大單元背景下“終端起始課”的教學(xué)實(shí)踐

編者按

2012年9月以來，國(guó)家“萬人計(jì)劃”教學(xué)名師邢成云在2012年提出的“快慢相宜的整體化教學(xué)”基礎(chǔ)上，順應(yīng)時(shí)代發(fā)展課程改革的理念所需，教學(xué)實(shí)踐的現(xiàn)實(shí)所需，深度學(xué)習(xí)的價(jià)值所需，基于解決碎片化教學(xué)的問題，進(jìn)一步強(qiáng)化了“章起始課”研究，歷經(jīng)“個(gè)人探索·校內(nèi)推廣·市域輻射·團(tuán)隊(duì)引領(lǐng)”四個(gè)階段，通過10余年的實(shí)踐探索，逐步建構(gòu)起初中數(shù)學(xué)“章起始課”的單元—課時(shí)實(shí)踐模型，形成了“立足市域·走向全國(guó)：章起始課為抓手的初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)”的濱州經(jīng)驗(yàn). 2023年5月，這一經(jīng)驗(yàn)作為單元教學(xué)新樣態(tài)在《中國(guó)教師報(bào)》獲得推介，在2023年11月的第三屆亞洲數(shù)學(xué)教育中心（ACME）國(guó)際學(xué)術(shù)研討會(huì)上得以分享，在第六屆中國(guó)教育創(chuàng)新成果公益博覽會(huì)上得以展示，在全國(guó)形成了一定的影響力.

本組文章以“二次根式”為載體，系統(tǒng)呈現(xiàn)了大觀念統(tǒng)領(lǐng)下的章起始課，順承章起始課下的兩節(jié)深度探研課，以及與章起始課呼應(yīng)的統(tǒng)攝復(fù)習(xí)課，全程展現(xiàn)了“整—分—整”的單元整體教學(xué)路徑，是對(duì)m個(gè)“1+n”中“1+n”的有效落實(shí). 這里的“m”指某個(gè)大單元可分解成邏輯連貫、前后一致的m個(gè)章（中）單元，而每一個(gè)章（中）單元通過“單元（呈現(xiàn)）—課時(shí)（表達(dá)）”設(shè)計(jì)展開；“1”指章（中）單元起始課.

［摘 要］ 文章立足《“整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學(xué)》［1］中“整體化教學(xué)”的教學(xué)理念，對(duì)人教版八年級(jí)下冊(cè)“二次根式”這一章“終端起始課［2］”從教學(xué)內(nèi)容、整體規(guī)劃、研究現(xiàn)狀、教學(xué)實(shí)踐、整體立意等多視角做出分析，旨在實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化與自然遷移，形成本章的認(rèn)知路線、學(xué)習(xí)方法及結(jié)構(gòu)藍(lán)圖，獲得“終端·起始”課的教學(xué)范式.

［關(guān)鍵詞］ 二次根式；類比；結(jié)構(gòu)化；章起始課

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）在教學(xué)建議的條目三指出：“推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián). 單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)要整體分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理整合教學(xué)內(nèi)容，分析主題—單元—課時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)，確定單元教學(xué)目標(biāo)，并落實(shí)到教學(xué)活動(dòng)各個(gè)環(huán)節(jié)，整體設(shè)計(jì)，分步實(shí)施，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)［3］.” 以此為背景，筆者以人教版八年級(jí)下冊(cè)“二次根式”章起始課為抓手，談?wù)勅绾温鋵?shí)整體設(shè)計(jì)，為后面研究方程、函數(shù)、三角形、四邊形、圓等其他終端內(nèi)容的教學(xué)提供導(dǎo)引.

