關(guān)注本質(zhì)與素養(yǎng)，探究結(jié)構(gòu)及導(dǎo)向

［摘 要］ 教學(xué)二次函數(shù)綜合問題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的本質(zhì)，挖掘問題考查的核心素養(yǎng)，圍繞核心點(diǎn)探索. 研究者以一道二次函數(shù)綜合題為例，開展解題與教學(xué)探究.

［關(guān)鍵詞］ 本質(zhì)；素養(yǎng)；二次函數(shù)；構(gòu)建

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，涉及眾多的重難點(diǎn)知識(shí)，中考考查時(shí)常從綜合視角進(jìn)行，對(duì)學(xué)生的思維要求較高. 教學(xué)時(shí)，教師需要注意兩點(diǎn)：一是注意解析命題構(gòu)建，把握問題本質(zhì)；二是關(guān)注核心素養(yǎng)，提升學(xué)生綜合能力. 下面以一道二次函數(shù)綜合題為例，開展探究解析.

從實(shí)例探究說起

二次函數(shù)問題探究教學(xué)中，筆者建議教師選用代表性問題，不宜過偏過怪. 另外，該類問題常分為多個(gè)小問，建議選用條件獨(dú)立且相互關(guān)聯(lián)的問題. 下面筆者選用一道?？碱}，逐步探究解析.

1. 問題呈現(xiàn)

問題：拋物線y=ax2+b經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，-4），直線EC過E（4，-1），C（0，-3），點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，B間的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B），過P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接PC，PE.

（1）求拋物線與直線CE的解析式；

（2）求證：PC+PD為定值；

（3）若△PEC的面積為1，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

2. 思路分析

這是一道典型的二次函數(shù)綜合題，題設(shè)三問，涉及拋物線與三角形等知識(shí)內(nèi)容，可分步解析各小問，逐步構(gòu)建思路.

第一步：待定系數(shù)，求解析式

第（1）問為基礎(chǔ)問題，求解拋物線與直線CE的解析式，可采用待定系數(shù)法. 將A（4，0），B（0，-4）的坐標(biāo)代入y=ax2+b中，可得16a+b=0，

b=-4，解得

a=，

b=-4，所以拋物線的解析式為y=x2-4.

再設(shè)直線CE為y=mx+n，將點(diǎn)E（4，-1），C（0，-3）的坐標(biāo)代入y=mx+n中，可得4m+n=-1，

n=-3，解得

m=，

n=-3， 所以直線CE的解析式是y=x-3.

第二步：設(shè)定參數(shù)，求解定值

第（2）問是關(guān)于線段和定值的證明討論，屬于與線段相關(guān)的定值問題，其中點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，位置不確定，可以設(shè)定點(diǎn)位置參數(shù)，再構(gòu)建線段和，最終討論證明. 具體求解時(shí)，可結(jié)合問題條件繪制圖形，合理作圖構(gòu)建模型.

證明：設(shè)點(diǎn)Pt，

t2-4，0<t<4，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖1所示.

則PF=t，F(xiàn)C=

t2-4+3=

t2-1，PD=4-t2. 在Rt△PFC中，由勾股定理得PC===t2+1，所以PC+PD=

t2+1+

4-t2=5為定值.

第三步：分類討論，面積解析

第（3）問是關(guān)于三角形面積問題，設(shè)定面積值求解點(diǎn)坐標(biāo). 主要思路是構(gòu)建面積模型，轉(zhuǎn)化為與點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的方程，再推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo). 解析時(shí)我們需要關(guān)注點(diǎn)G和P的位置關(guān)系，分情形討論.

情形1：如圖2-（a），當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)P上方時(shí).

構(gòu)建△PEC的面積，則有S=×4×

x-3 -

x2-4 =-·（x-1）2+. 因?yàn)镾=1，則-（x-1）2+=1，解得x=1+，x=1-（負(fù)根舍去），所以y=（1+）2-4=-3，所以此時(shí)滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為

1+，

-3.

情形2：如圖2-（b），當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)P下方時(shí).

構(gòu)建△PEC的面積，則有S=×4×

x2-4 -

x-3 =·（x-1）2-，已知S=1，則（x-1）2-=1，解得x=1+，x=1-（負(fù)根舍去），所以y=×（1+）2-4=-2，所以此時(shí)滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為

1+，

-2.

綜上可知，滿足題意的點(diǎn)P有

1+，

-3，

1+

，-2.

3. 另解探究

對(duì)于其中的第（3）問，還可以采用不同的方法，提取其中的相似模型，轉(zhuǎn)化條件，無須分類討論，直接確定點(diǎn)P的位置.

如圖3，分別過點(diǎn)P，E作PF⊥CE，EH⊥y軸，垂足分別為F，H，PD交CE于點(diǎn)G.

在Rt△EHC中，EH=4，HC=2，則由勾股定理可得CE==2. S=1，則CE·PF=1，可解得PF=.

因?yàn)镻F⊥CE，PG⊥EH，可證△PFG∽△CHE，由相似性質(zhì)可得=，代入線段長可解得PG=，分析可知過點(diǎn)P與直線CE平行，且與直線CE距離為 的直線有兩條：y=x-或y=x-.

依題意得

y=x2-4，

y=

x-，解得x=1±（負(fù)根舍去），所以x=1+，y=-2，于是可求得此時(shí)的點(diǎn)P為

1+，

-2；

y=x2-4，

y=

x-， 可解得x=1±（負(fù)根舍去），所以x=1+，y=-3，于是可求得此時(shí)的點(diǎn)P為

1+，

-3.

綜上可知，滿足題意的點(diǎn)P有

1+，

-3，

1+

，-2.

