要重點(diǎn)講解. 最值問題的構(gòu)建形式多樣，針對(duì)不同情形需要靈活使用方法，建議圍繞母題開展變式探究.

母題探究，基礎(chǔ)分析

問題：如圖1所示，已知拋物線過A（4，0），B（0，4），C（-2，0）三點(diǎn)，P是拋物線上一點(diǎn).

（1）試求拋物線的解析式.

（2）如圖2所示，若點(diǎn)P在直線AB的上方，作PF⊥AB，點(diǎn)F在線段AB上，求PF的最大值.

本題以拋物線為背景，設(shè)定了曲線上的四個(gè)點(diǎn)，已知點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo). 題設(shè)兩問，分別求解析式和線段最值，分步構(gòu)建即可.

（1）顯然利用三點(diǎn)坐標(biāo)很容易求出該拋物線的解析式，而教學(xué)的重點(diǎn)則是簡(jiǎn)化求解的方法，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注點(diǎn)A和C的位置（位于x軸上），可以直接將拋物線的解析式設(shè)為y=a（x-4）（x+2），后續(xù)直接將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可，即拋物線的解析式為y=-x2+x+4.

（2）該問設(shè)定了垂線段PF，求其最大值，屬于線段最值，教學(xué)時(shí)需要指導(dǎo)學(xué)生采用“化斜為直”的轉(zhuǎn)化技巧，具體過程如下.

過點(diǎn)P作PH平行于y軸，點(diǎn)H在AB上，如圖2中的虛線所示. 再引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的相似模型，根據(jù)角度可以推導(dǎo)出△PFH∽△AOB，顯然△PFH為等腰直角三角形. 從而可知，當(dāng)PH取最大值時(shí)，PF也取到最大值，且線段長(zhǎng)關(guān)系為PF=PH，則只需要研究PH的最大值即可.

其中點(diǎn)H所在直線的解析式為y=-x+4，點(diǎn)P在拋物線y=-x2+x+4上. PH的線段長(zhǎng)可以表示為yPH=-x2+2x=-（x-2）2+2，顯然當(dāng)x=2時(shí)，PH取得最大值2，此時(shí)PF為.

教學(xué)評(píng)析 上述第（2）問為核心之問，主要考查“化斜為直”求線段最值，即構(gòu)建一般線段PF與平行于y軸的線段PH之間的長(zhǎng)度關(guān)系，后續(xù)利用解析式來求最值. 整個(gè)過程中，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩點(diǎn)：一是如何構(gòu)建線段關(guān)系，可借助相似模型、全等模型；二是線段關(guān)系構(gòu)建后如何求最值，可結(jié)合解析式，也可關(guān)注特殊點(diǎn).

一題多變，最值探究

教學(xué)探究中，建議圍繞具體問題，采用一題多變的形式，指導(dǎo)學(xué)生逐步探究，即問題主體框架不變，對(duì)問題進(jìn)行條件設(shè)定，改變其結(jié)構(gòu)形式，講解破解方法. 下面針對(duì)母題，進(jìn)行最值問題多變探究.

1. 幾何模型構(gòu)造

問題：如圖3所示，若在第一象限的拋物線下方有一動(dòng)點(diǎn)D，滿足DA=OA，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)△ADE的內(nèi)心為I，試求BI的最小值.

教學(xué)指導(dǎo)：本題目中設(shè)定了動(dòng)點(diǎn)D，并構(gòu)建了△ADE，引出點(diǎn)I，求BI的最小值，實(shí)則問題為雙動(dòng)點(diǎn)線段最值. 其中D為主動(dòng)點(diǎn)，I為從動(dòng)點(diǎn). 教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生明晰解題的關(guān)鍵，即確定動(dòng)點(diǎn)I的軌跡.

指導(dǎo)時(shí)從基本條件入手，分析其中的線段、角度關(guān)系，整合條件. 分析易得△ADI≌△AOI（SAS），∠AID=∠AIO=135°，其中OA為定線段.