1. 宏觀分析

“二次根式”在整個(gè)初中階段，屬于“數(shù)與式”的最后一章內(nèi)容，本節(jié)課又屬于整章內(nèi)容起始課，“終端起始課”由此而來. “學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)，就是要學(xué)會(huì)善用運(yùn)算律去有效、系統(tǒng)地解決各種各樣的代數(shù)問題［4］.” 前面，學(xué)生已經(jīng)完成了對(duì)“有理數(shù)、實(shí)數(shù)”的學(xué)習(xí)，建立了研究數(shù)系擴(kuò)充、運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基本套路；在“整式”“分式”的學(xué)習(xí)中，積累了學(xué)習(xí)“式”的運(yùn)算法則以及用運(yùn)算律進(jìn)行“式”的運(yùn)算的方法. 同時(shí)，本節(jié)課在整個(gè)課程體系中，也是后續(xù)學(xué)習(xí)勾股定理、一元二次方程的直接基礎(chǔ).

數(shù)、整式、分式的學(xué)習(xí)都為本章內(nèi)容提供了代數(shù)學(xué)的基本思想和基本方法. 如何借助本節(jié)課的教學(xué)，讓學(xué)生再次領(lǐng)悟已學(xué)代數(shù)學(xué)的思想方法，以體現(xiàn)整個(gè)義務(wù)教育階段“數(shù)式”這一數(shù)學(xué)課程的整體性，幫助學(xué)生形成“數(shù)式一致性”的整體觀，建構(gòu)數(shù)式運(yùn)算模型，是本單元的核心問題，更是本節(jié)課的“大問題”“大觀念”.

2. 微觀分析

章引言從運(yùn)算角度提出整章學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)本內(nèi)容的必要性. 從微觀上看，本章遵循代數(shù)學(xué)的研究路線“概念—性質(zhì)—運(yùn)算（法則，公式）”，教材采用了“具體—抽象”的研究方法. 筆者立足教材，結(jié)合團(tuán)隊(duì)已研究的整體化教學(xué)法、《課標(biāo)（2022年版）》，確定本章內(nèi)容研究思路為：二次根式的概念→二次根式的性質(zhì)→二次根式的運(yùn)算→二次根式的應(yīng)用. 聚焦二次根式的概念，二次根式其實(shí)是對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算的一般化結(jié)果（實(shí)則是一類特殊實(shí)數(shù)的一般形式）. 以此理解，本起始課研究?jī)r(jià)值以實(shí)數(shù)（重點(diǎn)是無理數(shù)）運(yùn)算為載體，使學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)運(yùn)算形成再完整認(rèn)知的同時(shí)，再整體感知二次根式的內(nèi)容與方法.

1. 宏觀規(guī)劃

立足以上定位，本設(shè)計(jì)踐行了《課標(biāo)（2022年版）》提出的“整體設(shè)計(jì)，分步實(shí)施”理念，借助章起始課統(tǒng)領(lǐng)的大單元教學(xué)“1+n”的教學(xué)程式［5］（其中的“1”指章起始課，“n”表示“1”之后的課時(shí)，含章復(fù)習(xí)課等），對(duì)本章內(nèi)容進(jìn)行了如下統(tǒng)籌與規(guī)劃.

第一課時(shí)：統(tǒng)領(lǐng)起始課. 借助實(shí)數(shù)，引出二次根式的概念；類比整式、分式，得出二次根式一章的內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖、研究策略與研究方法；依據(jù)數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)式通性，探討二次根式的性質(zhì)，由性質(zhì)出發(fā)得到乘法法則，并用代數(shù)推理進(jìn)行驗(yàn)證，類比乘法得出除法法則，初步認(rèn)識(shí)二次根式的加減運(yùn)算，形成對(duì)本章的完整認(rèn)知.

第二課時(shí)：深度探研課. 再次對(duì)二次根式的性質(zhì)以及乘除運(yùn)算進(jìn)行探研，理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，能熟練進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與乘除運(yùn)算.

第三課時(shí)：深度探研課. 探究二次根式的加減運(yùn)算方法，在整體中推進(jìn)對(duì)二次根式乘除、加減運(yùn)算法則的理解.

