經(jīng)歷“再創(chuàng)造”，生長“數(shù)學(xué)味”

［摘 要］ 數(shù)學(xué)學(xué)習應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程，從而在充分體驗下生長“數(shù)學(xué)味”，水到渠成地發(fā)展數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新精神.文章從“再創(chuàng)造”理論的內(nèi)涵談起，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)中的三角板”的復(fù)習課，聚焦“再創(chuàng)造”展開，提出培養(yǎng)學(xué)生“再創(chuàng)造”能力的數(shù)學(xué)課堂需以“再創(chuàng)造”理論搭建課堂框架，以“再創(chuàng)造”的活動催生“再創(chuàng)造”，以“發(fā)展為本”的教學(xué)理念實現(xiàn)“再創(chuàng)造”.

［關(guān)鍵詞］ 再創(chuàng)造；數(shù)學(xué)味；課堂教學(xué)

引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷個性化的、主動的學(xué)習過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新精神已然成為一線教師的共同愿景. 然而落實在具體教學(xué)中卻困難重重，我們常常會發(fā)現(xiàn)置身于數(shù)學(xué)課堂中學(xué)生“只聽不思、只學(xué)不問、只知不識”的現(xiàn)象，這樣的學(xué)習狀態(tài)足以引發(fā)我們的深思. 筆者認為，數(shù)學(xué)學(xué)習應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程，從而在充分體驗下生長“數(shù)學(xué)味”，水到渠成地發(fā)展數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新精神.

“再創(chuàng)造”理論的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教育需溝通生活實際，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生認識客觀現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的能力. 聚焦“再創(chuàng)造”理論的數(shù)學(xué)教學(xué)，首先，要摒棄傳統(tǒng)教學(xué)的灌輸式、一言堂以及死記硬背等方式，而應(yīng)以探究式、引導(dǎo)式教學(xué)貫穿課堂. 其次，“再創(chuàng)造”理論下的數(shù)學(xué)課堂要從數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)出發(fā)，為學(xué)生構(gòu)造“再創(chuàng)造”的時空，讓學(xué)生借助操作、推理、想象、類比、歸納、反思等方式自主獲取知識、感悟思想、積累經(jīng)驗、發(fā)展思維、提高素養(yǎng). 以什么作為突破口實施教學(xué)，可使學(xué)生真正經(jīng)歷“再創(chuàng)造”、生長“數(shù)學(xué)味”呢？現(xiàn)在結(jié)合“旋轉(zhuǎn)中的三角板”的復(fù)習課，聚焦“再創(chuàng)造”展開，談?wù)劰P者的教學(xué)實踐.

聚焦“再創(chuàng)造”的教學(xué)過程

1. 情境導(dǎo)入，激發(fā)“再創(chuàng)造”

教具準備：投影儀，一副三角板，三角形紙片（與三角板大小相同）等.

師：既然本節(jié)課是一節(jié)復(fù)習課，那就讓我們拋開課本，老師帶你們玩“旋轉(zhuǎn)中的三角板”，如何？三角板是我們學(xué)習數(shù)學(xué)的好助手，我們畫線段、量長度、畫特殊角、作平行線等都離不開三角板. 你們試過一副三角板的組合運用嗎？（學(xué)生紛紛搖頭）

師：看來玩過的同學(xué)不多，這樣的組合不僅好玩，還蘊含各種知識奧秘，下面就讓我們一起深入探索吧！

師：（先將含有45°的直角三角板舉起來）同學(xué)們看一看，這個三角板有什么特點？

生1：有一個90°的角，另外兩個角度是一樣的.

師：生1用簡潔的語言描述了角的本質(zhì)特征，很不錯！那這一塊呢？（舉起一塊含有30°角的直角三角板）

生2：這也是一個直角三角形，有一個角是90°，其余兩個銳角分別為30和60.

