APOS理論指導(dǎo)下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

［摘 要］ 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，概念教學(xué)的質(zhì)量直接關(guān)系著學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展和學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升. 研究者以“實(shí)數(shù)”概念教學(xué)為例，將APOS理論與實(shí)數(shù)概念教學(xué)相結(jié)合，通過經(jīng)歷“活動(dòng)—過程—對(duì)象—圖式”四個(gè)階段呈現(xiàn)概念的形成、展示與深化過程，在建構(gòu)與完善概念的過程中提升概念教學(xué)品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)概念教學(xué)；教學(xué)品質(zhì)；思維能力

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師容易忽視概念的形成和發(fā)展過程，使得學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)把握不清，影響學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升和數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展. 為了打破這一局面，基于APOS理論的概念教學(xué)應(yīng)運(yùn)而生. 基于APOS理論的概念教學(xué)倡導(dǎo)自主探究學(xué)習(xí)，以期通過自主探究喚醒已有知識(shí)和新知聯(lián)系，逐步完善學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生分析和解決問題的能力.

APOS理論概述

APOS理論將數(shù)學(xué)概念教學(xué)分為四個(gè)階段，分別為：活動(dòng)、過程、對(duì)象、圖式. 所謂“活動(dòng)”，指的是借助教學(xué)情境直觀感知概念的過程；所謂“過程”，指的是通過自主探究，提煉概念共同特征的過程；所謂“對(duì)象”，即抽象概念本質(zhì)屬性，形成概念的過程；所謂“圖式”，指的是溝通新知與舊知的聯(lián)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過程. 這樣通過經(jīng)歷以上四個(gè)階段的建構(gòu)，可以讓學(xué)生對(duì)概念形成更深刻、更系統(tǒng)的理解，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展與提升.

教學(xué)案例

在“實(shí)數(shù)”概念教學(xué)中，教師結(jié)合APOS理論四個(gè)階段的特征，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念抽象的全過程，實(shí)現(xiàn)APOS理論與實(shí)數(shù)教學(xué)的有效融合，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、樂于探究的學(xué)習(xí)品質(zhì)，提升概念教學(xué)質(zhì)量.

1. 活動(dòng)階段

該階段教師結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，以此化抽象為直觀，讓學(xué)生更好地走近新知，提升學(xué)生參與課堂的積極性. 在本課教學(xué)中，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生“動(dòng)手做”，讓學(xué)生在做的過程中感受新知.

課前準(zhǔn)備：兩張面積為1的正方形卡紙（要求：兩張卡紙顏色不同）；剪刀.

問題1 將兩張卡紙拼在一起，可以拼成什么圖形，圖形的面積是多少？請(qǐng)寫出關(guān)于面積的等式.

學(xué)生回答：可以拼成一個(gè)長方形，其面積為2，令兩張卡紙的面積分別為S，S，則長方形的面積為S+S=2.

追問1：若將兩個(gè)正方形拼成一個(gè)大的正方形，可以怎么拼（可以裁剪）.

師生活動(dòng)：在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生沿正方形的對(duì)角線將正方形卡紙平均分成兩份，得到四個(gè)面積相等的等腰三角形，從而拼出如圖1所示的正方形.

追問2：如圖1所示的正方形面積是多少？邊長是多少？

學(xué)生回答：正方形面積是2；邊長是.

追問3：到底有多大呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器計(jì)算.

追問4：根據(jù)計(jì)算結(jié)果，你認(rèn)為是一個(gè)怎樣的數(shù)呢？

學(xué)生回答：它是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù).

問題2 請(qǐng)利用計(jì)算器將如下各數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)：，-，，.

追問5：這些數(shù)是什么數(shù)？轉(zhuǎn)化為小數(shù)后呢？

學(xué)生回答：以上各數(shù)都是有理數(shù)，轉(zhuǎn)化后有的是有限小數(shù)，有的是無限循環(huán)小數(shù).