第四課時(shí)：訓(xùn)練提升課. 通過對(duì)二次根式混合運(yùn)算的訓(xùn)練，打牢運(yùn)算基本功，實(shí)現(xiàn)“四基—核心素養(yǎng)”的轉(zhuǎn)變.

第五課時(shí)：項(xiàng)目實(shí)踐課（此課型可結(jié)合學(xué)情確定課時(shí)數(shù)量）. 分析教材中的“閱讀與思考”“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，立足學(xué)情，開展項(xiàng)目化學(xué)習(xí)或微項(xiàng)目學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的綜合實(shí)踐能力，讓學(xué)生感受二次根式在生活實(shí)踐中的運(yùn)用，落實(shí)《課標(biāo)（2022年版）》中對(duì)綜合與實(shí)踐的要求，以提高學(xué)生的實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

第六課時(shí)：統(tǒng)攝復(fù)習(xí)課. 與“1”相呼應(yīng)，通過所學(xué)的“n”（這里的n為4或5）課時(shí)，對(duì)整章內(nèi)容進(jìn)行再次整體認(rèn)知，加固并重構(gòu)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成多角度對(duì)本章“終端”的認(rèn)識(shí).

第七課時(shí)：分層評(píng)價(jià)課. 分A、B、C三個(gè)層級(jí)設(shè)立評(píng)價(jià)題目，形成AB、BC兩個(gè)組合的評(píng)價(jià)題組，由學(xué)生自選進(jìn)行測(cè)試，其中A對(duì)應(yīng)教材的拓廣探索題，B對(duì)應(yīng)教材的綜合運(yùn)用題，C對(duì)應(yīng)教材的復(fù)習(xí)鞏固題. B是保底題目，A、C兩組題等分值設(shè)計(jì).

第八課時(shí)：試卷講評(píng)與異步達(dá)標(biāo)課.

2. 微觀目標(biāo)

結(jié)合《課標(biāo)（2022年版）》，聚焦本起始課，教學(xué)目標(biāo)確定如下.

（1）通過對(duì)所列數(shù)學(xué)式的分類，再次領(lǐng)悟?qū)W過的數(shù)與式內(nèi)容，體會(huì)由數(shù)到式的進(jìn)階.

（2）從算術(shù)平方根的概念出發(fā)，總結(jié)含根號(hào)式子的共性，形成n次根式的概念.

（3）從二次根式的概念出發(fā)，探究并獲得二次根式的性質(zhì)，由性質(zhì)得出其（根號(hào)下僅限于數(shù)）乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的乘除運(yùn)算；初步認(rèn)識(shí)二次根式的加、減運(yùn)算，結(jié)構(gòu)上完善二次根式的運(yùn)算體系；理解數(shù)式一致性，發(fā)展抽象能力，形成研究數(shù)與式的基本經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)一：?jiǎn)拘压手?，獲取對(duì)象

問題1 （1）某市冬季某天的溫差是12 ℃，這天的最低氣溫是t ℃，則這天的最高氣溫是____℃.

（2）面積為9的正方形的邊長(zhǎng)為______；面積為5的正方形的邊長(zhǎng)為______；面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為______；棱長(zhǎng)為a的正方體的表面積為_____；體積為n的正方體的棱長(zhǎng)為_____.

（3）物體自由下落的高度h（單位：m）與下落時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系式為h=4.9t2. 如果有一個(gè)物體從110 m高的建筑物上自由落下，到達(dá)地面需要____s.

（4）某村有n個(gè)人，耕地50 hm2，則人均耕地面積為____hm2.

數(shù)學(xué)思考 （1）上面所列式子中，我們已經(jīng)研究過哪些？

（2）請(qǐng)把得到的式子進(jìn)行分類，并指出分類依據(jù).

歸納概括 （1）歸納、概括得出的“新式子”的特點(diǎn)，嘗試給它們起個(gè)名字，并小組交流.