命題構(gòu)建教學(xué)探究

上述對(duì)二次函數(shù)綜合題的解析思路進(jìn)行了具體分析，教學(xué)中教師還需引導(dǎo)學(xué)生探究命題構(gòu)建，把握解題方法，探究問題本質(zhì)，讓學(xué)生深入理解問題.

整體上來看，本題目為二次函數(shù)綜合題，融合了線段、三角形等幾何內(nèi)容，是函數(shù)與幾何的綜合，同時(shí)滲透考查數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，具有較高的研究價(jià)值. 題設(shè)三問，設(shè)置了難度梯度. 其中后兩問為核心之問，涉及線段定點(diǎn)、面積模型等. 解析時(shí)需要學(xué)生把握問題本質(zhì)，具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力.

關(guān)注上述解題過程，第（1）問求解解析式，重點(diǎn)考查待定系數(shù)法；第（2）問證明線段和定值，其中點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，屬于與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的定值問題，重點(diǎn)考查動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化、設(shè)參消參的方法技巧；第（3）問則是面積條件下的點(diǎn)坐標(biāo)問題，引入了三角形等知識(shí)內(nèi)容，滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程等思想.

函數(shù)與幾何知識(shí)綜合應(yīng)用是問題破解的關(guān)鍵，也是目前中考最為常見的命題考查方式，能夠綜合考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力. 教學(xué)探究中，教師要引導(dǎo)學(xué)生剖析問題類型，解讀函數(shù)知識(shí)，注重問題靜態(tài)與動(dòng)態(tài)之間的轉(zhuǎn)化分析. 通過講解思想方法、簡算技巧，提升學(xué)生的綜合能力.

核心素養(yǎng)考查導(dǎo)向剖析

二次函數(shù)綜合題實(shí)際上兼具考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也對(duì)其做了具體要求，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)需要重點(diǎn)關(guān)注.

1. 課標(biāo)要求解讀

二次函數(shù)內(nèi)容教學(xué)明確指出，關(guān)注其中的函數(shù)關(guān)系，合理討論其中的變量變化，掌握函數(shù)作圖的方法，理解解析式與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題. 顯然教師在教學(xué)時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際學(xué)習(xí)二次函數(shù)，深入探究二次函數(shù)的概念、圖形、性質(zhì)等. 中考試題命制也注重聯(lián)系實(shí)際，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與能力.

2. 核心素養(yǎng)解讀

“新課標(biāo)”也明確了要關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，二次函數(shù)的試題也更為回歸函數(shù)本質(zhì)，重視對(duì)模型思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，以及推理分析、化歸轉(zhuǎn)化、運(yùn)算等方面的考查. 這就要求教師在教學(xué)中，合理設(shè)計(jì)探究活動(dòng)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究過程，總結(jié)知識(shí)與方法. 例如在函數(shù)知識(shí)教學(xué)中，筆者建議按照“情境創(chuàng)設(shè)→模型建立→知識(shí)總結(jié)→應(yīng)用拓展”的流程來開展；在函數(shù)解題探究教學(xué)中，筆者建議按照“問題解讀→思路分析→過程解析→總結(jié)思考”的流程來開展. 在這樣的教學(xué)流程中，學(xué)生自主構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，分析函數(shù)模型，求解相關(guān)問題，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基于核心素養(yǎng)考查的示例分析

1. 示例呈現(xiàn)

示例：如圖4所示，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求△PBC周長取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M使得△ADM是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2. 命題分析

本題目整體上為函數(shù)與幾何的綜合，破解時(shí)需要運(yùn)用拋物線、三角形等知識(shí)，后兩問為核心之問.

第（2）問與三角形周長相結(jié)合，實(shí)則為最短距離問題，充分利用點(diǎn)A和B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的特性，即可求出答案.

第（3）問為直角三角形存在性問題，需要討論直角頂點(diǎn)，再結(jié)合勾股定理構(gòu)建方程求解. 整個(gè)過程滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程等思想，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力有一定要求.

該題目的三問層層深入，解析點(diǎn)坐標(biāo)與線段關(guān)系是破解的關(guān)鍵，求解時(shí)學(xué)生要把握問題本質(zhì)，充分提取模型，合理轉(zhuǎn)化問題.

3. 推理過程

教學(xué)中，教師要側(cè)重推理過程的思維引導(dǎo)，從問題出發(fā)，明確目標(biāo)，探索轉(zhuǎn)化策略. 下面主要講解后兩問的思維引導(dǎo)過程.

第（2）問求解△PBC周長取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，其中線段BC的長為定值.

第一步轉(zhuǎn)化：只需PB+PC最短，則△PBC周長最小.

第二步轉(zhuǎn)化：點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱，顯然為“將軍飲馬問題”，只需PA+PC最短即可，轉(zhuǎn)化為求AC的長. 直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即為滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo).

第（3）問是△ADM為直角三角形的存在性問題，未設(shè)定直角頂點(diǎn)，顯然存在三種情形，涉及分類討論思想.

分類討論：點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直角頂點(diǎn).

運(yùn)算求解：根據(jù)上述情形分別構(gòu)建幾何模型，借助勾股定理來建立方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

以A為直角頂點(diǎn)為例，建立圖5所示模型，設(shè)M（0，t），由勾股定理AM 2+AD 2=DM 2，代入線段長，有（0+3）2+（t-0）2+（0+2）2+（0+4）2=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，即此時(shí)M0，.

思想方法：上述解析過程涉及了數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想、模型思想、化歸轉(zhuǎn)化.

寫在最后

求解二次函數(shù)綜合問題時(shí)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生探索命題是如何構(gòu)建的，把握問題本質(zhì)，挖掘問題考查的核心素養(yǎng). 核心素養(yǎng)教學(xué)應(yīng)滲透于具體知識(shí)內(nèi)容與解題探究中，讓學(xué)生體驗(yàn)過程，逐步感悟.