教學(xué)說明：從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手操作獲得無理數(shù)的直觀感. 教學(xué)中教師沒有直接給出無理數(shù)的概念，而是引導(dǎo)學(xué)生借助計(jì)算器計(jì)算的大小，發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生與有理數(shù)相類比，發(fā)現(xiàn)無理數(shù)均可以轉(zhuǎn)化為有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，由此引發(fā)認(rèn)知沖突，學(xué)生自然會(huì)形成這樣的困惑“到底是一個(gè)怎樣的數(shù)？”這樣通過經(jīng)歷如上探究活動(dòng)，使學(xué)生的情感態(tài)度發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)變，即由“要我學(xué)”向“我要學(xué)”轉(zhuǎn)變.

問題3 我們把，等這樣無限不循環(huán)小數(shù)稱之為無理數(shù). 說說無理數(shù)有何特征？

學(xué)生回答：無限不循環(huán)小數(shù).

問題4 無理數(shù)與有理數(shù)有何區(qū)別與聯(lián)系？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從性質(zhì)、結(jié)構(gòu)、范圍等方面進(jìn)行比較，進(jìn)一步理解無理數(shù).

教學(xué)說明：通過問題1和問題2的探究，學(xué)生對(duì)無理數(shù)已經(jīng)建立了初步感知，而借助問題3和問題4的探究可以進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)無理數(shù)概念的理解. 另外，在此過程中引導(dǎo)學(xué)生與有理數(shù)概念相類比，通過區(qū)別進(jìn)一步加深對(duì)無理數(shù)概念的理解，通過聯(lián)系自然引出實(shí)數(shù)的概念.

2. 過程階段

該階段是學(xué)生對(duì)活動(dòng)階段的深度思考過程，通過對(duì)現(xiàn)有問題的反復(fù)思考與實(shí)踐探究，提煉概念的共同特征. 該階段教師不妨以學(xué)生的已有認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)由淺入深，環(huán)環(huán)相扣的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過問題的解決知曉實(shí)數(shù)概念的特征，提高學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力.

問題5 你是否能夠在數(shù)軸上表示無理數(shù)呢？

結(jié)合已有的有理數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生認(rèn)為無理數(shù)也能在數(shù)軸上表示出來，不過該如何表示，學(xué)生感覺一片茫然. 為了解決這一問題，教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，首先畫一個(gè)數(shù)軸，在數(shù)軸上找到“2”，記為點(diǎn)A，過點(diǎn)A作數(shù)軸的垂線，并在垂線上截取AB=1，連接OB，以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑作圓，圓O與數(shù)軸的正、負(fù)半軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，問點(diǎn)C和點(diǎn)D表示的數(shù)是什么？

學(xué)生根據(jù)以上過程分別得到點(diǎn)C和點(diǎn)D，并根據(jù)勾股定理知曉點(diǎn)C表示的數(shù)為，點(diǎn)D表示的數(shù)為 -.

追問1：點(diǎn)C到原點(diǎn)和點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離分別是多少？

學(xué)生回答：.

問題6 根據(jù)以上結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動(dòng)：教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生回顧問題5的探究過程，并對(duì)探究結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納，形成結(jié)論：無理數(shù)也能在數(shù)軸上表示，無理數(shù)有絕對(duì)值和相反數(shù).

教學(xué)說明：該環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生與有理數(shù)相類比，通過由表及里，由淺入深的逐層探究引導(dǎo)學(xué)生參與概念的生成過程，提煉概念的共同特征，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 該環(huán)節(jié)教師充分利用學(xué)生的茫然與困惑，通過動(dòng)手操作幫助學(xué)生將新知與舊知搭建互通的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)際操作知曉無理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步推廣，得出結(jié)論：數(shù)學(xué)上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.