師：那現(xiàn)在角的度數(shù)呢？邊的長度呢？（旋轉(zhuǎn)該三角板，使得位置發(fā)生了變化）

生3：角的度數(shù)與邊的長度均沒有變化.

師：可見，旋轉(zhuǎn)一個圖形，其位置發(fā)生了改變，但角的度數(shù)與邊的長度不會改變.

評析 從數(shù)學(xué)現(xiàn)實著手創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境可以激發(fā)“再創(chuàng)造”的動機. 以弗賴登塔爾提出的現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育理論為基礎(chǔ)，可以看出現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育包括三種. 第一，學(xué)生通過教科書獲得知識；第二，以課標為基礎(chǔ)，提出教學(xué)需求和目標；第三，學(xué)生掌握新舊知識的前后聯(lián)系. 教師在設(shè)計教學(xué)時需溝通好這些客觀現(xiàn)實和知識體系來創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生“再創(chuàng)造”的動機，自然而然地培養(yǎng)學(xué)生“再創(chuàng)造”的能力. 課始，筆者以趣味性、新穎性的教學(xué)情境，為學(xué)生營造生機勃勃的學(xué)習氛圍，并以“這樣的組合不僅好玩，還蘊含各種知識奧秘”來激發(fā)學(xué)生的求知欲. 之后，再從學(xué)生的現(xiàn)實思維與知識著手拋出問題，引領(lǐng)學(xué)生快速入課. 這樣的導(dǎo)入，起點較低且十分生動，喚醒學(xué)生儲備的知識，為學(xué)生積極主動地探索和再創(chuàng)造“旋轉(zhuǎn)中的三角形”做好鋪墊.

2. 探究“旋轉(zhuǎn)”，經(jīng)歷“再創(chuàng)造”

探究1：將一副三角板按照如圖1所示的方式放置，兩直角頂點重合于點O，兩斜邊AB，CD相交于點P. 在這樣的情況下，同學(xué)們還能估算出其他角分別是多少度嗎？

學(xué)生活動：在開放性問題與探究活動的引導(dǎo)下，學(xué)生標字母、算角度、找答案，一氣呵成，極好地復(fù)習了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)與三角形內(nèi)外角的關(guān)系等舊知識，促進了數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建.

探究2：如圖2，先將含有30°角的Rt△COD固定住，再將含有45°角的Rt△AOB按順時針方向繞著點O旋轉(zhuǎn)，使得AO⊥CD，你能求出∠BOD和∠AOC的度數(shù)嗎？

學(xué)生活動：學(xué)生知道三角形旋轉(zhuǎn)，其內(nèi)角度數(shù)不會發(fā)生改變，得出∠BOD=120°，∠AOC=60°.

探究3：將含有45°角的Rt△AOB按順時針方向繞著點O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，AO正好過CD這條斜邊的中點，你能求出∠BOD和∠AOC的度數(shù)嗎？

學(xué)生活動：由于本題包含的定理“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”，多數(shù)學(xué)生已遺忘，因此解題存在些許困難. 但不少學(xué)生從前面的探究經(jīng)驗中獲得了感悟，并借助已知條件得出了結(jié)果.

探究4：通過探究2和探究3，試著猜想旋轉(zhuǎn)過程中∠BOD和∠AOC可能有哪些數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

學(xué)生活動：由于探究4是探究2和探究3問題的深化與變式，也是一個開放性問題，因此具有較大的挑戰(zhàn)性. 學(xué)生在深度思考、操作和探索后，啟動了腦海中的元認知，基于圖形旋轉(zhuǎn)的不變性，設(shè)∠AOD=α，得出∠BOD=90°+α，∠AOC=90°-α，最終相加得到∠BOD+∠AOC=180°.

探究5：根據(jù)以上問題，請試著設(shè)計變式問題.