（2）你還能舉出類似的新式子嗎？

設(shè)計(jì)意圖 問題1中的4個(gè)問題是基于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)所提出來的，其中（2）基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)提出，能喚醒學(xué)生的已學(xué)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生積極思考；（1）（4）基于生活現(xiàn)實(shí)提出，能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系；（3）基于科學(xué)現(xiàn)實(shí)提出，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與鄰近學(xué)科知識(shí)的融合. 學(xué)生易列出式子：t+12，3，，，6a2，，，. 學(xué)生在解決“數(shù)學(xué)思考”的過程中體會(huì)每個(gè)式子的特點(diǎn)，能喚醒整式、分式、實(shí)數(shù)的已有經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮好數(shù)式系統(tǒng)“終端”課的價(jià)值，也能為后續(xù)的類比遷移做鋪墊. 當(dāng)學(xué)生將，，， 均歸類為單項(xiàng)式時(shí)，教師指出，屬于單項(xiàng)式符合單項(xiàng)式的概念，但，則不能稱之為單項(xiàng)式. 此時(shí)學(xué)生出現(xiàn)“認(rèn)知沖突”，教師可出示，，并請(qǐng)學(xué)生思考兩個(gè)式子的名稱，以啟發(fā)學(xué)生深度思考. 接著，教師可讓學(xué)生根據(jù)新式子的特點(diǎn)進(jìn)行舉例，形成初步感知，再利用歸納概括對(duì)其進(jìn)行抽象總結(jié)，形成對(duì)二次根式本質(zhì)的認(rèn)識(shí). 在此環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)歷了用數(shù)學(xué)眼光看現(xiàn)實(shí)的第一次抽象，再?gòu)臄?shù)學(xué)對(duì)象中通過分類、剝離獲取研究對(duì)象（二次根式）的二次抽象，這顯然是從水平抽象到垂直抽象的完整過程，學(xué)生的模型觀念、抽象思維得以發(fā)展.

環(huán)節(jié)二：類比遷移，生成結(jié)構(gòu)

問題2 根據(jù)學(xué)過的“分式”一章的研究路徑，猜想研究二次根式的一般路徑，并嘗試勾勒出二次根式的研究結(jié)構(gòu)圖.

設(shè)計(jì)意圖 問題2引發(fā)學(xué)生思考，由回想→猜想→聯(lián)想，激起思維碰撞；同時(shí)幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性與一致性. 分式與二次根式分別隸屬于人教版教材中的第十五章與第十六章內(nèi)容，這兩章內(nèi)容雖然處在不同學(xué)期，但在整個(gè)數(shù)式系統(tǒng)中是毗鄰的，用好同構(gòu)遷移至關(guān)重要（如圖1所示）.

環(huán)節(jié)三：基于定義，探究性質(zhì)

問題3 結(jié)合分析，觀察（a≥0），你發(fā)現(xiàn)了什么？由此猜想二次根式有哪些性質(zhì).

數(shù)學(xué)思考 結(jié)合所學(xué)，請(qǐng)大家寫出幾個(gè)二次根式；對(duì)比寫出的二次根式：，，，，，哪些可以化簡(jiǎn)？由此得出什么？什么樣的二次根式可以化簡(jiǎn)為有理數(shù)？結(jié)合平方運(yùn)算與開平方運(yùn)算的互逆性，與（）2（a≥0）分別等于多少？

歸納概括 請(qǐng)勾勒出二次根式性質(zhì)的結(jié)構(gòu)圖（如圖2所示），并猜想：利用二次根式的這些性質(zhì)，可以解決什么問題？

設(shè)計(jì)意圖 問題3直擊算術(shù)平方根的本質(zhì)，三個(gè)性質(zhì)其實(shí)都是由二次根式的概念以及平方運(yùn)算與開平方運(yùn)算的互逆性得出來的，引導(dǎo)學(xué)生找出性質(zhì)2與性質(zhì)3的聯(lián)系與區(qū)別，加深對(duì)性質(zhì)的理解. 學(xué)生在感知知識(shí)進(jìn)階的同時(shí)，能體會(huì)到數(shù)式的統(tǒng)一性、一致性與完整性.

