立足課堂編題 優(yōu)化復(fù)習(xí)教學(xué)

［摘 要］ 帶領(lǐng)學(xué)生在復(fù)習(xí)課中自主編題，可進(jìn)一步激活學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).文章以“全等三角形”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，立足于課堂編題活動(dòng)的開展，分別從“展示教具揭露主題、編題探索判定方法、總結(jié)提煉發(fā)展能力”三個(gè)維度展開研究.通過學(xué)生自主編擬、分析與解決問題來優(yōu)化數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，發(fā)展思維，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 復(fù)習(xí)；編題；教學(xué)

復(fù)習(xí)教學(xué)是對(duì)已學(xué)知識(shí)或方法的梳理與鞏固，對(duì)提升解題能力與數(shù)學(xué)思維具有重要意義.然而，當(dāng)前的復(fù)習(xí)教學(xué)，部分教師只關(guān)注“教”的過程，對(duì)于學(xué)生“學(xué)”的過程關(guān)注度還不夠，由此導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法真正厘清知識(shí)之間的聯(lián)系，難以構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).探索發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)課中自主編題，可進(jìn)一步激活學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中關(guān)于“全等三角形”的內(nèi)容，提出的教學(xué)要求為：理解全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角；掌握什么情況下兩個(gè)三角形全等；會(huì)用定理證明三角形全等［1］.該階段學(xué)生的幾何素養(yǎng)不高，雖然學(xué)生已經(jīng)在新授課中掌握了什么是全等三角形，能根據(jù)圖形判斷出全等關(guān)系，但對(duì)判定方法的掌握程度依然還不夠.為此，復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)教師除了幫助學(xué)生鞏固基本概念與基本性質(zhì)，還要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)判定方法的理解，讓學(xué)生經(jīng)歷自主畫圖探索的過程，有效提升幾何能力，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)夯實(shí)基礎(chǔ).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 展示教具揭露主題

教師展示常用的教具——等腰直角三角板，要求學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述該三角形邊角間具備怎樣的聯(lián)系.

在這個(gè)問題的引導(dǎo)下，學(xué)生很快提出該三角形有兩個(gè)底角相等，存在一個(gè)直角，其中有兩條邊也是相等的.如圖1，在文字語(yǔ)言的描述下，將問題抽象為數(shù)學(xué)條件：△ABC中，∠C=90°，BC=AC，∠A=∠B.

教師充分肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，并著重強(qiáng)調(diào)該三角形的類型，由此揭露本節(jié)課復(fù)習(xí)的主題為“全等三角形”.并要求學(xué)生結(jié)合自身已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，回顧全等三角形的性質(zhì)與判定方法.

學(xué)生自主回顧并總結(jié)，提出全等三角形的判定方法分別有如下五種：SAS，AAS，SSS，ASA，HL.

設(shè)計(jì)意圖 該階段學(xué)生對(duì)等腰三角形還處于一知半解的狀態(tài)，因此并不能理解等邊對(duì)等角與等角對(duì)等邊的性質(zhì)，借助三角板這個(gè)等腰直角三角形作為課堂導(dǎo)入的素材，帶領(lǐng)學(xué)生提煉出此類三角形所具備的基本條件，為本節(jié)課的復(fù)習(xí)教學(xué)奠定了基礎(chǔ). 同時(shí)，通過回顧全等三角形的判定方法，一方面揭露復(fù)習(xí)主題，另一方面為接下來的課堂教學(xué)做好鋪墊.

2. 編題探索判定方法

編題探索一

教師在課堂上展示一根戒尺與一個(gè)等腰直角三角板，讓學(xué)生感知這兩種常見的幾何圖形，并將戒尺上的一點(diǎn)置于三角板的直角頂點(diǎn)C上，保持接觸點(diǎn)不變的情況下任意旋轉(zhuǎn)戒尺，觀察戒尺與三角板之間存在怎樣的位置關(guān)系. 要求學(xué)生自主在草稿紙上畫出三角板ABC與戒尺NM的位置關(guān)系.

學(xué)生自主畫圖，教師巡視并點(diǎn)撥，從學(xué)生所畫圖形中選擇MN過線段AB的中點(diǎn)D（見圖2）的情況加以投影展示. 要求學(xué)生根據(jù)這幅圖自主編擬問題并解答.

生1：如果點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，那么就能通過SSS明確△ADC≌△BDC.

師：很好！根據(jù)“點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)”這個(gè)條件，還可以獲得什么結(jié)論？

生2：根據(jù)這個(gè)條件可以推斷出AD與DC之間為垂直的關(guān)系.