3. 對(duì)象階段

該環(huán)節(jié)教師要預(yù)留足夠的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行反思、交流，明晰概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力及思辨能力. 在具體設(shè)計(jì)中，教師可以結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)多樣化的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考辨析，以此讓學(xué)生深刻地理解知識(shí)，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化.

問題7 請(qǐng)按照要求將表1的內(nèi)容補(bǔ)充完整. （教師PPT出示表1）

師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生獨(dú)立完成表格的填寫，然后展示學(xué)生的結(jié)果.

問題8 結(jié)合表1所填內(nèi)容，你有何發(fā)現(xiàn)？

師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生以小組為單位展開討論. 該問題為開放性問題，其答案并不唯一，有的學(xué)生提出無理數(shù)和有理數(shù)的相反數(shù)是一樣的，若無理數(shù)為正數(shù)，那么它的相反數(shù)就是負(fù)數(shù)，反之依然成立；有的學(xué)生提出無理數(shù)和有理數(shù)的絕對(duì)值也是一樣的.

教學(xué)說明：數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)過程，而學(xué)生對(duì)概念的理解同樣需要一個(gè)過程. 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生雖然已經(jīng)經(jīng)歷了實(shí)數(shù)概念的形成過程，但是若想讓學(xué)生理解和掌握概念依然需要一個(gè)過程，因此教師有必要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行深入的探究，以此進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)概念的理解. 該環(huán)節(jié)，教師充分借助表格直觀的優(yōu)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生在類比歸納中逐步掌握實(shí)數(shù)的本質(zhì)特征，從而讓學(xué)生真正理解和掌握概念，為概念的靈活運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

4. 圖式階段

周知，概念具有高度的抽象性和概括性，學(xué)生在圖式階段很難做到一步到位，因此圖式階段可以理解為一個(gè)不斷完善、不斷發(fā)展的過程. 如在本課教學(xué)中，在活動(dòng)階段，學(xué)生頭腦里儲(chǔ)存的是實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)；在過程階段和對(duì)象階段，通過對(duì)第一階段的發(fā)展，學(xué)生知曉無理數(shù)是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，其與有理數(shù)相同，有正負(fù)之分，也有絕對(duì)值. 這樣通過一步步探索，一步步細(xì)化，使學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)概念的理解更加詳盡，逐步形成更復(fù)雜、完整的圖式.

問題9 你能用圖形來表達(dá)本課所學(xué)內(nèi)容嗎？

師生活動(dòng)：教師提供時(shí)間讓學(xué)生對(duì)以上階段的探究結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)，形成個(gè)體完善的認(rèn)知.

追問1：請(qǐng)將圖2和圖3的內(nèi)容補(bǔ)充完整，并簡述一下自己的理解與發(fā)現(xiàn).

問題10 求實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值.

a=a（a>0），

0（a=0），

___（a<0）.

教學(xué)說明：通過生生和師生互動(dòng)交流的方式構(gòu)建和完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，體會(huì)各部分知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生形成清晰的知識(shí)脈絡(luò)圖. 在此過程中，教師要扮演好課堂組織者和指導(dǎo)者的角色，在學(xué)生遇到障礙或出現(xiàn)遺漏時(shí)進(jìn)行及時(shí)的指導(dǎo)和補(bǔ)充，以此幫助學(xué)生形成完整的圖式.

5. 鞏固練習(xí)

通過前面四個(gè)階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)本課內(nèi)容已經(jīng)形成了清晰的知識(shí)脈絡(luò)，接下來教師有必要通過練習(xí)幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固知識(shí)，以此增強(qiáng)學(xué)生解題信心.

練習(xí)1：請(qǐng)按照要求將下列各數(shù)填寫到括號(hào)內(nèi).

，3.1415926，，-8，，，

無理數(shù)（ ）；

有理數(shù)（ ）.

練習(xí)2：求下列各式中的x值.

（1）x=；（2）x=；（3）x=0；（4）x=；（5）x-3=1.