環(huán)節(jié)四：性質(zhì)引航，邏輯推進(jìn)

問題4 請(qǐng)大家認(rèn)真觀察二次根式的性質(zhì)2與性質(zhì)3，你還能發(fā)現(xiàn)什么？

數(shù)學(xué)思考 （1）由（）2=a（a≥0）與=a（a≥0），你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）請(qǐng)認(rèn)真觀察=（）2（a≥0），你又有什么發(fā)現(xiàn)？當(dāng)a≥0時(shí)，==·，這顯然是特殊形態(tài)的表達(dá)，若把它一般化，即把其中的一個(gè)a改為b，可得到什么？

（3）猜想獲得的=·一定正確嗎？接下來還需要干什么？借助=·（a≥0，b≥0）可以解決什么問題？你能舉例說明嗎？根據(jù)等式的對(duì)稱性，由上面的等式又可以得到·=，這個(gè)等式又告訴了我們什么？

（4）類比二次根式的乘法運(yùn)算法則，你能猜想出二次根式的除法運(yùn)算法則是什么嗎？

（5）利用得到的二次根式乘除運(yùn)算法則，編寫幾道題目小組內(nèi)交流并互相完成解答.

（6）根據(jù)學(xué)習(xí)分式的經(jīng)驗(yàn)，我們認(rèn)識(shí)了二次根式的乘除運(yùn)算法則，接下來我們應(yīng)該研究什么運(yùn)算？

（7）要研究二次根式的加減運(yùn)算，你想到了學(xué)過的哪類式子的加減運(yùn)算？比如+能進(jìn)行運(yùn)算嗎？你能總結(jié)出二次根式加減運(yùn)算的本質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)意圖 問題4為學(xué)習(xí)二次根式的乘除法找到了“生長(zhǎng)點(diǎn)”，遵照數(shù)學(xué)邏輯的同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，再次彰顯出數(shù)式系統(tǒng)“終端起始”的價(jià)值. “數(shù)學(xué)思考”利用二次根式的性質(zhì)讓學(xué)生猜想結(jié)論，得出積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，再利用等式的對(duì)稱性得出二次根式的乘法法則，接著利用平方運(yùn)算與開平方運(yùn)算的互逆性對(duì)其進(jìn)行證明，完善了教材對(duì)該法則的探究歷程，體現(xiàn)了分式與二次根式學(xué)習(xí)的一致性，加強(qiáng)了對(duì)代數(shù)推理能力的培養(yǎng). 二次根式除法法則由乘法法則類比猜想獲得，限于時(shí)間下一節(jié)課推證，二次根式的加減法由整式加減的實(shí)質(zhì)遷移而來，這樣，整個(gè)運(yùn)算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)就形成了.

環(huán)節(jié)五：回顧反思，總結(jié)提升

問題5 （1）我們是怎樣研究二次根式的？如何獲得二次根式的概念？

（2）我們研究二次根式的思路是什么？二次根式的性質(zhì)與運(yùn)算是如何獲得的？

（3）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，你感受到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？獲得了怎樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？你還有什么感悟和思考？

數(shù)學(xué)思考 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)“數(shù)與式”有了哪些新認(rèn)識(shí)？試猜想下一步我們會(huì)研究二次根式的什么內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖 問題5通過層級(jí)遞進(jìn)的問題串引導(dǎo)學(xué)生“卻顧所來徑”，幫助其養(yǎng)成反思總結(jié)的習(xí)慣，增強(qiáng)其概括歸納能力. “數(shù)學(xué)思考”能提升學(xué)生對(duì)“數(shù)式通性”的認(rèn)識(shí)，再次理解數(shù)式的一致性. 在引導(dǎo)學(xué)生回顧的同時(shí)，提煉出了學(xué)習(xí)的路徑與策略，形成了數(shù)式系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖（如圖3所示），實(shí)現(xiàn)了知其然—知其所以然—何由以知其所以然的轉(zhuǎn)變.