根據(jù)“定弦定角”隱圓模型，可確定點(diǎn)I在以O(shè)A為弦，所含的圓周角為135°的圓弧上. 可設(shè)該圓的圓心為F，連接FO，F(xiàn)A，∠OFA=90°，如圖3虛線所示. 從而可得r=AO=2，則BI≥BF-r=2-2，即BI的最小值為2-2.

教學(xué)評(píng)析 上述問題構(gòu)建主要考查“隱圓”模型構(gòu)建，整個(gè)過程分為兩個(gè)階段：第一階段，探尋動(dòng)點(diǎn)I的軌跡；第二階段，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定最值情形. 其中軌跡圓或圓弧的確定是解題的關(guān)鍵，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)隱圓確定的方法，如定弦定角、定點(diǎn)定長(zhǎng)、四點(diǎn)共圓、對(duì)角互補(bǔ)等.

2. 二次函數(shù)模型構(gòu)建

問題：如圖4所示，拋物線的對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，M是線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，N（n，0）為x軸上一點(diǎn)，且BM⊥NM.

（1）求n的變化范圍；

（2）當(dāng)n取最大值時(shí)，過點(diǎn)0

，的直線l經(jīng)過點(diǎn)N. 此時(shí)將直線l向上平移t個(gè)單位長(zhǎng)度，使線段l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍.

教學(xué)指導(dǎo)：本題引入了動(dòng)點(diǎn)M，設(shè)定了垂直關(guān)系，探究點(diǎn)N橫坐標(biāo)的最值. 需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注點(diǎn)N與點(diǎn)M的關(guān)系，整個(gè)問題解決的關(guān)鍵是構(gòu)建點(diǎn)N坐標(biāo)的函數(shù)模型. 在拋物線問題中，則需要結(jié)合幾何特性.

（1）點(diǎn)N與點(diǎn)M存在關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)M的坐標(biāo)入手，再結(jié)合幾何特性逐步推導(dǎo). 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m），再關(guān)注圖形中的直角三角形MNE，利用勾股定理構(gòu)造出關(guān)于n的函數(shù)模型，即NM 2+BM 2=BN 2，代入線段長(zhǎng)有（n-1）2+m2+1+（4-m）2=n2+42，整理可得n=m2-4m+1=（m-2）2-3，再結(jié)合位置關(guān)系有0≤m≤4.5，則-3≤n≤3.25.

（2）該問是關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)最值的平移問題，引導(dǎo)學(xué)生分兩步分析：第一步，分析平移后直線的位置情形；第二步通過交點(diǎn)情形來確定t的取值.

當(dāng)n取最大值時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為

，0，結(jié)合點(diǎn)0

，可確定直線l的解析式為y=-2x+. 設(shè)其平移后的解析式為y=-2x++t.

分析可知向上平移點(diǎn)N落到拋物線上時(shí)，剛好有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為

，

，則t=；繼續(xù)向上平移，只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，-2x++t=-x2+x+4，-x2+3x--t=0，由Δ=0可得t=2.

綜上可知，≤t<2.

教學(xué)評(píng)析 上述問題主要考查二次函數(shù)模型的構(gòu)建，問題涉及求取值范圍，實(shí)際上也可以理解為求最值. 與拋物線和直線位置相關(guān)的取值范圍問題，實(shí)則為分析交點(diǎn)位置的臨界點(diǎn)，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生理解該問題的本質(zhì). 二次函數(shù)模型構(gòu)建，通常有兩種方式：一是利用特殊幾何性質(zhì)，如勾股定理；二是點(diǎn)、線、面的代數(shù)特征，與相交相關(guān).

3. 加權(quán)線段構(gòu)建

問題：如圖5所示，若y軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，求AM+BM的最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo).

教學(xué)指導(dǎo)：本題目中設(shè)定動(dòng)點(diǎn)，求解AM+BM的最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)，可以理解為加權(quán)線段最值問題，解題的關(guān)鍵是處理BM，將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線段.