教師又提出：若將AD⊥DC視為本題的已知條件，可推導(dǎo)出什么新的結(jié)論嗎？

在這個(gè)問題的啟示下，學(xué)生很快得出“CD為∠ACB的角平分線”的猜想，具體證明過程略.

設(shè)計(jì)意圖 選擇MN與AB相交這一特殊情況加以探索的靈感源自等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，實(shí)物的展示與舊知的回顧拉近了學(xué)生與知識(shí)的距離，讓學(xué)生感知全等三角形判定定理并不復(fù)雜，這種相對(duì)簡(jiǎn)單的邊角關(guān)系能讓學(xué)生快速獲得其中的等量關(guān)系.當(dāng)然，隨著條件的轉(zhuǎn)化，問題也會(huì)發(fā)生改變，那么形成的問題則更豐富.

編題探索二

師：以上探索過程，我們選擇了一個(gè)非常特殊的情況，即直線與中線相重合的情況，接下來我們繼續(xù)旋轉(zhuǎn)戒尺，來探索MN旋轉(zhuǎn)到三角板外部之后的情況.如圖3，在增加兩個(gè)垂直條件的基礎(chǔ)上，我們來探索圖形間具有怎樣的聯(lián)系.

在教師的啟發(fā)下，學(xué)生很快就通過自主畫圖獲得了兩個(gè)全等三角形.在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生自主分析線段DE，BE，AD之間具有的關(guān)系.有學(xué)生很快就舉手表示，用直尺度量法，可發(fā)現(xiàn)DE=BE+AD.

教師對(duì)該生的探索方法給予肯定，并表示此為測(cè)量獲得的結(jié)論，屬于猜想類別，是否準(zhǔn)確還需加以證明，并要求學(xué)生自主證明該結(jié)論的正確性.

生3：根據(jù)同角的余角必然相等，獲得∠DCA=∠EBC，根據(jù)AAS可確定△EBC≌△DCA，由此可知CD=BE，CE=AD，所以DE=BE+AD.

師：非常好！現(xiàn)在我們繼續(xù)旋轉(zhuǎn)戒尺，讓MN落于△ABC的內(nèi)部，由此可獲得怎樣的結(jié)論？

對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生自主畫圖（見圖4）并分析，提出“DE=AD-BE”的結(jié)論.

以上探索過程可抽象為如下數(shù)學(xué)問題：已知△ABC中的AC，BC相等，∠ACB為直角，且AD，BE分別與直線MN垂直.請(qǐng)證明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；③DE=AD-BE.

設(shè)計(jì)意圖 通過實(shí)操活動(dòng)提煉數(shù)學(xué)問題，不僅促使學(xué)生掌握AAS判定定理，還促使學(xué)生從“K型圖”中轉(zhuǎn)化線段關(guān)系，由此對(duì)線段之間的和與差關(guān)系形成進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).

編題探索三

師：若將戒尺圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，又能編擬出怎樣的問題呢？首先來觀察MN落于△ABC內(nèi)部的情況，即戒尺為角平分線時(shí)，AB，AC，CD之間會(huì)有怎樣的關(guān)系？

生4：這三者之間的關(guān)系為AB=AC+CD.

師：能描述得更具體一些嗎？

生5：如圖5，當(dāng)AD為∠CAB的角平分線時(shí)，過點(diǎn)D作ED⊥AB，E為垂足，根據(jù)這些條件可求證AB=AC+CD.

師：還可以如何描述該輔助線？

生6：在線段AB上截取AE=AC，再將DE連接起來，此為截長(zhǎng)法；也可以將AC延長(zhǎng)至點(diǎn)F，令FA=AB，再將DF連接起來，此為補(bǔ)短法.

師：很好！這兩種方法的應(yīng)用，均為了借助輔助線分析線段之間和差關(guān)系問題，其中作垂線段屬于特殊的截長(zhǎng)法.那么此探索過程以數(shù)學(xué)形式編擬問題，該如何呈現(xiàn)？

生7：已知△ABC中的∠ACB為直角，AC=BC，AD為∠BAC的平分線，求證AB=AC+CD.

設(shè)計(jì)意圖 先猜想結(jié)論，而后再編題，有效降低了問題的難度，給學(xué)生的思維提供了明確的方向.這種教學(xué)方法，不僅讓學(xué)生能直接通過測(cè)量法獲得結(jié)論，還讓學(xué)生在解題過程中感知截長(zhǎng)法、補(bǔ)短法的實(shí)際應(yīng)用，明確截長(zhǎng)法包含了作垂線段.