1. 聚焦“大概念”，整體發(fā)力，充分彰顯系統(tǒng)“終端起始”的價(jià)值

本節(jié)課幫助學(xué)生解決了五“W”問題：為什么學(xué)習(xí)二次根式？二次根式是什么？要學(xué)習(xí)二次根式的什么內(nèi)容？怎樣學(xué)二次根式？二次根式要到“哪里去”？整節(jié)課不拘泥于細(xì)節(jié)，不在概念本體上深挖“洞”，不在性質(zhì)中“兜圈子”，不貪心于“刷題”，而是將整章內(nèi)容置于數(shù)與代數(shù)的“全景”之中統(tǒng)籌布局，是八方聯(lián)系，是整體感知. 課堂上教師注重內(nèi)容結(jié)構(gòu)化與思維系統(tǒng)化的形成，引導(dǎo)學(xué)生提煉學(xué)習(xí)策略，形成對(duì)數(shù)式一致性的認(rèn)知；讓學(xué)生體會(huì)數(shù)式的發(fā)展脈絡(luò)，形成初中學(xué)段數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的“一覽表”，為后續(xù)包括高中學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)的其他內(nèi)容做好鋪墊.

2. 從猜想到邏輯，穩(wěn)步推進(jìn)，落實(shí)本單元的“大任務(wù)”

結(jié)合本章教學(xué)，“二次根式”一章的核心大任務(wù)是二次根式的運(yùn)算. 而要完成該大任務(wù)，就需要厘清運(yùn)算法則. 對(duì)于二次根式的乘除運(yùn)算法則，教材由“特殊到一般”進(jìn)行總結(jié)得出. 筆者認(rèn)為，這樣不利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，尤其是代數(shù)推理. 本節(jié)課教師利用二次根式的兩個(gè)性質(zhì)，即=a（a≥0）與（）2=a（a≥0），獲得=（）2（a≥0）這一關(guān)系式，進(jìn)而得到=·（a≥0），再由特殊形態(tài)（根號(hào)下的字母相同）一般化猜想出二次根式的乘法法則，接著利用乘方與開方的互逆運(yùn)算進(jìn)行推理論證，這樣不僅體現(xiàn)了《課標(biāo)（2022年版）》提到的加強(qiáng)代數(shù)推理的要求，也再次呈現(xiàn)了整式、分式、二次根式的研究從定義到性質(zhì)到運(yùn)算到應(yīng)用的一致性.

3. 從明線到暗線，問題貫通，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本色

課堂上，教師用問題驅(qū)動(dòng)下的追問，不斷引發(fā)學(xué)生思考. 明線是“用式子表達(dá)情境中的數(shù)量關(guān)系—對(duì)所得式子進(jìn)行分類—總結(jié)共性，提煉二次根式的概念—分析概念得出二次根式的性質(zhì)—根據(jù)性質(zhì)探究二次根式乘法法則—類比乘法法則得出除法法則—二次根式加減的初步認(rèn)知”. 整個(gè)過程給學(xué)生留足思考、探究的空間與時(shí)間，且都是通過“想到什么”“發(fā)現(xiàn)什么”的開放性問題來完成，教師針對(duì)學(xué)生的回答，一步步把課堂推向深入. 教學(xué)過程的兩條暗線分別是：有理數(shù)—整式，分?jǐn)?shù)—分式，算術(shù)平方根—二次根式，實(shí)現(xiàn)由數(shù)到式的完整認(rèn)知；二次根式單元的研究路徑，從定義出發(fā)研究性質(zhì)，由性質(zhì)到運(yùn)算，最后指向應(yīng)用.

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