分析問題條件，顯然為胡不歸模型問題. 指導(dǎo)學(xué)生作MH⊥BC，垂足為H，結(jié)合條件可轉(zhuǎn)化為AM+BM=AM+MH≥AG，只需求解AG的長(zhǎng)即可.

對(duì)于AG長(zhǎng)計(jì)算，則有多種方法，教學(xué)中可以重點(diǎn)指導(dǎo)：一是采用等面積法，即AG==，再結(jié)合相似即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；二是利用三角函數(shù)知識(shí)，有tan∠BCO=2?=2?=，再結(jié)合三角函數(shù)可求點(diǎn)M坐標(biāo). AM+BM的最小值為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2）.

教學(xué)評(píng)析 加權(quán)線段最值問題較為特殊，需要轉(zhuǎn)化加權(quán)線段，再求最值. 上述利用了胡不歸模型來直接轉(zhuǎn)化，后續(xù)確定最值情形，整合為單一線段. 該類問題的教學(xué)，需要側(cè)重思路講解，引導(dǎo)學(xué)生掌握基本轉(zhuǎn)化策略，再深入講解破題細(xì)節(jié).

教學(xué)實(shí)踐，學(xué)習(xí)建議

上述圍繞一道拋物線最值問題展開變形探究，以常見的最值考查形式為基礎(chǔ)構(gòu)建，著重教學(xué)思路的分析和解題方法技巧的指導(dǎo). 下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提出幾點(diǎn)建議.

1. 專題教學(xué)，變式拓展

初中數(shù)學(xué)問題多樣，采用傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”無法顯著提升學(xué)生的解題能力，而應(yīng)側(cè)重專題教學(xué)探究. 圍繞一道問題，開展題型、解法探究. 專題探究需要注意兩點(diǎn)：一是精選母題，以常見的題型為基礎(chǔ)，條件簡(jiǎn)易，圖形簡(jiǎn)單，便于后續(xù)拓展構(gòu)建；二是全面整合問題類型，明確后續(xù)變式拓展方向，確保一題多變?nèi)采w.

2. 思路引導(dǎo)，技巧講解

變式拓展探究中，建議分環(huán)節(jié)開展，分析問題，引導(dǎo)思路，講解方法. 問題構(gòu)建后，不要急于指導(dǎo)學(xué)生解題，而應(yīng)分為三個(gè)環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)一，指導(dǎo)學(xué)生分析問題結(jié)構(gòu)，把握問題特征；環(huán)節(jié)二，整合條件信息，引導(dǎo)學(xué)生明晰解題思路；環(huán)節(jié)三，推理過程講解，重點(diǎn)指導(dǎo)解題方法. 通過解題三環(huán)節(jié)教學(xué)，讓學(xué)生理解問題本質(zhì)，掌握題型特點(diǎn)，總結(jié)方法技巧.

3. 思想滲透，素養(yǎng)提升

上述二次函數(shù)最值專題教學(xué)中，滲透了眾多的數(shù)學(xué)思想，整個(gè)解題過程在思想方法指導(dǎo)下來解題構(gòu)建，這些數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵所在，教學(xué)中需要重點(diǎn)講解. 以數(shù)形結(jié)合為例，教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生感悟方法內(nèi)涵，整合條件，理解圖像，借助圖像來挖掘隱含信息，即“由數(shù)示形”與“以形釋數(shù)”結(jié)合構(gòu)建. 化歸轉(zhuǎn)化教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生明晰“等價(jià)”的基準(zhǔn)，在此基礎(chǔ)上講解常見的轉(zhuǎn)化技巧.

寫在最后

一題可破萬題山，開展變式指導(dǎo)可使學(xué)生從根本上掌握類型題的解法. 實(shí)際教學(xué)中，要精選問題素材，圍繞考點(diǎn)合理變形，引導(dǎo)學(xué)生掌握分析方法，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn). 教學(xué)過程合理滲透思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).