該階段教師以生為主，讓學(xué)生獨(dú)立完成求解，以此讓教師更好地了解學(xué)生、了解教學(xué)，以便教師結(jié)合學(xué)生的實(shí)際反饋調(diào)整教學(xué)預(yù)案，優(yōu)化教學(xué)策略，提高教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量.

教學(xué)說明：針對(duì)本課學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師設(shè)計(jì)針對(duì)性練習(xí)，這樣一方面可以檢測(cè)本課教學(xué)效果，另一方面可以借助練習(xí)幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力.

6. 課堂小結(jié)

該環(huán)節(jié)教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，并提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生提出自己的所想、所惑，以此進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步將知識(shí)內(nèi)化為能力.

教學(xué)說明：個(gè)體差異是客觀存在的，不同的認(rèn)知水平對(duì)新知的理解程度也會(huì)有所不同，因此在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師既要提供時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立歸納反思，又要?jiǎng)?chuàng)造空間讓學(xué)生互動(dòng)交流，以此讓不同思維碰撞出火花，拓寬學(xué)生的視野，升華學(xué)生的認(rèn)知.

教學(xué)思考

1. 循序漸進(jìn)，逐步建構(gòu)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)關(guān)注概念形成、發(fā)展及應(yīng)用的全過程，其為概念教學(xué)提供了新方向. 在四個(gè)階段的教學(xué)中，教師分別從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情境，讓學(xué)生在問題的解決中逐漸認(rèn)識(shí)、理解、掌握和應(yīng)用概念，逐步提高學(xué)生的認(rèn)知水平和思維能力. 例如，在本課教學(xué)中，在活動(dòng)階段，教學(xué)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特征與概念內(nèi)容特征創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生通過動(dòng)手做獲得對(duì)無理數(shù)的直觀感知，從而建立對(duì)實(shí)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)；在活動(dòng)階段和對(duì)象階段，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容精心創(chuàng)設(shè)問題鏈，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下體會(huì)有理數(shù)與無理數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而通過遷移讓學(xué)生明白無理數(shù)和有理數(shù)一樣，也有相反數(shù)和絕對(duì)值；在圖式階段，教師啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行新舊對(duì)比，逐步將新知識(shí)納入原有認(rèn)知體系中，自然完成對(duì)本課所學(xué)知識(shí)的整體建構(gòu). 在整個(gè)概念教學(xué)中，沒有機(jī)械的灌輸，也沒有生拉硬拽，而是通過創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的探究活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)數(shù)概念的自主建構(gòu)，有效溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，抽象概念的本質(zhì)屬性，以此讓學(xué)生掌握研究概念的方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2. 自主探究，逐步完善

課堂教學(xué)的主體是學(xué)生，只有學(xué)生參與的課堂才是有價(jià)值的、有意義的，因此在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)貙W(xué)會(huì)放手，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，感悟數(shù)學(xué)魅力，樹立正確的情感態(tài)度和價(jià)值觀. 教師作為課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的探究活動(dòng)，讓學(xué)生在探究中逐漸理解概念，逐步完善個(gè)體認(rèn)知體系. 例如，在實(shí)數(shù)概念教學(xué)中，教師沒有直接將概念拋給學(xué)生，而是借助有效的問題串引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成過程，讓學(xué)生理解引入新數(shù)的重要性和必要性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 相信經(jīng)歷以上探究過程后，學(xué)生勢(shì)必還會(huì)有這樣的疑惑，是否存在實(shí)數(shù)以外的數(shù)呢？這樣不僅為后面虛數(shù)的學(xué)習(xí)埋下伏筆，而且可以讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的建構(gòu)是一個(gè)逐步完善的過程，以此幫助學(xué)生樹立正確的學(xué)習(xí)觀，提升學(xué)習(xí)品質(zhì).

總之，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，倡導(dǎo)獨(dú)立思考與合作探究，讓學(xué)生在探究中理解概念本質(zhì)并建構(gòu)概念知識(shí)體系，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).