編題探索四

如圖6，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生編擬出來的問題為：已知△ABC中，∠ACB為直角，AC=BC，BD=CD，求證：2AD<AB+AC.

設(shè)計(jì)意圖 該環(huán)節(jié)同樣是求證猜想結(jié)論的過程，受思維定式的影響，有些學(xué)生會(huì)考慮借助刻度尺來分析結(jié)論，殊不知，此類問題只要掌握“倍長(zhǎng)中線”的作法，就能借助補(bǔ)短法順利解決問題.

3. 總結(jié)提煉發(fā)展能力

教師要求學(xué)生基于整體的視角回顧本節(jié)課所編擬的幾道試題，提出判定三角形全等的條件有哪些，添加輔助線的方法有哪些，判定過程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法有哪些等問題.

學(xué)生基于宏觀的視域觀察發(fā)現(xiàn)，借助全等三角形這一性質(zhì)，不僅能直接獲得三角形角與線段之間存在的等量關(guān)系，還能挖掘出三角形線段之間的和差及不等關(guān)系.關(guān)于輔助線的添加，分別應(yīng)用到了平行線、截長(zhǎng)、補(bǔ)短等方法，尤其是作垂線段屬于一種特殊的截長(zhǎng)法，而最后所探索的“倍長(zhǎng)中線”則為特殊的補(bǔ)短法.本節(jié)課涉及特殊到一般、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生從編題、添加輔助線、數(shù)學(xué)思想方法等方面進(jìn)行梳理總結(jié)，不僅能夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，還能幫助學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而有效發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)思考

1. 以生為本是提高復(fù)習(xí)效率的基礎(chǔ)

新課標(biāo)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)課堂，一改傳統(tǒng)“滿堂灌”的模式，學(xué)生已然成為課堂真正的主人.因此，每一項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)的開展，均需體現(xiàn)出“生本”理念.本節(jié)課，教師將編題活動(dòng)貫穿教學(xué)的始終，整個(gè)過程都由學(xué)生自主完成，教師在必要時(shí)給予點(diǎn)撥，不僅凸顯了學(xué)生的地位，還有效提高了學(xué)生的復(fù)習(xí)效率，促使學(xué)生自主構(gòu)建了完整的知識(shí)體系.

2. 自主編題是提高復(fù)習(xí)效率的關(guān)鍵

由學(xué)生自主提出問題，再去分析與探索問題，不僅能激活學(xué)生的思維，還能讓學(xué)生在探索中感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，由此建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心. 本節(jié)課，在整體回顧的基礎(chǔ)上，教師循循善誘地引導(dǎo)學(xué)生自主編出五類問題，分別用不同的方法來解決這些問題，真正踐行了深度學(xué)習(xí)理念，令課堂充滿智慧與活力.當(dāng)然，自主編題并不是天馬行空地提出問題，而應(yīng)立足于教材，以教材為出發(fā)點(diǎn). 因?yàn)?，教材是教師教學(xué)的基本依據(jù)，是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的工具，更是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體［2］.

3. 創(chuàng)新意識(shí)是提高核心素養(yǎng)的根本

隨著社會(huì)的發(fā)展，各國(guó)之間人才的競(jìng)爭(zhēng)實(shí)則為創(chuàng)新能力的競(jìng)爭(zhēng)，創(chuàng)新意識(shí)是創(chuàng)新能力的萌芽階段，對(duì)學(xué)生個(gè)體的長(zhǎng)效發(fā)展具有重要意義.因此，創(chuàng)新意識(shí)的培育對(duì)發(fā)展核心素養(yǎng)具有不可忽視的作用.本節(jié)課，編題活動(dòng)的開展為“從無(wú)到有”的過程，從本質(zhì)上來說就是培育學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的過程.放手讓學(xué)生自主編題，成功激活了學(xué)生的創(chuàng)新思維，為揭露知識(shí)本質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

總之，復(fù)習(xí)教學(xué)中教師不僅要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步梳理知識(shí)脈絡(luò)，還要借助教學(xué)培育學(xué)生的反思習(xí)慣與創(chuàng)新意識(shí)，編題活動(dòng)是實(shí)現(xiàn)這一目的重要方法之一.教師需在核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)、自主探索，以挖掘?qū)W生的潛能，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的“育人”功能.

參考文獻(xiàn)：

［1］陳怡. 基于核心素養(yǎng)自主復(fù)習(xí)探究——“全等三角形的復(fù)習(xí)”教學(xué)實(shí)錄與反思［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（2）：46-48.

［2］王曉麗，于彬. “大概念、大單元”視角下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)案例——以“一次函數(shù)單元復(fù)習(xí)課”為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（7）：44-46.