學(xué)生活動：學(xué)生在深度研討后，實現(xiàn)了“再創(chuàng)造”，并得出以下變式. 將含有45°角的Rt△AOB繞著點O任意旋轉(zhuǎn)，使得∠BOD=105°，你能求出此時∠AOC的度數(shù)嗎？

實驗操作1：將含有45°角與含有30°角的直角三角板按如圖3所示的方式放置，將Rt△DMN（含有30°角的直角三角板）的直角頂點與Rt△ABC（含有45°角的直角三角板）的斜邊的中點D重合放在一起.

實驗操作2：如圖4，將Rt△DMN以順時針的方向繞點D旋轉(zhuǎn)，讓其直角邊分別與AB，AC相交于點E和點F.

（1）在旋轉(zhuǎn)期間，哪些線段的長度有變化，變化是如何進行的？

（2）猜一猜AE與CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說一說你是如何想的.

（3）通過實驗觀察，你能得出什么結(jié)論？把你的想法寫下來，作為小組交流作業(yè).

學(xué)生活動：對于學(xué)生最難理解的“圖形旋轉(zhuǎn)”問題，筆者通過設(shè)計動手操作的活動，引導(dǎo)學(xué)生在活動中“再創(chuàng)造”. 對于問題（3），學(xué)生經(jīng)過操作、猜想和交流，通過添加輔助線的方法即可得出各種各樣的結(jié)論，如AE=CF. 與此同時，學(xué)生在思考后，創(chuàng)意生成了如下操作變式. 如圖4，若Rt△DMN（含有30°角的直角三角板）以順時針的方向，繞著BC的中點D旋轉(zhuǎn)，其直角邊分別與BA，AC的延長線相交于點E，F(xiàn)，則CF=AE是否還成立？進一步地，學(xué)生借助前面問題的解決經(jīng)驗，思考得出，可以連接AD，通過“ASA”定理證明△ADE≌△CDF，繼而得證.

評析 在教學(xué)中，若想將學(xué)生的創(chuàng)造思維激發(fā)出來，除了要“帶動”學(xué)生原有的知識外，還要通過適當?shù)奶狳c，讓學(xué)生更好地感受濃郁的數(shù)學(xué)氣息，促進新知識的自然構(gòu)建. 猜想、操作是“再創(chuàng)造”的前提，這里也正是由于學(xué)生擁有了充足的操作時空，才能充分體驗到三角形旋轉(zhuǎn)過程中的變和不變，從而了解旋轉(zhuǎn)圖形中的“等”與“不等”之間的關(guān)系，以此深化學(xué)生對知識的理解與認識，同時促成原有三角形知識的重大突破，促進學(xué)生的個性發(fā)展.

3. 深入反思，鞏固“再創(chuàng)造”

問題1：回顧本節(jié)課的整個探究過程，我們經(jīng)歷了哪些數(shù)學(xué)知識的再探索，有什么收獲？

學(xué)生活動：①拿一副三角板作為道具，針對三角形的邊與角的關(guān)系展開復(fù)習； ②將三角形的旋轉(zhuǎn)作為研究內(nèi)容，分析旋轉(zhuǎn)過程中“等”與“不等”的關(guān)系；③在實踐操作與合作探究中掌握自主編題的技術(shù)，讓自身的“再創(chuàng)造”思維與能力得到發(fā)展.

問題2：除去前面探究的旋轉(zhuǎn)方法，你是否還有其他方法？

學(xué)生活動：學(xué)生再一次針對本題展開實驗操作，交換兩塊三角板的位置，即改變旋轉(zhuǎn)中心，如圖5，移動三角板，Rt△MDN（含有45°角的直角三角板）的直角頂點D與Rt△ABC（含有30°角的直角三角板）的斜邊BC上的垂足D重合，將Rt△MDN按照順時針方向，繞點D旋轉(zhuǎn)，其直角邊與AB，AC分別相交于點E，F(xiàn)，則∠AED與∠CFD之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？如果DE與DF之間存在著比例的關(guān)系，那么的值是多少？盡管此題是前面問題的變式，但前面問題是基于三角形全等的實際問題，而本題涉及的是三角形相似，顯然學(xué)生有這樣大的創(chuàng)造力確實十分喜人.

評析 再現(xiàn)教學(xué)過程，可以促成“再創(chuàng)造”的鞏固. 當然，再現(xiàn)和反思教學(xué)過程并非簡單地發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，更多的是需要在教師的引導(dǎo)下鞏固“再創(chuàng)造”，這里需要重點凸顯的是教師的引導(dǎo). 本課的實踐表明，給予學(xué)生充分的操作時空，學(xué)生能還課堂以精彩. 這一環(huán)節(jié)中，筆者以問題引發(fā)學(xué)生反思，以知道引導(dǎo)學(xué)生操作，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中鞏固“再創(chuàng)造”，最終由最原始的復(fù)現(xiàn)走向深度變式，讓學(xué)生的發(fā)散性思維能力以及二次創(chuàng)造能力得到有效提升. 就這樣，用意猶未盡的結(jié)尾為學(xué)生打造了無限的創(chuàng)造空間，使數(shù)學(xué)課堂久久彌漫著濃濃的“數(shù)學(xué)味”.

感悟與反思

1. 以“再創(chuàng)造”理論搭建課堂框架

縱觀本課的教學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)，整節(jié)課用弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”理論搭建課堂框架. 筆者基于數(shù)學(xué)知識的特質(zhì)，為學(xué)生打造“再創(chuàng)造”通道，引導(dǎo)學(xué)生在一系列探究活動中，獲取知識、感悟思想、培養(yǎng)思維、發(fā)展素養(yǎng). 首先，筆者從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實著手創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生自主自發(fā)地操作實踐，激發(fā)“再創(chuàng)造”的欲望；其次，筆者牢牢把握住每一次引導(dǎo)學(xué)生動手操作的時機，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中進行“再創(chuàng)造”，形成“數(shù)學(xué)化”的思想.

2. 以“再創(chuàng)造”的活動催生“再創(chuàng)造”

本節(jié)課中，筆者設(shè)計了多種形式的探究活動，一是通過簡單的模仿性活動，有效激活學(xué)生的“再創(chuàng)造”；二是通過變式操作活動，為學(xué)生的“再創(chuàng)造”提供通道；三是通過延伸操作問題，為學(xué)生提供“做數(shù)學(xué)”的通道，讓學(xué)生實現(xiàn)“再創(chuàng)造”. 正是有了這樣符合學(xué)生認知規(guī)律的循序漸進的活動，才能引導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度地觀察、探索和交流，有效操控“圖形的旋轉(zhuǎn)”，最終學(xué)會舉一反三，使“再創(chuàng)造”抵達學(xué)生的心靈深處.

3. 以“發(fā)展為本”的教學(xué)理念實現(xiàn)“再創(chuàng)造”

在素養(yǎng)本位的導(dǎo)向下，數(shù)學(xué)育人功能主要體現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生初具思想、創(chuàng)新精神、理性思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其中創(chuàng)新精神和理性思維應(yīng)作為數(shù)學(xué)活動設(shè)計的核心. 為此，教師在設(shè)計教學(xué)時需基于“發(fā)展為本”的教學(xué)理念，溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系，牢牢把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過一些具體探究活動引導(dǎo)學(xué)生步步深入思考與操作，讓學(xué)生在舉一反三中實現(xiàn)“再創(chuàng)造”，讓數(shù)學(xué)課堂散發(fā)濃郁的“數(shù)學(xué)味”.

總之，在教學(xué)中，教師要善于設(shè)計有效的活動，讓學(xué)生對知識的理解逐步走向深處，以促進學(xué)生理性思維和創(chuàng)新能力的發(fā)展；要引導(dǎo)學(xué)生展開有價值的思維活動，從而在獲得豐富的活動體驗的同時經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程，形成積極的情感態(tài)度，促進“數(shù)學(xué)味”的生長.